多值直覺模糊軟集

1.合肥學院 數學與物理系，合肥 230601

2.安徽大學 數學科學學院，合肥 230601

江立輝1，陳華友2，丁芳清1，趙 娟1

多值直覺模糊軟集

1.合肥學院 數學與物理系，合肥 230601

2.安徽大學 數學科學學院，合肥 230601

江立輝1，陳華友2，丁芳清1，趙 娟1

1 引言

軟集理論[1]作為一種新的數學工具來處理不確定性問題，彌補了傳統模糊理論在參數工具上的不足。如今，軟集理論已被國內外學者所關注，并被成功應用到數據分析、預測、決策等眾多的領域[2-7]。在軟集理論研究中，關于軟集與模糊集的融合研究是一個重要的研究方向，Feng F等學者將粗糙集、區間模糊集、雙極值模糊集與軟集理論融合分別提出了粗糙軟集、區間直覺模糊軟集和雙極值模糊軟集的概念及相關性質[8-10]。Sulaiman提出了多方面模糊軟集的概念及性質[11]，Zhang Z提出了梯形區間二-型模糊軟集的概念，并將其應用于多屬性群決策中[12]。Babitha提出了廣義直覺模糊軟集的概念及性質，并將其用到了決策問題中[13]。實際中對一個對象的評價，不同的人得到的結果往往是不同的，即使同一人從不同角度出發得到的結果往往也是不同的，故張善文和S.Sebastian等人于2008年和2011年先后提出了多值直覺模糊集的概念[14-15]。多值直覺模糊集是對直覺模糊集的拓展，較傳統直覺模糊集在描述信息不完全問題時的能力更強。本文在此基礎上將多值直覺模糊集和軟集理論相融合，提出多值直覺模糊軟集的概念并討論其相關性質。

2 基本概念

下面給出軟集、直覺模糊集以及多值直覺模糊集的一些基本概念。

定義2.1[1]令U是一個論域，E是一個參數集，P(U)表示U的冪集，A?E。設F:A→P(U )為一個映射，則稱(F ，A)為U上的軟集。

3 多值直覺模糊軟集

定義3.1令U是一個論域，E是一個參數集，MkIFS(U )表示U的k維多值直覺模糊集，A?E。設F:A→MkIFS(U )是一個的映射，則稱(F，A)為U上k維多值直覺模糊軟集（Multi-Intuitionistic fuzzy soft sets）。

換句話說，多值直覺模糊軟集是參數到MkIFSS(U )上的映射。它是論域U上多值直覺模糊集的子集構成的參數族。對于?e∈A，F(e)可以被看作是一組參數為e的多值直覺模糊軟集(F，A)中的元素。可記作：

例 3.1 假 設 U=(u1，u2，u3，u4，u5) 是 一 組 衣 服 ，A=(e1，e2，e3)是一組參數，其中 e1代表參數“顏色”，包括紅色和綠色，e2代表參數“材質”，包括羊毛和棉，e3代表參數“價格”，包括貴的，便宜。可以定義下面的2維多值直覺模糊軟集：

從該軟集(F，A)中可以得到很多信息，例如衣服c1顏色中紅色隸屬度為0.4，非隸屬度為0.2；綠色隸屬度為0.5，非隸屬度為0.3。

定義3.2A，B∈E，(F，A)和 (G，B)是論域 U 上的兩個k維多值直覺模糊軟集，如果滿足：

例 3.2 U={u1，u2，u3，u4}，A={e1，e2}，B={e1，e2，e3}，顯然 A?B。假設(F，A)和(G，B)是兩個2維的多值直覺模糊軟集，且則 (F，A)?(G，B)。

定義3.3(F，A)和(G，B)是論域U 上的兩個 k維多值直覺模糊軟集，如果 (F，A)?(G，B)，且 (G，B)?(F，A)，則稱 (F，A)和 (G，B)相等，記為 (F，A)=～(G，B)。

定義3.5(F，A)是論域U上的一個k維多值直覺模糊軟集，如果對 ?e∈A，hi∈U 且有 μijF(e)(hi)=1且γijF(e)(hi)=0，則稱(F，A)是一個滿值多值直覺模糊軟

定義3.6(F，A)是論域U上的一個k維多值直覺模糊軟集，記映射Fc:A→MkIFS(U )，對 ?e∈A，有Fc(e)=(F(e))c，即?e∈A，x∈U 有 μijFc(e)(x )=γijF(e)(x)；γijFc(e)(x) =μijF(e)(x) 成立，則稱 (Fc，A)為 (F，A)的補集，記為 (F，A)c。

例3.3考慮例3.1，可以得到如下的(F，A)c：

則稱(H，C)為 (F，A)和 (G，B)的并，記為(F，A)?(G，B)= (H，C)。

定義3.8(F，A)和(G，B)為論域U上的兩個k維多 值 直 覺 模 糊 軟 集 ，若 C=A∩B，?e∈C，H(e)= F(e)∩G(e )。則稱 (H，C)為 (F，A)和 (G，B)的交，記為(F，A)?(G，B)=(H，C)。

定理2(F，A)和(G，B)為論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集，那么

證明由定義3.7和定義3.8易得。

定理3(F，A)和(G，B)為論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集，那么

證明（1）假設(F，A)?(G，B)=(H，C)，其中C=A∪B，且?e∈C，

所以 ((F，A)?(G，B))c=(H，C)c=(Hc，C)，且

再假設 (F，A)c?(G，B)c=(Fc，A)?(Gc，B)=(I，J)，其中 J=A∪B，?e∈J，

可以看出C=J且?e∈C(J)，Hc(e) e?I(ｅ)，證畢。

（2）同理可證。

定理4(F，A)和(G，B)為論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集，那么

（1）(F，A)c?(G，B)c?((F，A)?(G，B))c

（2）((F，A)?(G，B))c?(F，A)c?(G，B)c

證明（1）假設(F，A)?(G，B)=(H，C)，其中C=A∪B，且?e∈C，

（2）同理可證。

定理5(F，A)和(G，A)為論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集，那么

（1）((F，A)?(G，A))c=(F，A)c?(G，A)c

（2）((F，A)?(G，A))c=(F，A)c?(G，A)c

（2）同理可證。

定義3.9(F，A)和(G，B)為論域U 上的兩個 k維多值直覺模糊軟集，“ (F，A)且 (G，B)”定義為 (H，A×B)，其中H:A×B→MkIFS(U)是一個映射，?( ) α，β ∈A×B，hi∈U，有

定義3.10(F，A)和(G，B)為論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集，“ (F，A)或 (G，B)”定義為 (H，A×B)，其中H:A×B→MkIFS(U)是一個映射，?(α ，β)∈A×B，hi∈U，有成立，即

將“ (F，A)或 (G，B)”記為 (F，A)∨(G，B)。

定理6論域U上的兩個k維多值直覺模糊軟集(F，A)和 (G，B)有：

證明（1）假設(F，A)∧(G，B)=(H，A×B)，因此((F，A)∧(G，B))c=(H，A×B)c=(Hc，A×B)。現在 (F，A)c∨(G，B)c= (Fc，A)∨(Gc，B)=(O，A × B)，取(α，β)∈A × B，所以Hc(α，β)= (H(α，β))c=(F(α)∩ G(β))c=Fc(α)∪ Gc(β)，O(α，β)=Fc(α)∪Gc(β)。

因此 Hc(α，β)=O(α，β)，證畢。

（2）同理可證。

4 結束語

軟集理論與模糊理論的融合近年來受到了大量學者的關注。多值直覺模糊集是近期才提出的一種對直覺模糊集的拓展，其描述信息不完全問題時的能力更強。本文在多值直覺模糊集和軟集的基礎上提出了多值直覺模糊軟集的概念，并給出了相關的運算及其性質。這些研究擴充了處理不確定性理論問題的方法，在處理某些多參數模糊信息時優于傳統的直覺模糊軟集。

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[12]Zhang Z，Zhang S.A novel approach to multi attribute group decision making based on trapezoidalinterval type-2 fuzzy soft sets[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37（7）：4948-4971.

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JIANG Lihui1,CHEN Huayou2,DING Fangqing1,ZHAO Juan1

1.Department of Mathematics and Physics,Hefei University,Hefei 230601,China
2.School of Mathematical Science,Anhui University,Hefei 230601,China

In this paper,the notion of multi-intuitionistic fuzzy soft sets is proposed by combining the multi-intuitionistic fuzzy sets and soft sets.The complement,union,intersection,“and”,“or”operations are defined on the multi-intuitionistic fuzzy soft sets.The basic properties of multi-intuitionistic fuzzy soft sets are also presented and discussed.

fuzzy soft sets;multi-fuzzy sets;multi-intuitionistic fuzzy soft sets

將多值直覺模糊集和軟集相結合，提出了多值直覺模糊軟集的概念。給出了多值直覺模糊軟集的補、交、并、“且”、“或”運算的概念，并基于這些概念研究了若干性質。

模糊軟集；多值模糊集；多值直覺模糊軟集

A

O159

10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0197

JIANG Lihui,CHEN Huayou,DING Fangqing,et al.Multi-intuitionistic fuzzy soft sets.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：114-117.

國家自然科學基金（No.71371011，No.71301001）；安徽省高校自然科學基金（No.KJ2013B234）；國家大學生創新項目（No.201211059017，No.201311059001）；合肥學院重點建設學科（No.2014xk08）。

江立輝（1980—），男，講師，研究方向為預測與決策分析；陳華友（1969—），男，博士，教授，研究方向為預測和決策分析；丁芳清（1965—），女，副教授，研究方向為概率統計；趙娟（1981—），女，副教授，研究方向為預測與決策分析。E-mail：13866768477@139.com

2014-06-16

2014-09-12

1002-8331（2014）23-0114-04

CNKI網絡優先出版：2014-09-18,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1406-0197.html