微結構固體中非線性波方程的Jacobi-θ函數解

毛麗娟, 那仁滿都拉

(1.內蒙古民族大學數學學院,內蒙通遼028043; 2.內蒙古民族大學物理與電子信息學院,內蒙通遼028043)

非線性波動問題的研究,對力學、應用數學、材料工程學、結構工程學、巖土工程學以及地震學等不同領域的相關問題都具有重要的理論意義和實際應用價值.如一種非線性波——孤立波的研究對固體材料的無損檢測具有重要的理論指導意義和實際應用價值.因為孤立波在固體材料中傳播時,其形狀、幅度以及速度中攜帶著反映固體材料內部結構特征的重要信息,所以研究孤立波的傳播及演化特征對固體材料的無損檢測有理論指導意義.

在非線性波動問題的研究中,非線性波動方程的求解是關鍵而重要的問題.多年來,數學家和物理學家們不斷探究這一問題,并提出了多種有效方法.例如,反散射方法[1]、Backlund 變換法[2]、Hirota方法[3-4]、Painleve分析法[5]、Tanh 函數展開法[6]、齊次平衡法[7-8]、變量分離方法[9-10]、Jacobi橢圓函數展開法[11]、輔助方程法[12-13]等.利用這些方法可以獲得非線性波動方程的雙曲函數解、三角函數解、橢圓函數解、有理函數解.最近,文獻[14-15]利用Riemann-θ函數展開法,給出了(2+1)維破裂孤子方程和Korteweg de Vries-正弦Gordon方程的Riemann-θ函數解.

本文首先以Jacobi-θ函數所滿足的第一種橢圓方程作為輔助方程,將給出一種Jacobi-θ函數展開方法.然后利用該方法研究描述微結構固體中波傳播的非線性波模型,即如下 Boussinesq類方程[16]

給出該方程的多種Jacobi-θ函數解.

1 Jacobi-θ函數與第一種橢圓方程

2 Jacobi-θ函數解

考慮微結構固體中非線性波方程(1),尋求它的如下行波解

其中k和c分別為波數和波速.對方程(1)進行行波約化,可得

設方程(8)具有如下形式解

利用齊次平衡原則[7-8],平衡可得n=2.因此,形式解(8)變成

其中F=F(ξ)滿足方程(6).將(10)式代入方程(8),并利用輔助方程(6),可將方程(8)的左邊轉化為關于iFj(i=0,1;j=0,1,2,…)的多項式的形式,然后令這些項的系數為零,可以得到關于a0、a1、a2、b1、b2、c1、c2、d1、d2的方程組.最后利用Maple數學軟件解這個方程組,可得到:

圖1 解(17)表示的周期波解Fig.1 The periodic wave solution expressed by equation(17)

圖2 解(18)表示的周期波解Fig.2 The periodic wave solution expressed by equation(18)

圖3 解(31)表示的周期波解Fig.3 The periodic wave solution expressed by equation(31)

圖4 解(45)表示的周期波解Fig.4 The periodic wave solution expressed by equation(45)

為了解所得解的形狀特性,對一些典型解進行了繪圖分析,如圖1～4所示.繪圖時各參數選取為k=1,c=1/2,α=-2.

3 結語

本文以Jacobi-θ函數滿足的第一種橢圓方程作為輔助方程,給出了一種Jacobi-θ函數展開方法,并用該方法研究微結構固體中非線性波方程,得到了該方程許多種Jacobi-θ函數解.對所得解中的一些典型解進行繪圖分析可知,Jacobi-θ函數解可表示周期解,在特殊情況下也可表示橢圓函數解和孤立波解.本文所得結果豐富了微結構固體中非線性波方程的精確解,對微結構固體中非線性波傳播特性的認識與理解將起一定的幫助作用.

致謝內蒙古民族大學科研創新團隊建設計劃對本文給予了資助,謹致謝意.

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