自適應反演控制在一類非線性系統中的應用

梁春輝，張運波，孟祥萍，王 暉

(1.長春工程學院電氣與信息工程學院，吉林 長春 130012；2.長春工程學院配電自動化工程研究中心，吉林 長春 130012)

自適應反演控制在一類非線性系統中的應用

梁春輝1，2，張運波1，2，孟祥萍1，2，王 暉1，2

(1.長春工程學院電氣與信息工程學院，吉林 長春 130012；2.長春工程學院配電自動化工程研究中心，吉林 長春 130012)

針對一類不確定性上界未知的非線性系統，提出一種自適應反演控制方法.建立了一類帶有外界擾動的不確定非線性系統的數學模型.將復雜的非線性系統分解成不超過系統階數的子系統，采用反演思想，并用自適應更新律對非線性系統不確定性上界進行估計，設計了自適應反演控制器并證明了李亞普諾夫穩定性.采用所設計的控制律使非線性系統的輸出能跟蹤期望的軌跡，具有一定的魯棒性.用數值仿真驗證了所設計控制器的良好跟蹤性能.

不確定非線性系統；反演控制；自適應控制

0 引言

由于小行星和彗星等小天體能反映出太陽系的歷史，它們一直是科學家們研究的焦點.美國、日本和印度等國家相繼開展了一系列對小天體的探測任務和計劃[1-3].隨著對小天體探測的關注，對小天體附近的軌道和姿態動力學及控制也成為重要的理論基礎和研究熱點.由于小天體具有形狀不規則、質量分布不均勻、自旋和引力較弱等特點，小天體附近動力學環境是非線性系統，其控制的研究方法與地球等大天體相比較而言，有著本質的不同.國內外很多學者對軌道動力學及控制有了較多的研究[4-6].在姿態動力學和控制方面，文獻[7]等發現小天體不規則形狀和自旋對探測器的姿態有明顯的影響，可能造成姿態角不穩定.為了解決這個問題，有必要研究繞飛小天體航天器的姿態模型，建立有效的穩定姿態控制策略.文獻[8]提出了在小天體自旋和不規則引力影響下的繞飛小天體的姿態模型.目前國內外對航天器繞飛不規則小天體的姿態穩定控制方面研究還處于初步探索階段，要保證航天器在小天體周圍穩定繞飛，需要設計控制器消除小天體不規則引力力矩的影響.

本文首先建立了繞飛不規則小天體航天器的引力力矩和剛性航天器的非線性模型，然后在順行軌道下分析了繞飛過程中的三軸歐拉姿態角的穩定性.設計了自適應反演控制器，使航天器的3個姿態角跟蹤預期的穩定軌跡，并進行了仿真驗證.

1 系統模型

1.1 航天器繞飛姿態建模

航天器繞飛姿態建模如圖1所示[7-8].首先建立天體固連坐標系(i，j，k)，坐標原點在小天體質心，i和k分別對應最小和最大慣量軸，j滿足右手定則.航天器軌道坐標系(o1，o2，o3)，坐標原點在航天器質心，o3指向小天體質心，o1指向軌道平面的切線方向，o2滿足右手定則；航天器本體坐標系(b1，b2，b3)，3個坐標軸分別與主軸對齊，3個軸與軌道坐標相應所成的角定義為滾轉角、俯仰角和偏航角.

假設：航天器是剛性的三軸橢球體；航天器只受到控制力矩和小天體引力力矩；小天體均勻自旋；航天器繞著小天體做封閉平面周期運動.這樣我們可以得到繞飛小天體航天器的姿態模型[9]：

(1)

(2)

1.2 不規則引力力矩

根據文獻[10]，任意行星附近的引力勢能可以表示為如下球諧級數展開形式

(3)

圖1 航天器繞飛姿態建模坐標系

其中：R是繞飛航天器距離行星質心的距離；Re是行星的特征半徑；φ和δ分別是天體固連坐標系下航天器所處的經緯度；Pl(sinφ)是l級0階的勒讓德多項式；Plm(sinφ)是l級m階的勒讓德多項式；Clm和Slm是球諧系數.在固連坐標系下，可以將引力勢能展開成二階形式.如圖1所示，在距離小天體質心R處，相應的經緯度，單位質點dm的引力可以表示為

(4)

eR，eφ，eδ分別是球坐標的單位矢量.定義Rc是小天體質心到航天器質心間距離即軌道半徑，r是單位質點在航天器本體坐標系內的位置矢量，再根據

R=Rc+r；

(5)

(6)

可以得到航天器引力力矩，表示為：

dF=dFR+dFδ+dFφ；

(7)

(8)

1.3 三維姿態線性化模型

δc=(n±Ω)t.

(9)

其中的加減號分別代表逆行軌道和順行軌道.這樣，將公式(7)—(9)代入到(1)和(2)式里，并進行線性化，可得航天器繞飛不規則小天體小范圍運動的姿態模型為：

(10)

(11)

(12)

表1 仿真參數

假設航天器繞飛某顆小天體時僅受到小天體引力影響，圖2—4給出了在順行軌道情況下3個姿態角的三維運動軌跡.

當軌道半徑Rc減小，由于受到小天體不規則引力影響，3個姿態角運動出現幅值較大的不規則不穩定運動.

Rc=26 km，k2=1/3圖2 滾轉角三維運動軌跡

Rc=26 km，k2=1/3圖3 俯仰角三維運動軌跡

Rc=26 km，k2=1/3圖4 偏航角三維運動軌跡

2 自適應反演控制器設計

在航天器繞飛不規則小天體運動中，即使軌道半徑較近時，我們期望航天器的3個姿態角保持穩定的周期運動.反演方法的基本原理是對復雜的非線性系統進行分解，然后為每一個子系統設計李亞普諾夫函數和虛擬控制，一直“后退”到整個系統，直到完成整個控制器設計.我們采用反演的思想，讓3個姿態角能跟蹤期望的周期軌跡.

首先將(10)—(12)式變換成下面形式：

(13)

定義位置誤差z1=x1-zd，zd是期望的軌跡，求導后有

(14)

(15)

(16)

由于環境和系統參數影響，非線性系統存在不確定性，此時非線性系統(13)可以描述為

(17)

假設系統不確定性有上界‖g‖≤g*，但上界未知.

設計自適應反演控制律為

(18)

(19)

定義系統誤差，e=x-xd.

(19)式可以寫成

(20)

其中I為單位矩陣，可得

(21)

選擇如下李亞普諾夫函數

(22)

存在矩陣P，滿足如下方程

ATP+PA=-I.

對(11)式求導得

根據Barbalat引理可知，當t→∞時，V3→0，系統穩定.

選取和前面相同的初始條件，仿真參數見表1所示，航天器期望的周期軌跡取zd=0.1×cos(0.000 2×t)，在順行軌道下，當軌道半徑Rc=26 km時，采用Matlab仿真所得結果如圖5—10所示.圖5—7是3個姿態角在施加反演控制后的運動軌跡，可見設計的自適應反演控制器能抵消不確定性和擾動影響，3個姿態角能夠很好地跟蹤期望的周期軌跡具有一定魯棒性，航天器能夠穩定的在小天體周圍繞飛.圖8—10給出了3個軸方向的控制加速度曲線.

圖5 滾轉角響應曲線

圖6 俯仰角響應曲線

圖7 偏航角響應曲線

圖8 滾轉角控制加速度曲線

圖9 俯仰角控制加速度曲線

圖10 偏航角控制加速度曲線

3 結論

本文針對不確定性上界未知的非線性系統，提出一種自適應反演控制方法.首先以深空探測為背景，建立了非線性系統數學模型.采用"退步法"和中間虛擬控制量逐步得到反演控制律，然后結合自適應律估計系統不確定性上界，設計自適應反演控制律，抑制擾動對系統的影響.數值仿真證明非線性系統輸出能夠跟蹤預期的穩定軌跡，具有一定的魯棒性.

[1] DUNHAM D W，FARQUHAR R W，MCADAMS J V，et al. Implementation of the first asteroid landing[J]. Icarus，2002，159(2)：433-438.

[2] KUBOTA T，HASHIMOTO T，SAWAI S，et al. An autonomous navigation and guidance system for MUSES-C asteroid landing[J]. Acta Astronautica，2003，52(2)：125-131.

[3] HAJIME YANO T. KUBOTA，MIYAMOTO H，et al. Touchdown of the hayabusa spacecraft at the muses sea on itokawa[J]. Science，2006，312：1350-1353.

[4] SCHEERES D J. Orbital mechanics about small bodies[J]. Acta Astronautica，2012，72：1-14.

[5] 崔祜濤，史雪巖. 軟著陸小行星的制導與控制規律研究[J]. 飛行力學，2002，20(2)：35-38.

[6] 李爽，崔平遠. 著陸小行星的滑模變結構控制[J]. 宇航學報，2006，26(6)：808-812.

[7] WANG Y，XU S. Attitude stability of a spacecraft on a stationary orbit around an asteroid subjected to gravity gradient torque[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy，2013，115(4)：333-352.

[8] MISRA A K，PANCHENKO Y. Attitude dynamics of satellites orbiting an asteroid[J]. The Journal of the Astronautical Sciences，2006，54(3/4)：369-381.

[9] 章仁為. 衛星軌道姿態動力學與控制[M]. 北京：北京航空航天大學出版社，2006：137-155.

[10] 劉林，胡松杰，等，航天動力學引論[M]. 南京：南京大學出版社，2005：75-142.

(責任編輯：石紹慶)

Adaptive backstepping-based control and application research on uncertain nonlinear systems

LIANG Chun-hui1，2，ZHANG Yun-bo1，2，MENG Xiang-ping1，2，WANG Hui1，2

(1.College of Electrical and Information Engineering, Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China；2.Distribution Automation Engineering Research Center，Changchun Institute of Technology，Changchun 130012，China)

An adaptive backstepping-based control method is proposed for a class of uncertain nonlinear systems. Firstly, the model of nonlinear systems is developed based on deep space detection. The complex nonlinear system is decomposed into subsystems whose order numbers are less than the original system. The whole control law is designed through regression method. An adaptive backstepping-based control is proposed while the upper bound of the uncertanties is estimated, and Lyapunov stable is proved. The outputs of uncertain nonlinear systems can fast and accurate track the expected trajectories through the proposed control algorithms. Numerical simulations are included to illustrate the spacecraft performance obtained using the proposed controller.

uncertain nonlinear system；backstepping control；adaptive control

1000-1832(2014)04-0066-06

10.11672/dbsdzk2014-04-012

2014-06-15

吉林省科技發展計劃項目(120130169).

梁春輝(1977—)，女，博士研究生，講師，主要從事制導與控制、智能控制等研究.

TP 29 [學科代碼] 510·80

A