四階時滯微分方程邊值問題的正解

汪媛媛, 李永祥

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預備知識

記C=C([-τ,0],R),則其按范數構成 Banach 空間.令C+={φ∈C|φ(θ)≥0,θ∈[-τ,0]}.考慮四階時滯微分方程邊值問題

正解的存在性,其中,f:I×C+?[0,+∞)連續,I=[0,1],?(t)∈C([-τ,0],[0,+∞)),?(0)=0,對?t∈I,ut(θ)=u(t+θ),θ∈[-τ,0],

本文始終假設:

兩端簡單支撐的彎曲彈性梁的平衡狀態可用四階邊值問題

來描述[1-2],其中,f:[0,1]×R×R?R連續,關于邊值問題(2)以及更廣泛的常微分方程邊值問題解的存在性,已有許多研究工作[3-11].近年來,伴隨著時滯微分方程理論的發展以及其在物理學、自動控制理論、生物學、經濟學、人口理論等多門學科中的廣泛應用,時滯微分方程邊值問題已逐漸成為一個研究的熱點[12-25].

對不含時滯的情形,即τ=0時,問題(1)退化為下面的常微分方程邊值問題

其中,f:I×[0,+∞)?[0,+∞)連續.問題(3)已被許多作者研究[3-6],其中,文獻[3]給出了其正解的存在性定理.

對含有時滯項的情形,即τ≠0時,宋利梅等在文獻[12]中討論了邊值問題

正解的存在性,其中,f是定義在I×C+上的非負連續函數,p(t)是定義在I上的非負可測函數.他們運用錐拉升與錐壓縮不動點定理證明了問題(4)正解的存在性.

本文考慮更一般的四階時滯微分方程邊值問題(1).通過對不動點指數的精確計算,證明了只要f0適當小,f∞適當大,或者f0適當大,f∞適當小時,問題(1)至少存在一個正解.

稱u(t)∈C4[-τ,1]為問題(1)的一個解,如果u(t)滿足下面的條件:

定義線性算子T:C[-τ,1]?C[-τ,1]為

則算子T是方程(9)的解算子,且T把C[-τ,1]中的有界集映為C[-τ,1]中的有界集.由Gelfand公式得

其中,r(T)是算子T的譜半徑,顯然r(T)>0.設L=π4-aπ2-b,易見L是線性邊值問題(9)對應的最小特征值,因此r(T)=1/L.

引理3T是全連續算子.

證明T的連續性顯然,只需證明T的等度連續性即可.

由于G1和G2在[0,1]×[0,1]一致連續,即對?ε>0,?η>0,?t1,t2∈[0,1],當|t1-t2|<η時有

聯立以上兩式可得

又因為當t∈[-τ,0]時,Au(t)=0;當t∈(0,1)時,Au(t)>0,從而可得A(K)?K.由T的全連續性可知A是全連續的.證畢.

引理 5[9]?γ∈(0,1),使得對?x∈K,當t∈時,有‖xt‖C≥γ‖x‖.

引理6[3]設A:K?K全連續,如果μAu≠u,?u∈?Kr1,且0<μ≤1時,i(A,Kr1,K)=1,其中,Kr1={u∈K|‖u‖C

引理7[3]設A:K?K全連續,如果下列條件滿足:

則i(A,KR,K)=0,其中,KR={u∈K|‖u‖C

2 主要結果

定理1f是定義在I×C+上的非負連續函數,且f把I×C+中的有界集映為[0,+∞)中的有界集,如果下列條件之一滿足:

則邊值問題(1)至少存在一個正解.

證明假設條件(H1)成立,則由?(t)≡0,得vt=0,t∈[0,1].

由(H1)的第一個不等式,因為f0<δL,則存在適當的r0,滿足0

下證當0<μ≤1時,對?x∈?Kr0,有μAx≠x.反設?x0∈?Kr0,μ0∈(0,1],使得μ0Ax0=x0,則由A的定義,x0滿足

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