賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的一致凸點(diǎn)和弱一致凸點(diǎn)

段麗芬,左明霞,王宏志

(1.通化師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 通化 134002;2.哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院,黑龍江 哈爾濱 150080)

1 預(yù)備知識(shí)

一致凸(UR)點(diǎn)和弱一致凸(WUR)點(diǎn)是Banach空間幾何學(xué)的重要概念,應(yīng)用廣泛[1-4].Orlicz空間作為一類具體的Banach空間,涵蓋內(nèi)容豐富,對(duì)其UR 點(diǎn)和WUR點(diǎn)的刻畫十分重要.賦Orlicz范數(shù)和Luxemburg范數(shù)的Orlicz空間的UR 點(diǎn)和WUR點(diǎn)的判據(jù)早已獲得[5-8].2010年,李小彥又得到了賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間的UR 點(diǎn)和WUR點(diǎn)的判據(jù)[9].本文給出賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的UR 點(diǎn)和WUR點(diǎn)的判別準(zhǔn)則.

設(shè)M(u)、N(v)是一對(duì)互余的N-函數(shù),p+(u)表示M(u)的右導(dǎo)數(shù).M∈Δ2指存在常數(shù)k>0使M(2x)≤kM(x)對(duì)較小x成 立.M∈2?N∈Δ2.記

SM={u∈R+:?ε>0,2M(u)<

M(u+ε)+M(u-ε)},

線性集

及閉子空間

關(guān)于Orlicz范數(shù):

Luxemburg范數(shù):

‖x‖M=inf{λ>0:ρM(x/λ)≤1},

及廣義Orlicz范數(shù):

引理設(shè)M是N-函數(shù),M∈Δ2∩2,xn=(xn(i))∈lM,p(1

則

證明由文獻(xiàn)[7]中定理2的證明過程易得,略.

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)M是N-函數(shù),p+(u)連續(xù),x0=(x0(i))∈S(lM,p)(1

(i)x0是UR點(diǎn);

(ii)x0是WUR點(diǎn);

(iii) 1)M∈Δ2∩2；2) {k0|x0(i)|:i=1,2,…}中至多有一個(gè)元不屬于SM;3) {k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?或者{k0|x0(i)|∈SM:i=1,2,…}?這里

證明(i)? (ii)顯然.

(ii)? (iii) 首先證明M∈Δ2.若不然,存在z(t)∈lM,phM,p及奇異泛函φ,使得ρM(z)<∞,φ(k0x0-z)≠0.令

則

‖x0+xn‖M,p≥

2‖(x0(1),x0(2),…,x0(n),0,0，…)‖M,p→

2‖x0‖M,p=2,

因此

進(jìn)而

但

其次證明M∈2.若不然,存在正數(shù)列vn↓0,使得

(n=1,2,…).

取正整數(shù)mn,使

因M∈2,可取足夠大的in,使得

‖(0,…,0,x0(in+1),…,x0(in+mn),

令

則

2mnnN(vn)>n(mn+1)N(vn)>1,

因此

取

再取y0=(y0(i))∈lN,q,使‖y0‖N,q=1,且

令l0>1,使

定義

gn=(y0(1),…,y0(in),vn,…,vn,y0(in+mn+

1),…).

則

于是

…,0,x(in+1),…,x(in+mn),0,…)‖M,p+

因WUR點(diǎn)必為端點(diǎn),由文獻(xiàn)[10]知,2)成立.下面證明3).

因p+(u)連續(xù),有

故

又

則

但x0≠x′,這與x0是WUR點(diǎn)矛盾.

(iii)?(i)設(shè)

xn=(xn(i))∈lM,p(n=1,2,…),

且

所以

其中

于是

這與‖xn+x0‖M,p→2(n→∞)矛盾.

ε4=1+ε4.

(1)

ρN(p+(k0x0))-ε7=1-ε7;

由定理1立即可得：

定理2 設(shè)M是N-函數(shù),p+(u)連續(xù),則對(duì)任何1

(i)lM,p局部UR;

(ii)lM,p弱局部UR;

(iii)M∈Δ2∩2且M(u)在[0,πM,p(1)]上嚴(yán)格凸.其中

πM,p(α)=inf{t>0:2p[M(t)]p-1·

N(p+(t))>α}.

[1] 黃建鋒,王元恒.迭代逼近m-增生映象的零點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào):中文版,2008,51(3):435-446.

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[10] 段麗芬,崔云安.賦廣義Orlicz范數(shù)的Orlicz序列空間的端點(diǎn)和強(qiáng)端點(diǎn)[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009(1):53-60.