CS-MRI中稀疏信號支撐集混合檢測方法

馮 振，郭 禾，王宇新，賈 棋，侯廣峰

(1. 大連理工大學軟件學院，遼寧 大連 1 16620；2. 大連理工大學計算機科學與技術學院，遼寧 大連 1 16024)

CS-MRI中稀疏信號支撐集混合檢測方法

馮 振1，郭 禾1，王宇新2，賈 棋1，侯廣峰1

(1. 大連理工大學軟件學院，遼寧 大連 1 16620；2. 大連理工大學計算機科學與技術學院，遼寧 大連 1 16024)

針對磁共振成像技術采樣過程過慢的問題，給出一種新的基于壓縮感知的圖像重建方法。通過分析一種特殊的基于奇異值分解(SVD)的信號稀疏表示方法，提出一種結合稀疏信號位置和大小信息的支撐集混合檢測方法，并根據該方法改進稀疏信號重建算法FCSA。實驗結果證明，在相同的欠采樣率下，改進FCSA算法重建圖像的峰值信噪比(PSNR)比傳統的基于小波稀疏基的FCSA算法重建圖像的PSNR高2.21 dB～12.72 dB，比基于SVD稀疏基的FCSA算法重建圖像的PSNR高0.87 dB～2.05 dB，且重建時間從基于小波稀疏基的FCSA算法的103.21 s下降至改進FCSA算法的36.91 s。

壓縮感知；磁共振成像；支撐集檢測；奇異值分解；稀疏信號；FCSA算法

1 概述

基于壓縮感知的磁共振成像技術(Compressed Se nsing-Magnetic Resonance Imaging CS-MRI)能夠以遠低于奈奎斯特頻率的采樣頻率對目標信號進行采集，從而極大降低采樣時間[1-2]。該技術自提出以來，得到學術界和工業界的廣泛關注。目前對CS-MRI的研究已經擴展到磁共振成像技術的各方面，如壓縮感知方法與并行成像技術的結合[3]、與動態磁共振成像的結合[4]、與三維磁共振成像的結合[5]等。

FCSA(Fast C omposite Splitting Al gorithm)是一種有效的CS-MRI圖像重建方法[6]，實驗結果表明，在同等欠采樣頻率和相似重建時間下，該方法能獲得比CG算法[7]、TVCMRI算法[8]和RecPF算法[9]等更好的重建效果。本文提出了一種基于支撐集檢測的FCSA方法(FCSA w ith Support)，該方法采用一種特殊的基于奇異值分解(Singular Value Decompo sition, SVD)的信號稀疏化方法[10]，并根據SVD稀疏信號的分布特性給出一種結合信號位置和大小信息的支撐集檢測方法。

2 CS-MRI方法

2.1 基于支撐集檢測的CS-MRI技術

在CS-MRI技術框架下，磁共振圖像可以通過滿足以下約束條件重建：

其中，矩陣x是磁共振圖像m經過稀疏變換ψ得到的稀疏信號，即ψ-1(x)=m；uφ是欠采樣傅里葉變換，即首先對圖像m做傅里葉變換，然后欠采樣k空間信號；y是磁共振線圈采集到的k空間信號；ε則和線圈采樣過程中的噪音誤差相關。式(1)約束了信號的稀疏性，式(2)約束了信號的數據一致性。

基于支撐集檢測的CS-MRI技術是對傳統CS-MRI技術的一個改進，該技術利用了稀疏信號在一些先驗知識，即稀疏信號在某些已知的位置是非零的，或具有較大的信號值，則在做信號稀疏性約束時，便不需要考慮這些位置的信號。設這些已知位置的集合，即支撐集為Τ，信號中其他位置為Δ，則基于支撐集檢測CS-MRI技術可以通過約束以下條件重建磁共振圖像：

其中，xΔ表示了稀疏信號x中除支撐集Τ以外位置的信號。

2.2 結合信號位置和大小信息的支撐集檢測方法

求解稀疏信號的支撐集T是一個迭代求解不斷精確化的過程，前人的工作表明，支撐集T越精確，在同樣欠采樣頻率下重建出的圖像越好。支撐集有2種檢測方法：

(1)基于信號位置的方法，如文獻[11]在時域傅里葉信號的中心位置指定一個矩形作為為支撐集。

(2)基于信號大小的閾值方法，有2種閾值設定方法[12]：

傳統的CS-MRI技術使用小波變換作為稀疏基，而本文采用一種特殊的基于SVD的磁共振圖像稀疏表示方法。設m是目標磁共振圖像，mu是m在k空間欠采樣后得到的圖像。對mu做SVD分解：

研究人員發現，欠采樣圖像mu的SVD矩陣Uu和Vu可以作為全采樣圖像m的稀疏基[10]，即：

如圖1所示，圖1(a)是全采樣圖像m，圖1(b)是欠采樣圖像mu，欠采樣率為1/5，圖1(c)表示了m的稀疏信號Sm?？梢钥闯?，基于SVD的磁共振圖像稀疏表示具有極強的分布特性，稀疏信號的較大值集中在了圖像的左上角和對角線附近。據此，本文提出一種結合稀疏信號位置和大小信息的支撐集檢測方法。

圖1 S VD分解圖像的稀疏表示方法

設所有位置信號的集合為?。?1)根據信號的位置信息，即該信號與原點及對角線的距離，將該信號劃分為Α1和Α2，其中，A1距離原點及對角線的距離小于某個給定的閾值，Α2=Α/ Α1；(2)使用顯著第一跳的方法確定本次迭代的閾值t(s)，在Α1集合中大于閾值t(s)的信號集合作為本次迭代的支撐集T，Α1中小于閾值t(s)的信號的集合與Α2的并集組成信號集合Δ，即Δ=A1/T+A2。

本文采用以下方法將信號集合Α劃分為Α1和Α2。設稀疏信號的一個像素點為xi，xi與原點(original)的歐式距離為，xi與對角線(diagonal)的歐式距離為，則xi的位置信息權值表示為其中，α, β是 2種距離的權值，且α, β＞0。

2.3 基于支撐集的FCSA算法

為重建磁共振圖像，FCSA算法將式(1)轉變為以下重建問題：

其中，k是迭代重建的次數；TV是對磁共振圖像的全變分操作；ρ、α和β是數據一致性、信號全變分稀疏性和信號L1稀疏性的平衡因子。

FCSA算法首先將變量x分裂為x1和x2，然后對x1和x2獨立地執行運算符分裂，最后將更新后的x1和x2線性組合在一起得到更新后的x。

基于支撐集的FCSA算法將式(6)轉換為以下重建問題：

該算法可以采用類似于FCSA算法中變量分裂和運算符分裂的方法重建信號x。

3 實驗與結果

全部實驗在一臺筆記本上進行，硬件配置為Intel i 7-3612QM處理器，6 GB內存，軟件環境為Windows 7 64位，Matlab R2008a。

采用2幅磁共振圖像作為測試集，一幅為膝部圖片，如圖2(a)所示；一幅為乳房圖片，如圖2(b)所示。2幅圖片均由西門子公司1.5T磁共振系統采集獲得。將磁共振圖像在k空間內欠采樣，欠采樣模板如圖3所示。在實驗中，欠采樣率設置為1/4、1/5和1/6。作為對比實驗，共使用了3種算法重建欠采樣圖像，即以小波變換(Daubechies-4)為稀疏基的FCSA算法(FCSA with Wavelet)、以SVD為稀疏基的FCSA算法(FCSA with SVD)和基于支撐集的FCSA算法(FCSA with Support)。

圖2 磁共振圖像

圖3 k空間欠采樣模板

表1記錄了上述3種算法在不同欠采樣率下重建得到的圖像的峰值信噪比(PSNR)。對相同的欠采樣圖像，FCSA with SVD算法和FCSA with Support算法都獲得了比FCSA with Wavelet算法更高的PSNR值。相比于FSCA with SVD算法，FCSA with Support算法根據檢測到的支撐集進一步約束了信號的稀疏性，因此后者獲得了更高的PSNR值。

表1 重建圖像峰值信噪比

圖4顯示對欠采率為1/4的膝部圖像的重建效果。圖5顯示對欠采樣率為1/4的乳房圖像的重建效果。第1行為重建的圖像；第2行為重建圖像與原始圖像的差值圖，為更清晰地顯示重建錯誤，圖中差值均擴大了5倍。

圖4 欠采樣率為1/4的膝部圖像的重建效果

圖5 欠采樣率為1/4的乳房圖像的重建效果

從圖4、圖5可以看出，FCSA with SVD方法和FCSA with Support方法能夠比FCSA with Wavelet方法重建出質量更好的圖像；同時也可以看出FCSA with Support方法重建的圖像具有比FCSA with SVD方法重建的圖像更小的重建錯誤。

表2比較了上述3種方法對膝部和乳房圖像重建時，在不同欠采樣率下的平均重建時間。在實驗中，FCSA算法的迭代次數統一設置為50次，不同的信號稀疏變換方法導致了重建時間的差異。FCSA wi th W avelet方法使用了Daubechies-4小波作為稀疏基，實驗發現對512×512的矩陣執行Daubechies-4小波變換的平均時間為0.51 s；FCSA with SVD方法和FCSA with Support方法使用的基于SVD的信號稀疏方法需要對3個矩陣做2次連續的矩陣乘法運算，實驗發現對3個512×512的矩陣執行2次連續矩陣乘法的平均時間為0.009 s，遠小于小波變換所需時間；因為FCSA with Support方法在約束信號稀疏性時需要在全部信號中選擇非支撐集信號，通過稀疏信號點乘以2值矩陣執行該選擇操作，2值矩陣中0值表示支撐集信號的位置，該矩陣點乘操作(平均0.001 s)導致FCSA with Support方法比FCSA with SVD方法的執行時間略長。

表2 圖像重建平均時間 s

4 結束語

本文根據基于SVD稀疏基的磁共振圖像稀疏表示，提出一種結合了稀疏信號位置和大小信息的支撐集檢測方法，并根據該方法改進了FCSA重建算法。本文實驗證實，對于某些稀疏信號，其特殊的信號分布特性可以作為一種有效的先驗知識用于欠采樣信號的重建。今后的研究重點有2個研究方向：(1)針對其他的稀疏基，研究其稀疏信號的分布特征，提出優化的支撐集檢測方法；(2)本文方法經過擴展，可以應用到解決磁共振并行成像、動態成像和三維成像等問題中。

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編輯 索書志

Hybrid Detection Method of Sparse Signal Support Set in CS-MRI

FENG Zhen1, GUO He1, WANG Yu-xin2, JIA Qi1, HOU Guang-feng1

(1. School of Software Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116620, China; 2. School of Computer Science and Technology, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China)

Aiming at the problem of slow sampling time in Magnetic Resonance Imaging(MRI), a new Compressed Sensing(CS) method is proposed. Singular Value Decomposition(SVD)-based sparse representation is an effective but not widely studied method in the CS-MRI field. This sparse representation is improved using the partially known signal sup port method. A hybrid support d etection method is proposed to make use both the position and magnit ude knowledge of the sparse signals. This hybrid support detection method is f urther applied in Fast Composite Splitt ing Algorithm(FCSA), which is an effective reconstruction algorithm for CS-MRI problem. Experimental results show that the proposed FCSA algorithm outperforms the FCSA with Wavelet method and the FCS A with SVD method in th e reconstructed image qualities, its PSNR is 2.21 dB～12.72 dB higher than the FCSA with Wavelet method, 0.87 dB～2.05 dB higher than the FCSA with SVD method, and the reconstruction time is 36.91 s compared with 103.21 s of the FCSA with Wavelet method.

Compressed Sensing(CS); Magnetic Resonance Imaging(MRI); support set detection; Singular Value Decomposition(SVD); sparse signal; FCSA algorithm

10.3969/j.issn.1000-3428.2014.05.034

國家自然科學基金資助重點項目(61033012)；國家自然科學基金資助項目(61003177)。

馮 振(1987－)，男，博士研究生，主研方向：圖像處理；郭 禾，教授；王宇新，副教授；賈 棋，講師；侯廣峰，助教。

2013-04-10

2013-06-03E-mail：fengz@mail.dlut.edu.cn

1000-3428(2014)05-0164-04

A

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