基于穩(wěn)健估計(jì)的GPS水準(zhǔn)在線(xiàn)狀工程中的應(yīng)用

楊 坤，簡(jiǎn)漢佳

(佛山市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東佛山 528000）

基于穩(wěn)健估計(jì)的GPS水準(zhǔn)在線(xiàn)狀工程中的應(yīng)用

楊 坤，簡(jiǎn)漢佳

(佛山市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院，廣東佛山 528000）

一、引 言

線(xiàn)狀工程的特點(diǎn)是線(xiàn)路長(zhǎng)、線(xiàn)路周?chē)匦螐?fù)雜多變，而且相對(duì)于面狀工程，測(cè)區(qū)狹長(zhǎng)，地勢(shì)起伏多變，因此在整個(gè)工程中需要的高程數(shù)據(jù)較多。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)RTK技術(shù)已廣泛應(yīng)用于測(cè)量領(lǐng)域。由于其定位結(jié)果是基于WGS-84橢球的大地高，而實(shí)際需要的通常是正常高，因此如何選擇一定的轉(zhuǎn)換方法，把GPS點(diǎn)的大地高轉(zhuǎn)換為正常高，是實(shí)際應(yīng)用中非常重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。目前部分城市已完成了區(qū)域似大地水準(zhǔn)面精化工作，但是由于其成本過(guò)高，許多地區(qū)仍采用高程擬合的方法進(jìn)行正常高的轉(zhuǎn)換。而且隨著測(cè)量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化和自動(dòng)化，粗差也不可避免地被包含在測(cè)量數(shù)據(jù)中。因此，如何處理同時(shí)存在偶然誤差和粗差的觀測(cè)數(shù)據(jù)，選取符合工程實(shí)際的高程擬合模型，將是測(cè)量工作者需要解決的重要問(wèn)題。

二、穩(wěn)健估計(jì)概述

穩(wěn)健估計(jì)是在粗差干擾不可避免情況下，選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，使參數(shù)估值盡可能減免其影響，得出正常模式下的最優(yōu)或接近最優(yōu)的參數(shù)估值。它要求解決這類(lèi)問(wèn)題的估計(jì)方法應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：

1）在假定的觀測(cè)分布模型下，估值應(yīng)是最優(yōu)的或接近最優(yōu)的；

2）當(dāng)假設(shè)的分布模型與實(shí)際的理論分布模型有較小差異時(shí)，估值受到粗差的影響較小；

3）當(dāng)假設(shè)的分布模型與實(shí)際的理論分布模型有較大偏離時(shí)，估值不至于受到破壞性影響。

穩(wěn)健估計(jì)基本可分為3大類(lèi)：M估計(jì)、L估計(jì)、R估計(jì)，其中M估計(jì)應(yīng)用較為廣泛。M估計(jì)中權(quán)函數(shù)的選擇是關(guān)鍵，經(jīng)典的權(quán)函數(shù)有Huber法、丹麥法、殘差絕對(duì)和最小法、Hample法等。

三、GPS水準(zhǔn)

GPS水準(zhǔn)是目前GPS作業(yè)中最常用的一種方法。它是綜合利用GPS大地高和水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)結(jié)果確定高程異常的一種方法。

對(duì)于線(xiàn)狀工程，主要應(yīng)用解析內(nèi)插法(包括曲線(xiàn)內(nèi)插法、樣條函數(shù)法和Akima法），本文將對(duì)曲線(xiàn)內(nèi)插法、樣條函數(shù)法進(jìn)行介紹。

1.多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合法

此方法選用一個(gè)m次代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)。設(shè)高程控制點(diǎn)的高程異常ζi與其坐標(biāo)xi(或yi，或擬合坐標(biāo)）間存在的函數(shù)關(guān)系(i＝1，2，…，n）可以用下面m(m≤n）次多項(xiàng)式來(lái)擬合，即

各高程控制點(diǎn)的已知高程異常與其擬合值之差為

根據(jù)最小二乘法，式(2）應(yīng)滿(mǎn)足以下條件

求解式(1）中的待定系數(shù)ai，根據(jù)式(2）解得線(xiàn)路上各點(diǎn)的高程異常值ζ，進(jìn)而得出各點(diǎn)的正常高h(yuǎn)。

2.三次樣條曲線(xiàn)擬合法

三次樣條曲線(xiàn)是由分段的三次多項(xiàng)式曲線(xiàn)拼接而成的連續(xù)曲線(xiàn)，在結(jié)點(diǎn)的地方，其自身、一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)均為連續(xù)的。因此它保留了多項(xiàng)式的簡(jiǎn)便性，計(jì)算較容易，同時(shí)也具備了單個(gè)多項(xiàng)式無(wú)法比擬的靈活性、穩(wěn)定性，故在長(zhǎng)線(xiàn)路的高程擬合中得到廣泛應(yīng)用。其原理如下：

設(shè)在n個(gè)已知點(diǎn)上，ζi(高程異常）和xi(擬合坐標(biāo)）在區(qū)間[xi，xi＋1](i＝1，2，…，n）上滿(mǎn)足下式

四、算例分析

佛山一環(huán)為城市高速公路，是佛山市歷史上投資規(guī)模最大的市政建設(shè)項(xiàng)目之一，跨禪城、南海、順德及三水4區(qū)，全長(zhǎng)99.2 km，全程42個(gè)出口，緊密連接了廣州、肇慶、珠海、江門(mén)、云浮及中山等城市，是珠三角重要的交通干線(xiàn)之一。全線(xiàn)共布設(shè)了112個(gè)GPS控制點(diǎn)，并進(jìn)行了四等水準(zhǔn)聯(lián)測(cè)，本文選擇其中一段進(jìn)行高程擬合試驗(yàn)。

1.粗差剔除

試驗(yàn)中，由于擬合殘差較大，不滿(mǎn)足相關(guān)規(guī)范要求，考慮試驗(yàn)數(shù)據(jù)可能含有粗差，故對(duì)其進(jìn)行粗差剔除。利用多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合采用穩(wěn)健估計(jì)中選權(quán)迭代法求解相關(guān)參數(shù)，權(quán)函數(shù)采用經(jīng)典的Huber法，運(yùn)用Matlab工具編程計(jì)算，高程殘差值如圖1所示，穩(wěn)健估計(jì)權(quán)值如圖2所示。

圖1 高程殘差

圖2 穩(wěn)健估計(jì)權(quán)值

由圖1可知，75為異常點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的權(quán)值(如圖2所示）相對(duì)也比較小，故判定為粗差，擬合時(shí)應(yīng)將其剔除。

2.高程擬合

根據(jù)上述高程擬合原理，在線(xiàn)路上選取適當(dāng)?shù)墓部刂泣c(diǎn)，采用兩種擬合方案，通過(guò)Matlab工具自動(dòng)計(jì)算試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行比較分析，具體敘述如下。

(1）方案一

選用2～6次的多項(xiàng)式曲線(xiàn)進(jìn)行高程擬合，擬合精度詳見(jiàn)表1，所選聯(lián)測(cè)點(diǎn)的高程異常殘差如圖3所示，相應(yīng)高程異常檢查點(diǎn)的殘差如圖4所示。

表1 多項(xiàng)式擬合精度mm

圖3 多項(xiàng)式擬合法聯(lián)測(cè)點(diǎn)高程異常殘差

圖4 多項(xiàng)式擬合檢查點(diǎn)高程異常殘差

通過(guò)對(duì)方案一分析，可得出以下結(jié)論：

1）由表1可知，隨著階次增大，擬合結(jié)果的內(nèi)符合精度和外符合精度同時(shí)提高，因此增加擬合階次可不同程度改善擬合精度，與內(nèi)符合精度相比，外符合精度改善并不明顯。

2）從擬合殘差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果(多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合法）可知，所有成果均滿(mǎn)足等外水準(zhǔn)限差；從二階到六階，各階次都有檢查點(diǎn)超出四等水準(zhǔn)限差，其中二次擬合超限點(diǎn)占36.7%，但隨著擬合階次的提高，超出限差的點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在減少，到六次擬合時(shí)超限點(diǎn)占10%，說(shuō)明擬合階次的提高對(duì)線(xiàn)路的控制有所改善。

3）綜上所述，通過(guò)多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合，能夠達(dá)到普通水準(zhǔn)的精度要求。此次試驗(yàn)的聯(lián)測(cè)點(diǎn)為四等水準(zhǔn)，若采用更高等級(jí)的數(shù)據(jù)進(jìn)行聯(lián)測(cè)，對(duì)擬合精度的提高將會(huì)更加明顯。

(2）方案二

選用三次樣條曲線(xiàn)擬合法對(duì)公共聯(lián)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行擬合，擬合精度詳見(jiàn)表2，所選公共點(diǎn)的高程異常殘差如圖5所示，檢查點(diǎn)的高程異常殘差如圖6所示。

表2 三次樣條曲線(xiàn)擬合精度mm

圖5 三次樣條曲線(xiàn)擬合聯(lián)測(cè)點(diǎn)高程異常殘差

圖6 三次樣條曲線(xiàn)擬合檢核點(diǎn)高程異常殘差

通過(guò)對(duì)方案二分析，可得出以下結(jié)論：

1）由圖5可知，三次樣條曲線(xiàn)擬合法聯(lián)測(cè)點(diǎn)擬合殘差為零，擬合精度很好；由圖6可知，三次樣條曲線(xiàn)擬合法在檢核點(diǎn)的擬合中殘差較小而且殘差值波動(dòng)的范圍也較小，除幾個(gè)點(diǎn)的殘差值外，其余點(diǎn)的殘差值都在0.03～-0.03 m之間波動(dòng)。而表2中的擬合精度則進(jìn)一步說(shuō)明了三次樣條曲線(xiàn)擬合法擬合精度的可靠性。

2）從三次樣條曲線(xiàn)擬合殘差的統(tǒng)計(jì)結(jié)果來(lái)看，其擬合結(jié)果均滿(mǎn)足等外水準(zhǔn)的要求；在四等水準(zhǔn)限差中，只有幾個(gè)點(diǎn)超限，僅占13.3%。

3）綜上所述，三次樣條曲線(xiàn)擬合法的擬合結(jié)果精度很高，并且擬合殘差值所變動(dòng)的范圍也比較統(tǒng)一，從而使其對(duì)線(xiàn)路可以有效地控制、保證精度。

五、結(jié)束語(yǔ)

隨著科技的進(jìn)步，GPS逐漸進(jìn)入了我們的日常工作。GPS以其方便快捷的測(cè)量方法很快受到測(cè)量界的青睞。雖然GPS水準(zhǔn)的方法已普遍應(yīng)用于各類(lèi)測(cè)量工程中，但如何獲得更高精度可靠的擬合高程值，仍需要作進(jìn)一步研究。本文通過(guò)引入穩(wěn)健估計(jì)的方法，克服最小二乘不具備抗粗差的特性，從很大程度上避免了粗差給測(cè)量結(jié)果帶來(lái)的不良影響，提高了成果的可靠性和精確性。高程擬合方法種類(lèi)很多，并且各有特點(diǎn)，對(duì)于不同情況的測(cè)區(qū)，如何選擇最優(yōu)的擬合方法是確保測(cè)量精確度的關(guān)鍵。本文通過(guò)試驗(yàn)對(duì)比得出，三次樣條曲線(xiàn)擬合法的擬合結(jié)果精度較高，且擬合殘差值變動(dòng)的范圍也比較統(tǒng)一，從而有效地控制、保證精度，也為類(lèi)似工程提供一定的參考。

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Application of GPS Leveling Based on the Robust Estimation in the Linear Engineering

YANG Kun，JIAN Hanjia

為克服最小二乘不具備抗粗差干擾能力的缺點(diǎn)，首先將穩(wěn)健估計(jì)引入到GPS水準(zhǔn)的粗差剔除中，從而有效避免擬合結(jié)果失實(shí)的現(xiàn)象，提高結(jié)果的可靠性；然后結(jié)合工程項(xiàng)目實(shí)際數(shù)據(jù)，利用Matlab工具實(shí)現(xiàn)多項(xiàng)式曲線(xiàn)擬合和三次樣條曲線(xiàn)擬合，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行比較、分析，得出適合本工程的最優(yōu)擬合方法，可為同類(lèi)項(xiàng)目提供參考。

GPS；穩(wěn)健估計(jì)；高程擬合；Matlab

P224

B

0494-0911(2014）10-0057-03

楊坤，簡(jiǎn)漢佳.基于穩(wěn)健估計(jì)的GPS水準(zhǔn)在線(xiàn)狀工程中的應(yīng)用[J].測(cè)繪通報(bào)，2014(10）：57-59.

10.13474/j.cnki.11-2246.2014. 0328

2014-05-27

楊 坤(1988―），男，安徽定遠(yuǎn)人，助理工程師，主要從事城市測(cè)繪工作。