空間譜估計中誤差自校正方法研究

黃傳祿 晁 坤 毛云志

(中國電波傳播研究所 青島 266107)

空間譜估計中誤差自校正方法研究

黃傳祿*晁 坤 毛云志

(中國電波傳播研究所 青島 266107)

陣列誤差一直是空間譜估計理論實際應用的一個主要瓶頸。該文提出了一種新的陣列誤差自校正方法，結(jié)合有源校正與在線自校正理論和方法，通過利用一個空間位置方位不需要精確可知的輔助信號源，利用優(yōu)化算法完成信號源角度以及陣列復增益誤差的聯(lián)合估計，然后將估計的陣列誤差參數(shù)應用到其后的空間譜估計中。這種自校正算法具有準確度高的優(yōu)點，并且屬于離線算法，一方面避免了傳統(tǒng)的有源校正方法對輔助源位置方位精度的嚴格要求，同時避免了在線自校正算法的大計算量，可以應用到實際空間譜估計中。

陣列信號處理；空間譜估計；陣列誤差；誤差自校正；參數(shù)優(yōu)化算法

1 引言

空間譜估計是陣列信號處理的主要內(nèi)容之一，其主要是指空間信號的波達方向估計，即 DOA (Direction of Arrival)估計。空間譜估計方法是信號處理領域的一個研究熱點，在電子偵察、智能天線、雷達、聲吶等領域具有廣泛應用[1－6]。現(xiàn)代空間譜估計的主要算法有基于線性預測的最大熵算法(Maximum Entropy Methods, MEM)，基于子空間分解類的多重信號分類算法(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)，基于子空間擬合類的最大似然算法(Maximum Likelihood, ML)等[1,2]。通常的DOA估計算法是基于理想模型的，但在工程應用場合中各種各樣的誤差不可避免。當實際模型與假設模型不相符或者偏差較大時，許多基于理想模型的DOA算法的性能將嚴重下降，甚至失效。因此必須采取補償或者誤差校正措施。實際工程中誤差來源主要有3類：一是有限數(shù)據(jù)長度快拍；二是不能先驗已知或精確估計噪聲協(xié)方差矩陣；三是導向矢量或陣列流型存在誤差[1,7,8]。如何消除這些誤差的影響，使DOA算法在應用中具有較強的穩(wěn)健性，是DOA算法實用化的一個關鍵環(huán)節(jié)。當前處理模型未知或者存在誤差時的DOA問題有兩種手段：一種是有源校正方法；另一種有效的方法是進行自校正技術，即直接利用陣列采樣數(shù)據(jù)進行信源方位估計的同時進行陣列誤差參數(shù)的估計和校正[9－11]。

有源校正方法利用空間位置方位精確可知的輔助信號源，對陣列擾動參數(shù)進行離線估計，由于其無需對信號源方位進行估計，所以運算量較小，處理簡單，在實用中應用較多。但有源校正對輔助信號源的方位信息精度要求高，如果不滿足或者精度不夠，則容易造成較大偏差[1,2]。自校正算法不需要輔助信號源，而是通過優(yōu)化算法，實時完成信號源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計，所以其校正精度比較高。但參數(shù)聯(lián)合估計往往對應高維、多模非線性優(yōu)化問題，這帶來了算法復雜，運算量大的缺點，限制了其實用性[1,10]。因此，研究估計準確、算法簡單、實用性強的陣列誤差校正方法是空間譜估計理論實用化中的主要問題。

本文結(jié)合上面兩種校正方法的優(yōu)點，提出了一種新的誤差校正方法。利用一方位信息不需要精確可知的輔助信號源進行誤差自校正。即首先利用一輔助信號源進行信號角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計，將估計得到的誤差參數(shù)應用到其后的空間譜估計中。從本質(zhì)上，這是一種誤差自校正算法，所以其對輔助信號源的空間位置信息沒有要求。另外參數(shù)的聯(lián)合估計計算是在空間譜估計之前的離線計算過程，并不影響空間譜估計時的計算速度。這可以簡化陣列誤差的校正過程，便于實際系統(tǒng)的使用。

2 陣列誤差自校正算法

2.1 陣列誤差模型

本文主要討論陣列流型誤差，其主要由通道特性不一致造成。陣列誤差的影響主要體現(xiàn)在對陣列流型矩陣的擾動上，圖1是包含通道誤差的陣列接收模型，包含誤差擾動的陣列接收信號為[1]：

其中X(t)為陣列接收數(shù)據(jù)向量；A為理想陣列流型矩陣， A=[a(θ1),a(θ2),… ,a(θN)], a(θi)為對應于入射角的導向矢量；S(t)為入射信號向量；Ni(t)為空間時間平穩(wěn)的噪聲向量，滿足 N分布，為噪聲平均功率。G為陣列通道誤差擾動矩陣，即如下的復增益擾動矩陣，主要包含通道增益誤差和相位誤差。

圖1 陣列接收模型示意圖Fig. 1 Schematic plan of array receive mode

其中gi為增益誤差，?i為相位誤差。

陣列接收的協(xié)方差矩陣為：

為分析簡便，假設Σ=I。

2.2 DOA與增益聯(lián)合估計算法

由經(jīng)典MUSIC算法，式(1)描述的陣列模型的零譜函數(shù)可以寫成[7]

其中UN為由小特征值對應的特征向量構(gòu)成的噪聲子空間。信源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計問題，即角度θ與G的聯(lián)合優(yōu)化問題：

由式(7)-式(9)，采用迭代法逐步估計角度θ和G，一直達到J收斂，便可以聯(lián)合估計出信號角度和誤差擾動矩陣。該自校正算法對陣列誤差中的增益估計較準確，但對相位估計不夠準確，尤其對均勻線陣，由于其導向矢量的范德蒙特性，算法的方位估計和相位估計存在模糊性[10]。

2.3 線性陣的角度和相位誤差的聯(lián)合估計

由式(3)可以看出，陣列接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣的對角元素只包含信號和噪聲的功率信號，而相位信息則包含在矩陣的非對角元素中。因此可以利用該特性，通過協(xié)方差矩陣的非對角元素來完成陣列相位誤差的估計。

這樣通過求解矩陣方程式(15)，就可以得到?的估計值。但由于F不是列滿秩，即 FHF是奇異的，導致方程式(15)沒有唯一解。因此加上約束條件，?在觀察期間保持不變并且其均值為0，即[2]：

其中 H=(1 /(M -1))[ 1,1,… , 1]T。利用最小二乘法，可以得到式(18)的解為：

這樣便可以求得陣列相位誤差的估計值，其估計偏差的均值為：

其中S?為相位擾動的和。從式(20)看出，陣元數(shù)目越大，其估計偏差越小，同時還可以看出，對前面通道的相位估計要比后面通道偏差更小。

2.4 加輔助源的陣列誤差自校正方法

首先利用一輔助信號源，對其空間位置和方位并不精確要求，然后進行信號角度和陣列誤差的聯(lián)合估計，其中增益誤差參數(shù)的估計采用2.2節(jié)介紹的算法，相位誤差參數(shù)估計則采用2.3節(jié)算法，從而得到陣列誤差參數(shù)，即擾動矩陣G。然后就可以利用式(1)描述的模型利用MUSIC算法(式(4))進行DOA估計。由上文敘述可以看出，提供輔助信號源只是為了提前進行一次空間譜估計，在估計中進行輔助源角度和誤差參數(shù)的聯(lián)合估計，得到誤差參數(shù)的估計值。這從本質(zhì)上是自校正算法，因此并不需要輔助源的精確方位信息。另一方面，在信源角度和陣列誤差參數(shù)的聯(lián)合估計中，多維參數(shù)優(yōu)化等復雜的運算成為離線計算過程，不影響其后的空間譜估計過程。

3 仿真驗證

在仿真計算中，采用1維均勻等距線陣，陣元數(shù)M=6，陣元間距d=0.5λ。假設有3個信號源分別位于 -1 5°,0°,1 5°，信噪比為10 dB。圖2給出了當陣列增益有擾動而相位沒有擾動時，利用2.2節(jié)方法自校正算法得到的空間譜曲線。圖2中不同曲線代表不同迭代次數(shù)時的校正結(jié)果，1代表沒有校正，即擾動矩陣為單位矩陣，0代表理想校正。從圖2中可以看出，算法在第8次迭代時便已經(jīng)接近理想曲線，說明算法對增益幅度校正較準確。圖3為陣列誤差加入了相位擾動時的空間譜計算曲線。可以看出，加入相位擾動時，2.2節(jié)的自校正算法估計性能變差，收斂次數(shù)增多，而且最終收斂的空間譜和理想曲線具有角度差。這說明了2.2節(jié)的自校正算法對線陣的相位估計具有模糊性，不夠準確。比較圖2和圖3還可以看出，陣列的相位擾動相比幅度擾動對譜估計算法影響更大，也更難校正。

表1列出了陣列誤差幅度和相位擾動的具體值以及估計值。從表 1中得出，2.2節(jié)的算法對增益幅度誤差估計較準確，校正較好，但對相位誤差估計偏差很大，顯示了該自校正算法的局限性。

圖 4為信號入射角度為-15°,0°,15°時，利用2.3節(jié)相位誤差估計方法計算的空間譜曲線，在仿真中只考慮了增益相位擾動，沒有考慮增益幅度擾動，即假設增益幅度是理想的。從圖4中可以看出，經(jīng)過校正后的空間譜曲線和理想狀態(tài)下曲線基本重合，校正效果良好。圖 5是在信號入射角為-20°,-5°,1 8°，并且陣列存在增益幅度擾動和相位擾動時空間譜曲線。其中陣列增益幅度誤差參數(shù)由2.2節(jié)算法估計，而相位誤差參數(shù)由2.3節(jié)算法估計得到。從圖5可以看出，校正后的曲線和理想狀態(tài)曲線基本吻合，說明了陣列增益幅度誤差和相位誤差參數(shù)估計較準確，最終DOA估計準確，驗證了本文方法的有效性。

從2.4節(jié)描述和仿真模擬看出，本文提出的陣列誤差自校正方法，其增益幅度誤差和相位誤差需要分別估計得到。而且相位誤差較幅度誤差影響更大。因此，在實際操作中，需要先利用2.2節(jié)的聯(lián)合估計算法幅度誤差參數(shù)，然后再利用2.3節(jié)算法得出相位誤差參數(shù)。不能顛倒次序，因為2.3節(jié)估計相位誤差參數(shù)時，是假設沒有幅度誤差或者幅度誤差參數(shù)已知，這樣才能保證誤差參數(shù)估計的準確性。

為驗證陣列誤差校正的性能，我們利用估計角度的方差與克拉美-羅界比較，來判斷估計的性能。克拉美-羅界是一切空間譜估計算法估計方差的下限，對于1維均勻等距線陣，在陣元數(shù)M和快拍數(shù)L以及信噪比SNR情況下，克拉美-羅界為[1,2]：

利用本文提出的誤差校正的方法，進行100次仿真，然后按式(22)計算角度估計方差

式(22)中角度以rad為單位。

圖6給出了利用本文誤差校正模型進行DOA估計的方差和空間譜估計克拉美-羅界(CRB)的曲線。如圖所示，兩者曲線基本一致，說明本文誤差校正模型的準確性。從圖6中可以看出，隨著信噪比增高，估計的方差減少，而且與CRB越接近，說明校正效果更好。而隨著信噪比降低，估計的方差增大，偏離CRB也更大，校正效果下降。圖7為選取不同快拍數(shù)(式(10))時進行估計的方差。可以看出，當快拍數(shù)較小時，估計方差較大，與 CRB偏離也較大。這是因為當選取采樣快拍數(shù)較小時，信號與噪聲相關性增大，導致利用式(10)來估計協(xié)方差矩陣誤差變大[1,12]。如圖 7所示，當快拍數(shù)L＞ 100時，估計方差較小，與CRB偏差也較小，估計性能變好。

圖2 增益幅度誤差校正曲線圖Fig. 2 The curve diagram of gain amplitude error calibration

圖3 增益幅度和相位誤差校正曲線Fig. 3 The curve diagram of gain amplitude and phase error calibration

表1 增益振幅和相位誤差校正Tab. 1 The calibration of gain amplitude and phase errors

圖4 相位誤差校正曲線Fig. 4 The curve diagram of phase error calibration

圖5 增益和相位誤差聯(lián)合校正曲線Fig. 5 The curve diagram of gain amplitude and phase error jointing calibration

圖6 估計方差隨信噪比變化Fig. 6 The estimated variance vs. signal-to-noise ratio

圖7 估計方差隨快拍數(shù)變化Fig. 7 The estimated variance vs. snap number

4 結(jié)束語

本文提出了一種新的空間譜估計中陣列誤差的校正方法。利用一輔助信號源進行預估計，同時得到陣列誤差的增益幅度和相位誤差參數(shù)的估計，從而在空間譜估計中進行陣列誤差校正。這種方法避免了在線聯(lián)合估計的龐大計算量，還避免了有源校正模型中對輔助源方位的高精度要求，可以在工程實際中應用。隨著信噪比以及采樣快拍數(shù)降低，估計的方差增大，校正效果下降，為保證估計性能，應選取較大的快拍數(shù)。本文方法為陣列誤差校正提供了新的思路，具有理論及應用價值。但本文方法僅限于不依賴方位的陣列擾動及在估計周期內(nèi)的慢不一致性。而對于陣元位置誤差等角度依賴的相位擾動，以及估計周期內(nèi)快不一致性的陣列誤差校正[12]，尚需要進一步研究。

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黃傳祿(1984-)，男，山東臨沂人，2012年于中國科學院電子學研究所獲得博士學位。現(xiàn)在中國電波傳播研究所任工程師，主要從事微波技術、輻射探測、信號處理等工作。

E-mail: chuanlu01@163.com

晁 坤(1979-)，男，江蘇徐州人，博士后，高級工程師，2008年博士畢業(yè)于西南交通大學電磁場與微波技術專業(yè)，現(xiàn)在中國電波傳播研究所從事電磁理論、微波遙感、被動探測、太赫茲技術等方面的工作。

毛云志(1978-)，男，湖北武漢人，碩士，中國電波傳播研究所工程師。目前主要研究方向為通信系統(tǒng)、數(shù)字信號處理。

Error Self-calibration Method in Spatial Spectrum Estimation

Huang Chuan-lu Chao Kun Mao Yun-zhi
(China Research Institute of Radiowave Propagation, Qingdao 266107, China)

An important bottleneck in spatial spectrum estimation theory is array errors. A new error self-calibration method is presented on the basis of active error calibration and online self-calibration theories. An algorithm combining Direction Of Arrival (DOA) estimation and array complex gain error calibration is developed using an auxiliary source without accurate spatial location information and numerical optimization calculation; the error calibration parameters can be used in the following spatial spectrum estimation. The method has a higher veracity than the active correction algorithm and is an offline calculation procedure, having the advantage of small computation amount, similar to the online self-calibration method, and avoiding accurate spatial location information in classical active calibration method.

Array signal processing; Spatial spectrum estimation; Array error; Error self-calibration; Parameter optimization algorithm

TN911

A

2095-283X(2014)05-0518-06

10.3724/SP.J.1300.2014.13147

2013-12-25收到，2014-04-14改回；2014-07-10網(wǎng)絡優(yōu)先出版國家部委基金資助課題

*通信作者： 黃傳祿 chuanlu01@163.com