關于 X-Gorenstein投射模與 Y-Gorenstein內射模的余撓對

任蘭蘭, 楊曉燕

(西北師范大學數學與統計學院,甘肅蘭州730070)

1 引言及預備知識

本文中的環均指有單位元的結合環,模均為酉模,所有的R-模如無特別說明均指右R-模.用Mod-R表示右R-模范疇,P( I和 F)表示投射(內射和平坦)模類,對任意的R-模M,pd(M)(id(M)和fd(M))代表模M的投射(內射和平坦)維數.若R是一個Gorenstein環,則對任意的模M,pd(M)<∞當且僅當id(M)<∞[1].設W1表示所有投射維數有限的模類.M.Hovey[2]證明了若R是一個Gorenstein環,則(W1,GI)和(GP,W1)是完備遺傳的余撓對,其中GI是Gorenstein內射模類,GP是Gorenstein投射模類.若R是一個n-FC環,則對任意的模M,fd(M)<∞當且僅當FP-id(M)<∞[3].設W2表示所有平坦維數有限的模類.J.Gillespie[3]證明了若R是一個n-FC環,則(W2,DI)和( D P, W2)是完備遺傳的余撓對,其中DDII是Ding-內射模類,DP是Ding-投射模類.

設X是一個包含所有投射模的模類.證明了若X是一個可解的預包絡類且對任意的內射模I, X-pd(I)<∞,則(X- G P,( X- G P)⊥)是一個遺傳的余撓對,其中X- G P是 X-Gorenstein投射模類.設Y是一個包含所有內射模的模類.對偶的,證明了若Y是一個余可解的預覆蓋類且對任意的投射模P,Y-id(P)<∞,則(⊥(Y- G I), Y- G I)是一個遺傳的余撓對,其中Y- GI是 Y-Gorenstein內射模類.

設B是一個模類,M是一個R-模.稱模同態?:M→B是M的一個B-預包絡,其中B∈ B,如果對任意的D∈B,同態HomR(?,D):HomR(B,D)→HomR(M,D)是一個滿同態.稱?:M→B是M的一個B-包絡,如果滿足g?=?的恒等自同態g:B→B是一個同構.對偶地,可以定義B-預覆蓋和B-覆蓋.B-包絡和B-覆蓋有可能不存在,如果存在,在同構的意義下是唯一的.稱(A,B)是一個余撓對,如果A⊥=B且A=⊥B,其中A和B是任意的模類,,?B∈B}.稱余撓對( A, B)是遺傳的,如果對任意的正合列0→A1→A2→A3→0,其中A2,A3∈A,則A1∈A;等價于,如果對任意的正合列0→B1→B2→B3→0,其中B1,B2∈B,則B3∈B.稱余撓對(A,B)有足夠的投射對象,如果對任意的R-模M,存在一個短正合列0→B→A→M→0,其中B∈B,A∈A.對偶地,也可定義余撓對(A,B)有足夠的內射對象.稱余撓對(A,B)是完備的,如果它有足夠的投射和內射對象.

2 余撓理論

3 應用

注記3.11)設X是投射R-模的類.由文獻[1]知,X-Gorenstein投射R-模類就是Gorenstein投射R-模類.用GP表示Gorenstein投射R-模的類.

2)設Y是內射R-模的類.由文獻[1]知, YGorenstein內射R-模類就是Gorenstein內射R-模類.用GI表示Gorenstein內射R-模的類.

3)設X是平坦R-模的類.由文獻[7]知, XGorenstein投射R-模類就是Ding-投射R-模類.用DP表示Ding-投射R-模的類.

4)設Y是FP-內射R-模的類.由文獻[3]知,Y-Gorenstein內射R-模類就是Ding-內射R-模類.用DI表示Ding-內射R-模的類.

稱環R是一個n-Gorenstein環,如果它是左右Noetherian環且R的左右自內射維數不超過n.稱環R是一個Ding-Chen環,如果對某個n,它是一個n-FC環(即R是左右coherent環且R的左右自FP-內射維數不超過n).稱環R是完全環,如果每一個R-模都有投射覆蓋.對任意R-模N,其FP-內射維數定義為使得的最小的非負整數n,其中F是任意的有限表示R-模.記N的FP-內射維數為FP-id(N).若上述的n不存在,則規定FP-id(N)=∞.

命題3.2設R是左凝聚右完全環且FP-id(RR)<∞.則(GP, G P⊥)是遺傳的余撓對.特別地,若R是n-Gorenstein環,則(GP, G P⊥)是完備的余撓對.

證明由文獻[8]定理3.8和已知條件知,對所有的內射R-模I,pd(I)<∞.由文獻[1]命題6.5.1和定理5.3.2知,若R是左凝聚右完全環,則P是預包絡類.又因為P是可解的,所以由定理2.7知,(GP, G P⊥)是遺傳的余撓對.特別地,若R是n-Gorenstein環,則(GP, G P⊥)是完備的余撓對.

命題3.3設R是右Noetherian環且id(RR)<∞,則(⊥GI, G I)是遺傳的余撓對.特別地,若R是n-Gorenstein環,則(⊥GI, G I)是完備的余撓對.

證明因為R是右Noetherian環,所以由文獻[9]命題2.2知,I是預覆蓋類.對任意投射R-模P,存在自由R- 模R(Λ)使得P是R(Λ)的直和項.因為id(RR)< ∞,,所以id(P)< ∞.又因為I是余可解的,所以由定理2.12知,(⊥GI,GI)是遺傳的余撓對.特別地,若R是n-Gorenstein環,則(⊥GI,GI)是完備的余撓對.

命題3.4設R是左凝聚環且FP-id(RR)<∞,則(DP, D P⊥)是遺傳的余撓對.特別地,若R是Ding-Chen環,則(DP, D P⊥)是完備的余撓對.

證明由文獻[1]命題6.5.1和已知條件知,F是預包絡類.由文獻[8]定理3.8知,若R是左凝聚環且FP-id(RR)<∞,則對所有的內射R-模I,fd(I)<∞.又F是可解的.因此由定理2.7知,( D P,D P⊥)是遺傳的余撓對.特別地,若R是Ding-Chen環,則(DP, D P⊥)是完備的余撓對.

命題3.5設R是右凝聚環且FP-id(RR)<∞,則(⊥DI, D I )是遺傳的余撓對.特別地,若R是Ding-Chen環,則(⊥DI, D I)是完備的余撓對.

證明因為R是右凝聚環,所以由文獻[10]定理2.6知,FP-內射R-模的類是預覆蓋類.由文獻[8]定理3.8知,對任意投射R-模P,FP-id(P)<∞.且由文獻[10]命題2.2知,FP-內射R-模類是余可解的.因此由定理2.12知,(⊥DI,DI)是遺傳的余撓對.特別地,若R是Ding-Chen環,則(⊥DI,DI)是完備的余撓對.

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