關于漸近偽壓縮映象不動點的粘滯-混合投影方法

龔黔芬, 聞道君, 唐 艷

(1.重慶工商大學計算機與信息工程學院,重慶400067; 2.重慶工商大學數學與統計學院,重慶400067)

1 預備知識

設H為一實Hilbert空間,其內積和范數分別表示為〈·,·〉和‖·‖.設C為H的一個非空閉凸子集,設T:C→C為一非線性映象,稱T是非擴張映象,如果

同時,文獻[6]介紹了一類廣義的漸近偽壓縮映象,如果存在常數kn∈[1,∞),,使得

在Hilbert空間中,(2)式定義的漸近偽壓縮映象等價于

顯然,漸近嚴格偽壓縮映象是嚴格偽壓縮映象的進一步推廣,并且每一個漸近非擴張映象均為漸近0-嚴格偽壓縮映象.漸近λ-嚴格偽壓縮映象一定是漸近偽壓縮映象,但其逆命題卻不成立[1-6].本文以Fix(T)表示T的不動點集合,即Fix(T)={x∈C,Tx=x}.

不動點理論是現代非線性分析的重要組成部分,廣泛應用于經濟決策、最優化理論、算子理論、數值分析和動力系統等領域.近年來,非線性映象的不動點定理及其逼近算法引起了數學研究者的極大興趣,他們努力尋求各種有效的數值算法逼近Fix(T)中的某個元素,并獲得了一系列很好的研究成果[7-21].2000年,A.Moudafi[7]引進壓縮映象f∶C→C,建立一個粘滯逼近方法.

在一定條件下證明了粘滯迭代序列強收斂到T的某個不動點q,并且該不動點為變分不等式

的唯一解.此后,粘滯逼近方法被應用到凸優化問題、單調包含和微分方程等領域,受到越來越多數學愛好者和經濟領域研究者的廣泛關注[8-10].2008年,W.Takahashi等[11]利用投影技巧建立了逼近非擴張映象不動點的混合投影算法,并在一定條件下證明了混合迭代序列強收斂到非擴張映象T的不動點q=PFix(T)x.2010年,H.Zegeye等[12]進一步將混合投影算法推廣到漸近偽壓縮映象的不動點逼近,并在集合C有界的條件下證明了相應的迭代序列強收斂到漸近偽壓縮映象T的不動點.

在此基礎上,將粘滯逼近方法(4)中的壓縮映象f推廣到Meir-Keeler壓縮映象,定義一個新的逼近漸近偽壓縮映象不動點的粘滯 -混合投影投影方法.

目的在于在Hilbert空間中簡化并改進W.Takahashi等[11]提出的混合投影算法(CQ算法),建立逼近漸近偽壓縮映象不動點的強收斂定理,并在收斂性分析中去掉了C的有界性.所得的主要結論改進并推廣了文獻[7,11-12]中相應的研究成果.設H為一實Hilbert空間,其內積和范數分別表示為〈·,·〉和‖·‖,C為H的一個非空閉凸子集.以xn→x和xn?x分別表示序列{xn}強和弱收斂到x.對?x∈H,在C中存在唯一的最近點PCx,即

稱PC為H到C上的度量投影.從文獻[1]可知,PC是非擴張的,且u=PCx的充分必要條件是

稱T是一致L-Lipschitz連續的,如存在L>0,使得‖Tnx-Tny‖≤L‖x-y‖, ?x,y∈C,n∈N.

引理1[12]設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為(3)式定義的漸近偽壓縮映象.如果T是一致L-Lipschitz連續的,則Fix(T)為閉凸集.

引理2[12]設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,T:C→C為(3)式定義的漸近偽壓縮映象.如果T是一致L-Lipschitz連續的且{xn}?C且xn?x,xn-Txn→0,則x∈Fix(T).

引理3[13]在Hilbert空間H中,下列不等式成立:

引理4[13]設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,對?x,y,z∈H和給定的a∈R,則ΠC為閉凸集,其中

設(X,d)為一完備度量空間,稱f:X→X為壓縮映象:如果存在系數r∈(0,1),使得

從文獻[14]可知,壓縮映象f存在唯一不動點.另一方面,Meir-Keeler定義了一個新的壓縮映象,稱為Meir-Keeler壓縮映象:如果對?>0,存在δ>0,當d(x,y)<+δ時,有

Meir-Keeler壓縮映象包含壓縮映象,是壓縮映象的一種推廣形式,且有如下結論.

引理5[15]設f是完備度量空間(X,d)中的Meir-Keeler壓縮映象,則f存在唯一不動點.

引理6[16]設K為Banach空間E的凸子集,f:K→K為Meir-Keeler壓縮映象,則對?>0,存在r∈(0,1),當‖x-y‖≥時有

成立.

設{Cn}為H的非空閉凸子集序列,N為正整數集.定義H的s-LinCn子集:x∈s-LinCn當且僅當存在{xn}?H并滿足xn→x和xn∈Cn,?n∈N.類似地,定義H的w-LsnCn子集:y∈w-LsnCn當且僅當存在{Cni}?{Cn},{yi}?H并滿足yi?y和yi∈Cni,?i∈N.如果C0?H且C0=s-LinCn=w-LsnCn,稱{Cn}收斂到C0,記為C0=M-具有該極限性質最簡單的例子是呈現包含關系的遞減序列{Cn}比如(參見文獻[17]).

引理7[18]設{Cn}為Hilbert空間H的非空閉凸子集序列,如果存在且不為空集,則對?x∈H,序列{PCnx}強收斂到{PC0x}.

2 主要結果

定理1設C為Hilbert空間H的非空閉凸子集,f:C→C為Meir-Keeler壓縮映象,T:C→C為一致L-Lipschitz連續的漸近偽壓縮映象且Fix(T)≠?.如果0

證明由引理1和PC的非擴張性,可知PFix(T)f是定義在C上的Meir-Keeler壓縮映象[16].由引理5,PFix(T)f存在唯一不動點,記q=PFix(T)f(q).

首先,證明Cn是閉凸集且Fix(T)?Cn.由(6)式和引理4易得Cn是閉凸集.另一方面,由于Fix(T)?C1=C,不妨假設Fix(T)?Ck,k≥1.對?p∈Fix(T)?Ck,結合(5)式和引理3得

不難驗證θn→0(n→∞).在(8)式中取n=k即得p∈Ck+1.因此,對?n≥1,有Fix(T)?Cn+1?Cn.

(II)對?n≥n0都有‖xn-q‖≥+δ成立,則由(5)和(11)式得

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