基于聲子晶體理論的爐內管陣列聲透射特性數值研究

姜根山，劉月超，安連鎖

（1.華北電力大學數理學院，河北保定071003；2.華北電力大學能源動力與機械工程學院，北京102206）

鍋爐“四管”由水冷壁、過熱器、再熱器和省煤器組成，其中過熱器、再熱器和省煤器均由大規模的二維管陣列組成［1］，而且不同鍋爐不同位置的管陣列管徑、間距及排列方式不盡相同，這給清除管陣列中的表面積灰和檢測管陣列中的泄漏源位置帶來非常大的實際困難.近年來，應用聲學方法進行爐內清灰和泄漏檢測備受業內人士關注，聲波除灰是利用聲能量清除換熱器表面積灰和結焦的技術，在20世紀90年代就已在我國鍋爐設備中得到應用，但由于其基礎研究滯后，這項技術發展較為緩慢.聲學檢漏是利用聲波信息進行泄漏征兆判斷與檢測的技術，具有實時性、可遠程監測和可應用于爐內高溫高壓環境等優點，所以利用現代聲學技術監測爐內管道早期泄漏聲信號被譽為目前國際上大型電站鍋爐檢測管道泄漏和預報鍋爐爆管事故方面最具發展潛力的重要手段之一，但是目前相關理論的研究遠未達到實際要求.因此，研究爐內換熱器管陣列中的聲傳播特性對爐內聲學應用研究具有重要的理論與實際意義［1-2］.

聲子晶體的概念是1993年由Kushwaha等人在對比傳統晶體和光子晶體的理論基礎上提出的，是指彈性常數及密度周期分布的材料或結構存在彈性波帶隙，其特殊的陣列結構對聲傳播產生不同的影響［3-4］，這一特點備受國內外學者的關注.Kushwaha等［5-6］的研究表明，三角形晶格比正方形晶格聲子晶體的帶隙更寬、Vasseur等［7］通過對二維碳／環氧樹脂聲子晶體的計算發現，正方形截面相對于圓形截面能獲得更寬的帶隙.Goffaux 等［8］和Wu等［9］分別研究了二維固／固和流／流聲子晶體的正方形截面散射體旋轉角度對帶隙的影響.目前，對聲子晶體聲學特性的研究方法主要包括有限元法［10］、傳遞矩陣法［11］、多重散射法［12］和平面波展開法［3-4，13］等.對于二維聲子晶體，平面波展開法應用十分廣泛，它在計算固體-固體、液體（或氣體）-液體（或氣體）等形式的各種結構聲子晶體時取得了良好的效果.爐內換熱器管陣列的結構特點構成了宏觀的二維聲子晶體，將聲子晶體理論應用于鍋爐爐內換熱器管陣列聲傳播特性的研究是可行的.

目前，利用聲子晶體理論研究爐內換熱器管陣列聲傳播特性的工作鮮有報道，筆者采用平面波展開法和Comsol有限元軟件對爐內換熱器管陣列的聲傳播特性進行了數值研究，獲得了換熱器管束排列對聲傳播的影響規律，這對聲波除灰和泄漏檢測中傳感器的位置布局及頻率設計具有實際參考價值，為爐內聲學理論的發展和應用提供了新的方法與途徑.

1 二維聲子晶體理論模型

聲子晶體分為一維、二維和三維結構，爐內換熱器管陣列屬于二維聲子晶體結構，其排列方式通常分為順排和錯排2種方式（見圖1）.

假設入射聲波為平面波，二維聲子晶體的波動方程為［3］

式中：r為位置矢量；t為時間；u（r，t）為與位置和時間相關的位移矢量；ρ（r）和C11（r）分別為各組分材料的密度和彈性常數.

定義一個標量勢Ψ（r，t），它與u（r，t）的關系為ρu＝▽Ψ，故式（1）變為

根據布洛赫定理，式（2）的解為

式中：K＝（k1，k2）為平面內的二維布洛赫波矢［14］；ω為平面波的角頻率；G為二維晶格的倒格矢.

圖1 二維聲子晶體的幾何結構示意圖Fig.1 Geometrical diagram of a two-dimensional phononic crystal array

首先，利用密度和彈性常數在平面上隨位置矢量r＝（x1，x2）變化的二維周期性，將1／ρ和1／C11在倒易空間中展開為傅里葉級數.

式中：T（r）為1／ρ或1／C11；T（G）為傅里葉系數；Ac為原胞的面積.

將式（5）中的積分在原胞上進行，可得

式中：A、B代表組成聲子晶體的2 種物質，A 代表鋼柱，B代表空氣；TA和TB分別為鋼柱和空氣的密度或彈性常數的倒數；f為鋼柱在原胞中的組分比（即填充率），f＝πR2／Ac；R為空氣中圓柱的半徑；F（G）為聲子晶體的結構因子.

式（2）可以簡化為以下標準特征方程：

式中：DGG′為矩陣；而矩陣PGG′和矩陣QGG′可以通過以下方程進行定義，.

式中：δGG′為Kronecker符號，取值為0或1.

通過求解式（7）中的矩陣D，得到其特征值，再求出其算術平方根，掃描整個布里淵區，即可得到聲子晶體的能帶結構.

固體／氣體型聲子晶體產生帶隙的主要原因是Bragg散射，基體成分為流體或氣體的聲子晶體，基體中僅存在縱波，因此帶隙源于相鄰原胞間反射波的同相疊加，第一帶隙中心頻率一般位于c／2d附近，其中c為基體中的聲速，d為相鄰的晶面間距，這與X 射線在晶格中的衍射行為類似［14］.

2 管陣列帶隙結構的計算實例及結果分析

2.1 省煤器段管陣列

圖1中二維聲子晶體的基體和散射體可設置為不同的材料.采用金屬（鋼柱）／空氣的結構進行計算，計算中所用材料的參數見表1.若以省煤器為例，管陣列由外徑d為28～51 mm 的無縫鋼管構成［15］，橫向節距選取s1＝（2～3）d，縱向節距選取s2≥（1.5～2）d.

計算中設定的參數符合省煤器結構參數：鋼柱直徑為40mm，晶格尺寸為a＝b＝80mm 的順排結構（見圖1（a））和晶格尺寸為b＝80mm，a＝80×■ 3 mm 的錯排正三角結構（見圖1（b））.順排陣列晶面間距為80mm，錯排陣列晶面間距為，假設環境溫度為40℃，通過計算得到聲子晶體的振動帶隙結構圖（見圖2）.通過c／2d計算得到順排和錯排陣列第一帶隙的中心頻率分別為2 143Hz和2 475 Hz.由圖2（a）可以看出，可聽聲范圍（20～20 000Hz）內不存在聲波的完全禁帶，但存在不完全禁帶，如在T-X方向：1 645 ～2 458 Hz、3 842～4 073Hz、5 207～5 257 Hz、7 139 ～7 252 Hz和9 236～9 325Hz等多個頻段聲音傳輸被阻止.在圖2（b）的錯排結構聲波帶隙圖中，發現在4 484～4 741Hz內產生了完全禁帶，而在T-X方向的不完全禁帶與順排結構的結果相比，帶隙出現的頻率較高，最低頻段為1 902～2 744 Hz，同時帶隙的數量也有所增加.由圖2（a）和圖2（b）得到的順排和錯排陣列第一帶隙中心頻率分別為2 052 Hz和2 323 Hz，其數值大小滿足第一帶隙中心頻率位于c／2d附近.通過對比可知，當改變聲子晶體排列方式時，其帶隙也會發生相應的改變.產生這種現象的原因除了晶格幾何結構的影響外，還與填充率f有關.為了驗證這一結論，保持鋼柱直徑不變，改變順排結構的排布參數，使得填充率和錯排陣列相同，得到的計算結果見圖2（c），在可聽聲范圍內不存在完全禁帶，填充率變大使得晶面間距變小，故T-X方向第一帶隙中心頻率為1 720～2 676Hz.根據圖2的結果，當結構參數相同時，錯排結構（三角形晶格）的帶隙比順排結構（正方形晶格）要寬；當填充率相同時，三角形晶格帶隙出現位置的頻率比正方形晶格高，禁帶數量也比正方形晶格多，并且會產生完全帶隙.

表1 計算中所用材料的參數Tab.1 Material parameters used in the calculation

上述結果顯示，三角形晶格陣列比正方形晶格陣列的聲透射性能差，應用于聲波除灰時，由于其禁帶數量較多，順排陣列相比錯排陣列的除灰效果較好，然而錯排陣列可以降低噪聲.因此應根據實際需求選擇排列方式，即灰塵清理頻繁的位置選用順排陣列，而在灰塵影響小的位置選用錯排陣列.同樣，在進行爐內換熱器管陣列中的泄漏檢測時，也需要考慮不同管陣列對泄漏聲譜的影響，以便準確定位.

圖3為計算得到的晶格尺寸80mm，鋼柱直徑40mm 的聲波帶結構圖與仿真得到的T-X方向插入損失的對比.通過對圖3（c）與圖2（a）中的T-X方向對比可知，數值計算結果與仿真結果基本吻合，說明采用平面波展開法進行爐內換熱器管陣列的聲傳播特性研究時獲得的結果可信.由圖3可知，泄漏聲音在管陣列中T-X方向傳播存在消聲頻段，這會對管道泄漏的實際檢測造成困難，但是由于在不同方向消聲的頻段不同，并不存在完全禁帶，可以通過多個方位設定檢測點來達到聲學定位的目的.

如果改變陣列結構的填充率，可以通過計算晶格常數間的比例關系獲得其他晶格常數的禁帶頻段［16］.圖4給出了晶格常數為80mm的正方形晶格和三角形晶格在改變鋼柱填充率時T-X方向帶隙寬度ΔF的變化.

圖3 晶格尺寸為80mm、鋼柱直徑為40mm 時數值計算結果與仿真結果的對比Fig.3 Comparison between numerical and simulated results for lattice size of 80mm and cylinder diameter of 40mm

由圖4可知，在T-X方向順排陣列第一帶隙寬度隨著填充率的增加而增大，當錯排陣列填充率為0.38時，第一帶隙寬度達到峰值.錯排的帶隙由于排列較密，第一帶隙和第二帶隙同時作用.在錯排結構中，隨著填充率的增加，第一帶隙寬度會變小，第二帶隙寬度會變大.當填充率大于0.7時，錯排陣列帶隙寬度接近順排陣列的帶隙寬度.當填充率很大時，管陣列結構相當于一個隔聲板，聲音由空氣向管陣列入射時，類似于聲音向剛性壁入射.爐內換熱器管陣列的填充率一般小于0.2，這時對于錯排陣列，第一帶隙的隔聲性能起主導作用.在填充率偏小的情況下，錯排陣列的帶隙寬度大于順排陣列，而當爐內換熱器管陣列的填充率小于0.23時，錯排陣列的聲透射能力低于順排陣列.

圖4 T-X 方向帶隙寬度的變化Fig.4 Variation of band gap width in T-X direction

2.2 過熱器段管陣列

在前面討論的基礎上，選取電站鍋爐過熱器段管陣列的某組結構參數，模型采用的原胞為長方形晶格，晶格參數a＝334mm，b＝125mm，鋼管直徑為64mm，空氣和鋼柱的參數見表1.此時聲子晶體的晶面間距d為334 mm，獲得的第一帶隙中心頻率為513Hz.鋼管與鋼柱的聲傳播類似，計算中將鋼管材料定義為鋼柱［1］.4 000 Hz頻率以上的消聲現象已不明顯.圖5給出了實際管陣列的聲傳播特性.由圖5可知，聲透過換熱器管陣列不存在完全禁帶，在特定的方向（T-X方向）有多條不完全禁帶存在：415～548.1Hz、926.2～1 088Hz、1 432～1 608 Hz和1 961～2 093 Hz.獲得的第一帶隙中心頻率與計算結果相近，管陣列對2 000Hz以下的聲波阻斷作用有良好表現.電站中燃燒噪聲集中在250～600Hz的范圍內，吹灰器的噪聲頻率約為850～3 000Hz，總體上較穩定地集中在低頻段范圍內［17］.當鍋爐爐內換熱器管陣列排列形式不同時，其作用是不同的.爐內過熱器管陣列多采用順排結構，故這里采用順排結構參數進行計算.當聲音頻率很小時，聲音本身的穿透性就很大，采用低頻段的聲波進行吹灰操作是合理的.

結合省煤器段的計算結果可知，爐內換熱器管陣列的排列可以消除吹灰器的部分頻段噪聲，而且聲波在低頻段的透射性相對穩定.因此，采用聲波除灰時應選取低頻段.

圖5 實際管陣列的聲傳播特性Fig.5 Sound transmission properties of actual tube array

圖6給出了利用Comsol有限元軟件進行仿真得到的聲壓級云圖，其中x和y表示管陣列的方向，x方向與T-X方向一致.由圖6（a）可以看出，當頻率為500 Hz時，聲壓級在傳播過程中的衰減很快，表明這個頻率的聲音信號在管陣列中的傳播處于禁帶區域，聲音被隔斷在管陣列內部，從而產生了消聲現象.由圖6（b）可以看出，當頻率為800 Hz時，聲波在管陣列中傳播的衰減很慢.通過對比可知，圖6（b）中的聲音信號頻段處于管陣列的通帶區域，與理論計算結果一致.

在鍋爐運行時，爐內換熱器管陣列所處的環境溫度高，而聲音的傳播速度會隨溫度的改變而改變，如爐內煙氣溫度為1 370 ℃時，煙氣密度和聲速會發生顯著變化：ρ＝0.23kg／m3，c＝796.6m／s，由計算得到的第一帶隙中心頻率為4 975 Hz（見圖7）.由圖7 可知，T-X方向的禁帶范圍變為：3 812～5 697Hz、8 905～9 440Hz、12 070～12 180Hz、12 890～14 270Hz和16 550～16 810 Hz等，第一帶隙中心頻率為4 755 Hz，與計算結果相近.因此，研究爐內換熱器管陣列的聲波帶隙結構不僅要考慮管陣列的幾何結構和排列方式，還需考慮溫度分布.

圖6 不同頻率的聲壓級云圖Fig.6 SPL cloud at different frequencies

圖7 1 370 ℃時晶格尺寸為80mm、鋼柱直徑為40mm 的順排結構聲波帶隙圖Fig.7 Acoustic band gap diagram under in-line arrangement for lattice size of 80mm and cylinder diameter of 40mm at 1 370℃

3 結 論

（1）聲音在管陣列中傳播的確有導帶和阻帶的存在.

（2）聲子晶體第一帶隙中心頻率一般位于c／2d附近，這與X 射線在晶格中的衍射行為類似，當晶面間距d已知時，通過c／2d即可得到第一帶隙中心頻率的位置.

（3）在參數相同的情況下，錯排陣列比順排陣列的聲透射性能差.在填充率相同的情況下，錯排陣列的隔聲頻率比順排陣列高.

（4）改變填充率時，順排陣列的第一帶隙寬度隨著填充率的增加而增大，錯排陣列則在填充率為0.38時帶隙最寬.在填充率小于0.23的范圍內，錯排陣列的隔聲效果比順排陣列好.

（5）溫度改變時，聲速會發生變化，不同的溫度場對管陣列的聲透射頻譜會產生不同的影響.

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