基于快速正交搜索算法的非線性預(yù)測控制

張 燕 申 森

(河北工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，天津 300130)

快速正交搜索(Fast Orthogonal Search，F(xiàn)OS)算法能夠最大限度地減小估算量相對于目標(biāo)數(shù)據(jù)的均方誤差[1]。與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，F(xiàn)OS算法不是依靠耗時的迭代實現(xiàn)最小化，而是直接在一次迭代中就選擇出合適的候選函數(shù)，并且計算出相應(yīng)的系數(shù)。該算法的實現(xiàn)是在所有的候選函數(shù)中選擇基礎(chǔ)函數(shù)，能夠使均方誤差的減小量最大的候選函數(shù)被確定為合適的基礎(chǔ)函數(shù)，并從候選函數(shù)中移除；在剩余的候選函數(shù)中重復(fù)上述選擇過程，直到相應(yīng)的停止條件滿足時結(jié)束選擇[2]。與普通的最小二乘法相比，F(xiàn)OS算法的優(yōu)勢是能夠用更少的模型項建立一個精確的模型，模型項減少的同時也減小了噪聲的干擾，從而使系統(tǒng)估算更為準(zhǔn)確。目前，F(xiàn)OS算法已經(jīng)有了很多的實際應(yīng)用，包括遞歸濾波去除圖像中的高斯噪聲和脈沖噪聲，語音信號的壓縮，磁共振成像和正電子發(fā)射斷層掃描，以及非線性系統(tǒng)的控制和基因的識別及其對治療的反應(yīng)的預(yù)測等[3]。

筆者從非線性預(yù)測控制的角度出發(fā)，利用FOS算法對非線性系統(tǒng)進(jìn)行辨識，利用辨識模型建立預(yù)測控制器，實現(xiàn)基于FOS算法的預(yù)測控制。

1 FOS算法和系統(tǒng)辨識①

一個非線性系統(tǒng)可以表示為：

y(k)=F[y(k-1),…,y(k-N),u(k-1),…,

u(k-L)]+e(k)

(1)

式中e(k)——系統(tǒng)誤差，數(shù)據(jù)記錄的時間長度n=0,…,N；

F[·]——形式未知的連續(xù)非線性函數(shù)；

N、L——輸入和輸出的階次；

y(k)——系統(tǒng)的輸出。

在FOS算法中，式(1)可以進(jìn)一步改寫為：

Pm(k)=y(k-n1),…,y(k-ni),u(k-l1),…,

u(k-lj)

(2)

i≥0,1≤n1≤N,…,1≤ni≤N

j≥0,1≤l1≤L,…,1≤li≤L

式中am——Pm(k)的權(quán)值系數(shù)。

此時，系統(tǒng)的均方誤差mse可以表示為：

上式上方的短橫線表示數(shù)據(jù)記錄在時間長度的平均值，該算法在所有的候選函數(shù)Pm(k)中進(jìn)行搜索，選擇對均方誤差貢獻(xiàn)最大的候選函數(shù)作為模型項，添加到構(gòu)建的辨識模型當(dāng)中。

為了實現(xiàn)這一搜索過程，首先要得到未知結(jié)構(gòu)的非線性系統(tǒng)模型，利用格拉姆·施密特正交方法[4]，可以將式(2)改寫為：

其中g(shù)m是wm(k)的權(quán)值，e(k)為誤差，wm(k)是利用格拉姆·施密特正交方法將非正交函數(shù)Pm(k)正交化后得到的兩兩正交的函數(shù)序列。其計算過程具體如下：

(3)

其中正交系數(shù)：

(4)

此時系統(tǒng)的均方誤差可以改寫為：

(5)

正交函數(shù)的權(quán)值系數(shù)gm可以表示成：

這種正交方法的好處是它不需要輸入上有自動校正功能，在數(shù)據(jù)記錄的時間內(nèi)沒有引入任何誤差。然而,正交函數(shù)的計算非常耗費時間，而且需要內(nèi)存有相當(dāng)大的數(shù)據(jù)存儲空間[5]。

為了避免上述問題，F(xiàn)OS算法采用隱式正交法，不用單獨計算出每一個正交函數(shù)wm(k)，只需計算出正交系數(shù)αmr。

因此，不用計算基礎(chǔ)正交函數(shù)wr(k)就能得出式(4)的分子，類比式(3)可得：

(6)

同樣，式(4)的分母可以表示成：

(7)

這樣，αmr的值就可以通過式(6)、(7)計算出來。同理，式(5)的分子、分母也可以改寫為如下形式：

(8)

(9)

從而gm就可以由式(8)、(9)計算出來。

根據(jù)式(5)可知，在增加第m個函數(shù)wm(k)后，均方誤差mse的減小量可以表示為：

因此增加一個模型項后，剩余的均方誤差mse可以表示成：

msem=msem-1-Qm

這就使得每一個非正交候選函數(shù)Pm(k)對系統(tǒng)均方誤差的影響清楚地展現(xiàn)出來。在所有候選函數(shù)中，對應(yīng)產(chǎn)生減小量Qm最大的一個被選為模型項，并從候選函數(shù)中去除。接下來算法繼續(xù)在剩余的候選函數(shù)中重復(fù)上述搜索過程，直到停止搜索的條件滿足時結(jié)束搜索。

停止的條件主要有：當(dāng)系統(tǒng)的剩余誤差達(dá)到足夠小；一定數(shù)量的模型項已經(jīng)被選出；剩余的候選函數(shù)不能使系統(tǒng)的誤差產(chǎn)生足夠的減小量[6]。

當(dāng)搜索完成時，利用αmr和gm可以計算出被選出的模型項Pm(k)的系數(shù)am，即：

2 FOS算法步驟

通過上面的討論，F(xiàn)OS算法將會不斷搜索適合的候選函數(shù)直到一些預(yù)定義的停止條件得到滿足為止。FOS算法的步驟為：

a. 將非正交候選函數(shù)序列Pm(k)經(jīng)過隱式正交化后得到正交函數(shù)序列wm(k)；

b. 計算正交函數(shù)wm(k)的權(quán)值系數(shù)gm，計算每一個候選函數(shù)相對于均方誤差的減小量Qm，選擇Qm最大的候選函數(shù)作為模型項；

c. 重復(fù)步驟a、b，直到任何一個終止條件得到滿足為止；

d. 由得出的gm和αmr遞歸計算am，完成對非線性系統(tǒng)辨識模型的構(gòu)建。

3 基于FOS算法的預(yù)測控制

一個非線性系統(tǒng)可以表示為：

y(k)=F[y(k-1),…,y(k-N),u(k-1),…,u(k-L)]

式中F[·]——連續(xù)非線性函數(shù)[7]；

N、L——輸入和輸出的階次。

函數(shù)模型通常是未知的，經(jīng)過FOS算法進(jìn)行辨識，可以得到一個新模型：

…+blu(k-l)

y(k+1)=a1y(k)+…+any(k-n+1)+b1u(k)+…+blu(k-l+1)

用yr(k+1)代替y(k+1)，yr(k+1)為設(shè)定值的柔化序列，以期望辨識系統(tǒng)的輸出逼近設(shè)定值，則上式可以改寫成：

yr(k+1)=a1y(k)+…+any(k-n+1)+b1u(k)+…+blu(k-l+1)

可以得出：

引入性能指標(biāo)[9]為：

其中λ為控制加權(quán)因子。對性能指標(biāo)進(jìn)行滾動優(yōu)化[10]，每次優(yōu)化計算出u(k)，并將u(k)作為控制信號輸入，計算出實際的輸出y(k+1)。

4 仿真實例

選取非線性系統(tǒng)模型：

0.6u(k-1)+0.5u(k-2)

采用FOS算法進(jìn)行訓(xùn)練時，模型項數(shù)量M=5，設(shè)定的輸出序列為方波信號，柔化因子α=0.4。辨識結(jié)果如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)辨識效果

利用上述辨識模型建立預(yù)測控制器，對非線性系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測控制，同時與廣義預(yù)測控制效果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖2所示。

圖2 預(yù)測效果

5 結(jié)束語

采用FOS算法對非線性系統(tǒng)進(jìn)行辨識，從辨識的結(jié)果可以看出，F(xiàn)OS算法得出的估算模型對非線性系統(tǒng)有良好的跟隨效果。利用估算模型建立預(yù)測模型，對系統(tǒng)進(jìn)行閉環(huán)優(yōu)化控制。通過對實際的非線性模型進(jìn)行仿真實驗，驗證了所提方法的可行性和有效性。