分數階非線性方程近似解析解的新解法

董立華，劉艷芹

德州學院 數學科學學院，山東 德州 253023

分數階非線性方程近似解析解的新解法

董立華，劉艷芹

德州學院 數學科學學院，山東 德州 253023

1 引言

分數階非線性方程已廣泛地應用到黏彈性流體、擴散過程、生物力學、固態物理等很多領域[1-4]。伴隨著非線性科學的發展，涌現出了很多求解分數階非線性方程的解析和數值方法[5-7]。而分數階偏微分方程的解析解難以推導，而現有的解析近似方法又有其自身的缺點[8-9]，需要計算復雜的Adomian多項式和Lagrange乘子等，近年來很多學者對這些方法做了改進[10-11]。Wu[12-13]將Laplace變換和變分迭代法相結合，克服了分數階Lagrange乘子難以計算的困難。在前人研究的基礎上本文提出一種新的修正方法，將變分迭代法、同倫擾動法和Laplace變換相結合，并將該方法應用于分數階非線性發展方程的求解，其中利用Laplace變換推導分數階的Lagrange乘子，而He的多項式則用來處理方程中出現的非線性項，該方法簡單有效。

2 方法簡介

考慮如下的時間分數階方程：

首先根據修正的變分迭代法[12-13]，方程（1）和（2）兩邊作Laplace變換并得到方程的迭代格式為：考慮L[R[un(x，t)]+N[un(x，t)]]為變分項，可得到Lagrange乘子為 λ(s)=-1/sα，方程（3）兩邊再作逆Laplace變換 L-1得到：

u0(x，t)為方程（1）的初始迭代值，包含了初始值和源匯項的信息：

齊次方程非線性項的處理。根據同倫擾動法假設方程的解可以表示為p的冪級數：

3 時間分數階耦合的MKdV方程及其近似解

考察如下的求解時間分數階耦合的MKdV方程[15]。

γ是任意常數，當α=1時精確解為：

這里 t＞0，0＜α≤1，初始條件為：方程（5）～（6）兩邊作Laplace變換得到如下迭代格式：

u0，v0是式（5）和（6）的初始迭代值，取 u0=u(x，0)，v0= v(x，0)，應用上述修正的新方法得到：

圖1 方程（5）～（6）的精確解 u(x，t)當 λ=1，γ=0.1

圖3 方程（5）～（6）的二階近似解 u0+u1當 α=λ=1，γ=0.1

圖4 方程（5）～（6）的二階近似解 v0+v1當 α=λ=1，γ=0.1

圖 1和圖 2分別表示方程（5）～（6）精確解 u(x，t)，v(x，t)的圖像。圖3和圖4分別表示方程（5）～（6）二級近似解的圖像當α=1。從圖像可以看出這種新方法具有較高的精確度，而且不需要復雜的計算。

4 結果和討論

這種新的方法結合了變分迭代法、同倫分析法和Laplace變換三種處理方法的優點，便于簡單計算Lagrange乘子和方便處理非線性項。實例證明該方法可以用于其他分數階的非線性方程。

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DONG Lihua,LIU Yanqin

School of Mathematical Sciences,Dezhou University,Dezhou,Shandong 253023,China

A novel method which is based on variational iteration method,Laplace transform and homotopy perturbation method is proposed,and this new method is applied to obtain the approximate solutions of the fractional coupled MKdV equation.The fractional Lagrange multiplier is accurately determined by the Laplace transform and the nonlinear term can be easily handled by He’s polynomials.The results demonstrate accuracy and fast convergence of this new algorithm.

variational iteration method;Laplace transform;homotopy perturbation method;fractional equation;nonlinear equation

將變分迭代法、同倫擾動法和Laplace變換相結合應用于分數階非線性發展方程近似解的求解，其中Laplace變換可準確方便地求得分數階的Lagrange乘子，而He的多項式可簡單地處理方程中出現的非線性項，將新的處理方法應用到分數階耦合的MKdV方程，結果表明該方法具有較高的精度和收斂性。

變分迭代法；Laplace變換；同倫擾動法；分數階方程；非線性方程

A

O175.29

10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0192

DONG Lihua,LIU Yanqin.New approximate solutions of fractional nonlinear equations.Computer Engineering and Applications,2014,50（23）：1-3.

山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金（No.BS2013HZ026）；山東省自然科學基金（No.ZR2013AQ005）。

董立華（1965—），女，教授，研究方向為函數論；劉艷芹（1981—），女，博士，副教授。E-mail：yanqinliu@dzu.edu.cn

2014-04-14

2014-05-27

1002-8331（2014）23-0001-03

CNKI網絡優先出版：2014-06-26,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1404-0192.html