關于廣義Ramanujan-Nagell方程x2-D=3n的解數

瞿云云，曹 慧，牟全武

(1.貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001；2.湖北科技學院數學與統計學院，湖北 咸寧 437100；3.同濟大學數學系，上海 200092)

關于廣義Ramanujan-Nagell方程x2-D=3n的解數

瞿云云1，曹 慧2，牟全武3

(1.貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001；2.湖北科技學院數學與統計學院，湖北 咸寧 437100；3.同濟大學數學系，上海 200092)

設D是不能被3整除的正整數.證明了：當D>106時，如果Pell方程U2-DV2=-1有解(U，V)，則方程x2-D=3n至多有兩組正整數解(x，n).故而改進了已有的結果.

指數Diophantine方程；解數；上界

1 預備知識

設D是正整數，p是不能整除D的奇素數，N(D，p)表示廣義Ramanujan-Nagell方程的解(x，n)的個數.1918年，G.Pólya證明了：若f(x)是關于x的2次有理整系數多項式，并且有不同的根，則當正整數x→∞時，f(x)的最大素因數P(x)→∞.因此，對于任何給定的D與p，方程(1.1)的解數N(D，p)都是有限的.近幾十年來，關于N(D，p)的上界估計一直是指數丟番圖方程研究的重要問題之一[1].1981年，F.Beukers運用丟番圖逼近方法[2]證明了N(D，p)≤4，同時，Beukers猜測N(D，p)≤3.1991年，樂茂華用Gel’fond-Baker方法基本上解決了上述猜想[3]，即證明了：當max(D，p)>10190時，必有N(D，p)≤3.1994年，他在文獻[4]中將10190改進為1065.關于Beukers猜想后來被M.Bauer與M.A.Bennett徹底解決[5].樂茂華運用Gel’fond-Baker方法還證明了：當p>D>260時，必有N(D，p)≤2.進一步，他提出下面的猜想：

x2-D=pn，x，n∈N

(1.1)

猜想1.1[6]當p是奇素數時，如果(D，p)是方程(1.1)的非例外對，則必有N(D，p)≤2.

這一猜想還沒有被徹底解決.楊繼明證明了[7]：當D>1012時，如果Pell方程

U2-DV2=-1，U，V∈Z

(1.2)

有解(U，V)，則必有N(D，3)≤2.

本文證明了下面的結論：

定理1.1 當D>106時，如果Pell方程(1.2)有解(U，V)，則必有N(D，3)≤2.

2 若干引理

引理2.1[5]設a，m∈N.如果

(2.1)

或

(2.2)

則方程(1.1)分別有三組正整數解(x，n).

上述兩組(D，p)稱為例外對，使得方程(1.1)有解的其他(D，p)稱為非例外對.

引理2.2 如果Pell方程(1.2)有解(U，V)，則：

(ⅰ) (D，p)是非例外對；

引理2.3[4]設(D，p)是非例外對.如果方程(1.1)有三組解 (x1，n1)，(x2，n2)，(x3，n3)，不妨設n1

引理2.4[3]當D是非完全平方正整數時，如果方程

X2-DY2=p2；X，Y，Z∈Z；gcd(X，Y)=1；Z>0

(2.3)

有解(X，Y，Z)，則它有唯一的正整數解(X，Y，Z)=(X1，Y1，Z1)適合

u2-Dv2=1，u，v∈Z

(2.4)

的基本解.這樣的(X1，Y1，Z1)稱為方程(2.3)的最小解.此時，方程(2.3)的任何一組解(X，Y，Z)都可以表示成

這里(u，v)是Pell方程(2.4)的解.

引理2.5[3]當D是非完全平方正整數時，如果方程(1.1)有解(x，n)，則方程(2.3)必有解(X，Y，Z)，而且(1.1)的解(x，n)可以表示成

(2.5)

其中

nj=Z1tj，tj∈N，j=1，2.

(f，ɡ)是Pell方程

f2-pZ1ɡ2=1(f，ɡ∈Z)

的正整數解.

F2-pG2=1(F，G∈Z)

(2.6)

的基本解.當G1?0(modp)時，如果(F，G)是方程(2.6)的一組適合G≡0(modps)的正整數解，其中s是正整數，則必有

這里m是適合m≡0(modps)的正整數.

引理2.8[5]設k為正整數，且k>2，k≠7.則對任意整數x，有

3 定理的證明

設D是適合D>106的正整數.當Pell方程(1.2)有解時，由引理2.2知(D，3)為非例外對，且方程(1.1)中的n為奇數.假設N(D，3)>2，則方程

x2-D=3n

(3.1)

必有3組解(x，n)=(xi，ni)(i=1，2，3)適合

由引理2.3知D為非完全平方整數，所以由引理2.5知

ni=Z1ti，ti∈N，i=1，2，3.

(3.2)

其中：Z1，ti(i=1，2，3)是奇數；(X1，Y1，Z1)是方程(2.3)在p=3時的最小解.

從(3.1)—(3.2)式可知方程

a2-3Z1b2=D，a，b∈Z；gcd(a，b)=1

有兩組解

(a，b)=(xj，3Z1(tj-1)/2)，j=2，3.

又從引理2.6可知這兩組解滿足

(3.3)

其中(f，ɡ)是Pell方程

f2-3Z1ɡ2=1(f，ɡ∈Z)

(3.4)

的正整數解.由(3.3)式可得

3Z1(t3-1)/2=ɡx2±3Z1(t2-1)/2f，

所以

ɡ≡0(mod 3Z1(t2-1)/2).

(3.5)

由(3.4)式知Pell方程

F2-3G2=1(F，G∈Z)

(3.6)

有解

再由(3.2)與(3.5)式知

G≡0(mod 3(n2-1)/2).

(3.7)

把(3.7)式代入(3.3)式有

(3.8)

由引理2.3得到以下結果：

(3.9)

(3.10)

(3.11)

從(3.11)式可得

(3.12)

根據(3.8)—(3.10)及(3.12)式可知

(3.13)

另一方面，利用引理2.8可得，當n3>5且n3≠15時，有

(3.14)

由(3.13)及(3.14)式可得

從上式不難得到D≤413 959<106.注意到若n3=15，由引理2.3知道n2≤5，D≤3 690.若n3≤5，則必有n1=1，n2=3，n3=5，由引理2.3可得D≤45.不論如何總有D<106，這與假設矛盾.所以，當D>106時，如果Pell方程(1.2)有解，則必有N(D，3)≤2.定理1.1得證.

[2] BEUKERS F.On the generalized Ramanujan-Nagell equation Ⅱ[J].Acta Arith，1981，39:113-123.

[3] LE M H.On the number of solutions of the diophantine equationx2-D=pn[J].Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，1991，34(3):378-387.

[4] LE M H.On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=pn[J].Publ Math Debrecen，1994，45：239-254.

[5] BAUER M，BENNETT M A.Applications of the hypergeometric method to the generalized Ramanujan-Nagell equation[J].Ramanujan J，2002(6)：209-270.

[6] LE M H.Applications of the Gel’ fond-Baker method to diophantine equations[M].Beijing:Science Press，1998：190-198.

[7] YANG J M.The number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=3n[J].Acta Mathematica Sinica：Chinese Series，2008，51(2):351-356.

(責任編輯：陶 理)

On the number of solutions of the generalized Ramanujan-Nagell equationx2-D=3n

QU Yun-yun1，CAO Hui2，MU Quan-wu3

(1.School of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China；2.Department of Mathematics and Statistics，Hubei University of Science and Technology，Xianning 437100，China；3.Department of Mathematics，Tongji University，Shanghai 200092，China)

LetDbe a positive integer withD?0 (mod 3).In this paper，we prove that ifD>106and the Pell equationU2-DV2=-1 has solutions (U，V)，then the equationx2-D=3nhas at most two positive integer solutions (x，n).This result constitutes an improvement upon that of intrinsic result.

exponential diophantine equation；number of solutions；upper bound

1000-1832(2014)04-0052-04

10.11672/dbsdzk2014-04-009

2012-11-24

國家自然科學基金資助項目(11201107，11461014，61309006，61462016)；貴州省科學技術基金資助項目(黔科合J字[2014]2125號，LKS[2011]15號，LKS[2013]03號，LKS[2013]01號)；貴州師范大學博士啟動項目(0514021).

瞿云云(1983—)，男，碩士，副教授，主要從事數論與密碼學研究；通訊作者：曹慧(1984—)，女，碩士研究，講師，主要從事有限群研究.

O 156.7 [學科代碼] 110·1750

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