一維離散p-Laplacian邊值問題多個解的存在性

景 蘭, 謝春杰

(1.蘭州職業技術學院,甘肅蘭州730070; 2.西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預備知識

非線性差分方程廣泛應用于研究計算機科學、經濟學、神經網絡、生態學及控制論等學科中出現的離散模型.近年來,對于非線性差分邊值問題已經有很多人研究過,見文獻[1-12]及其參考文獻.特別地,1997年,R.P.Agarwal等[1]運用上下解方法獲得了二階離散邊值問題

解的存在性.2005年,R.P.Agarwal等[7]運用變分法討論了一維離散p-Laplacian邊值問題

2個解的存在性.對于問題(2)解的存在性已經被許多人研究過,見文獻[8-12]及其參考文獻,但據我們所知,對于問題(2)多個解的存在性研究較少.受以上文獻的啟發,本文運用Brouwer度理論[13]發展一維離散p-Laplacian邊值問題

的上下解方法,并討論其多個解的存在性,其中,[1,T]Z:={1,2,…,T-1,T},φp(s)=|s|p-2s,p>1,f:[1,T]Z×R?R連續,R=(-∞,+∞),w(k):[1,T+1]Z?(0,+∞).

本文運用Brouwer度理論[13]發展了問題(3)的上下解方法,并獲得了其多個解的存在性,見定理2.2,該結果是對文獻[1]中定理3.1的推廣,也是對問題(2)多個解存在性的發展.此外,相應的連續形式的一維p-Laplacian邊值問題多個解的存在性結果,參見文獻[14-16].

記E={u∈RT+2,u=(u(0),u(1),u(2),…,u(T),u(T+1))}.

定義1.1對?u,v,w∈E有

1)若對?k∈[0,T+1]Z,u(k)≤v(k),記u≤v;

2)若對?k∈[1,T]Z,u(k)

3)若w?u?v,記u∈(w,v).

定義1.2對?α,β∈E,稱α是問題(3)的下解,如果

稱β是問題(3)的上解,如果

當不等式(4)和(6)是嚴格不等式時,稱α和β分別是問題(3)的嚴格下解和嚴格上解.

2 主要定理及其證明

定義空間E0={u∈E,u(0)=u(T+1)=0},其基本元素記為(u(1),u(2),…,u(T)),與RT+2中元素(0,u(1),u(2),…,u(T),0)相對應,則方程(3)的差分算子在E0上有定義.定義范數,則空間E0按該范數‖·‖構成Banach空間.

定義連續算子T:E0?RT為

定理2.1設α和β分別是問題(3)的下解和上解,且α≤β,則問題(3)至少存在一個解u滿足α≤u≤β.當α和β分別是問題(3)的嚴格下解和上解時,則?R>0,使得d(T,Ωαβ,0)=1,其中

證明定義函數γ(k,u(k)):[1,T]Z×R?R如下

第1步證明若輔助問題(8)存在解

則α≤u≤β.下面證α≤u,u≤β同理可證.

反設?i∈[0,T+1]Z,使得α(i)>u(i).因α(0)≤0,α(T+1)≤0,則?m∈[1,T]Z有

從而結合φp為增函數可得

而由下解α的定義得

與(9)式矛盾.因此α≤u.

第2步用Brouwer度證明輔助問題(8)至少存在一個解.

定義連續算子:E0?RT為

則顯然輔助問題(8)的解是在E0中的零點.定義同倫

由f的連續性及γ的定義得,?R>0使得

假設(λ,0,u(1),…,u(T),0)∈[0,1]×E0是Γ(λ,u)=0的一個可能的解,即u∈E0滿足

由Brouwer度的同倫不變性得

因此d(,BR(0),0)=1,則輔助問題(8)至少存在一個解.

綜上所述,若α和β分別是問題(3)的下解和上解,且α≤β,則問題(3)至少存在一個解u∈E0使得α≤u≤β,且?R>0,有d(T,BR(0),0)=1.

第3步證明當α和β分別是問題(3)的嚴格下解和嚴格上解時,對第2步中定義的R>0,有d(T,Ωαβ,0)=1,其中

因α和β分別是問題(3)的嚴格下解和嚴格上解,則α和β也是問題(3)上解和下解.由第1步和第2步得α≤u≤β.下證α?u?β.先證α?u成立.因為α(0)≤0,α(T+1)≤0,只需證明對?k∈[1,T]Z,α(k)

結合嚴格下解α的定義得

與(13)式矛盾.因此α(k)

同理可證u?β.

綜上可得α?u?β,且由第2步知,‖u‖

則輔助問題(8)至少存在一個解u,且u∈Ωαβ.在Ωαβ上T=,由 Brouwer度的切除性得

定理2.2假設問題(3)存在2個嚴格下解α1和α2以及2個嚴格上解β1和β2滿足

且?k∈[0,T+1]Z,有β1(k)<α2(k),則問題(3)至少存在3個解u1、u2和u3且滿足

證明對于定理2.1中存在的R>0,定義開集Ωα1β2、Ωα1β1和Ωα2β2如下

運用定理2.1得

(14)～(16)式結合Brouwer度的切除性可得

由(15)～(17)式可得問題(3)至少存在3個解u1、u2和u3滿足

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