Hilbert K-模上酉系統的廣義框架向量集的參數化

董 芳 芳

(天水師范學院數學與統計學院，甘肅 天水 741001)

HilbertK-模上酉系統的廣義框架向量集的參數化

董 芳 芳

(天水師范學院數學與統計學院，甘肅 天水 741001)

引入了緊算子代數模(簡稱HilbertK-模)上廣義框架，廣義框架算子，酉系統以及其廣義框架向量集的概念，研究了其性質，最后得到了廣義框架向量集的參數化定理.

HilbertK-模；廣義框架；酉系統；廣義框架向量集；參數化

1 Hilbert K-模及框架

HilbertK-模是一種特殊的HilbertC*-模，其中K為作用在Hilbert空間上的全體緊算子組成的C*-代數，顯然I?K，且D.Bakic和B.Guljas在文獻[1]中證明了這種模一定有特殊的標準正交基，其特殊點在于相同標準正交基向量的內積為K中的一個秩1的自伴投影.

定義1.1[1]設K為作用在Hilbert空間H上的全體緊算子組成的C*-代數，M是復數域C上的線性空間，M是左K-模，滿足μ(kx)=(μk)x=k(μx)，?μ∈C，?k∈K，?x∈M，若〈，〉:M×M→K具有性質:

(ⅰ) 〈x，x〉≥0，?x∈M；

(ⅱ) 〈x，x〉=0?x=0，?x∈M；

(ⅲ) 〈x，y〉=〈y，x〉*，?x，y∈M；

(ⅳ) 〈kx，y〉=k〈x，y〉，?k∈K，?x，y∈M；

(ⅴ) 〈x+y，z〉=〈x，z〉+〈y，z〉，?x，y，z∈M.

則稱(M，〈，〉)為準HilbertK-模.在M上定義范數‖x‖∶=‖〈x，x〉‖1/2，若M在該‖·‖意義下完備，就稱之為HilbertK-模.

定義1.2[1]稱序列{vλ，λ∈Λ}為HilbertK-模M的標準正交序列，若?λ，μ∈Λ，

其中ξ∈H，且‖ξ‖=1 (H為Hilbert空間)，eξ，ξ∈K，K：?η∈H，eξ，ξ(η)=(η，ξ)ξ.

定義1.3[2]稱HilbertK-模M中的序列{xλ，λ∈Λ}為框架，若存在常數c>0，d>0，使得?x∈M，

若c=d=1，則稱{xλ，λ∈Λ}為正規緊框架；若只有右半部等式成立，則稱{xλ，λ∈Λ}為Bessel序列.

定義1.4[2]設M1，M2均為HilbertK-模，T:M1→M2是K-線性算子(即T(kx)=kT(x)，?x∈M1，?k∈K)，若存在K-線性算子T*:M2→M1，使得?x∈M1，?y∈M2，〈Tx，y〉=〈x，T*y〉，則稱T是可伴算子.

定義1.5[2]設T為M1到M2的可伴算子.若T為雙射，即T既為單射，也為滿射，則稱T為可逆算子；若T*T=TT*=I，則稱T為酉算子.

2 Hilbert K-模上的廣義框架

而對HilbertK-模，由于I?K，也就是HilbertK-模無法膨脹，即引入

是沒有意義的，因此，在以往的研究中，只能在K-模M自身上引入算子θ:M→M，使得?x∈M，

其中{vλ，λ∈Λ}為M的標準正交基，則θ是有閉值域且可伴的算子，

且

θ*(vλ)=eξ，ξxλ.

受這點的啟發，我們考慮HilbertK-模M，Nj，j∈J，其中J為有限或可數生成的指標集，并且在M到Nj上引入類似于θ的算子列Aj:M→Nj，使得

其中{xj，λ，λ∈Λ}為M的框架，{vj，λ，λ∈Λ}為Nj的標準正交基，同時Aj為可伴算子，且

我們將{eξ，ξxj，λ，j∈J，λ∈Λ}稱為算子序列{Aj，j∈J}的誘導系列，這樣研究的核心就從K-模M上的序列{xλ，λ∈Λ}的研究上升到算子序列{Aj，j∈J}的研究.

由{Aj，j∈J}的引入，顯然有

這樣如何把算子序列{Aj，j∈J}定義為框架、Bessel序列、正規緊框架，自然就與HilbertK-模上序列{xλ，λ∈Λ}定義為框架、Bessel序列、正規緊框架的定義方法聯系起來，為了區別起見，這里稱為廣義框架、廣義Bessel序列、廣義正規緊框架，并且和孫文昌在2005年引入的Hilbert空間上的g-框架的概念相類似.[3-6]

下面我們給出HilbertK-模上的廣義框架的定義.

定義2.1 設M，Nj均為HilbertK-模，Aj:M→Nj，稱該算子序列{Aj，j∈J}為M關于Nj的廣義框架，若存在A>0，B>0，使得?x∈M，有

特別的，若A=B=1，則稱{Aj，j∈J}為M關于Nj的廣義正規緊框架，將a，b分別稱為其廣義下、上框架界；若只有右半不等式成立，則稱{Aj，j∈J}為M關于Nj的廣義Bessel序列.

定義2.2[2]稱序列{Λj，j∈J}為M關于Nj的廣義標準正交基，若滿足：

3 Hilbert K-模上廣義框架的框架變換

由于在HilbertK-模M上，l2(K)不存在，也就是將M膨脹沒有意義，從而我們在M本身引入廣義框架{Aj，j∈J}的框架變換.

根據定義我們易知Φ為單射.事實上，由于{Aj，j∈J}為廣義框架，從而存在a，b>0，使得

即

a〈x，x〉≤〈Φ(x)，Φ(x)〉≤b〈x，x〉.

事實上，?x∈M，

性質3.1 設{Aj，j∈J}為M關于Nj的廣義框架，S為{Aj，j∈J}的廣義框架算子，則?x∈M，

即

4 Hilbert K-模上的酉系統及廣義框架向量集的參數化

定義4.1 HilbertK-模M上的酉系統U是指L(M)中的全體酉算子的子集，且I∈L(M)，由M上的全體酉算子組成的半群稱為酉半群(對結合律封閉)，組成的群稱為酉群.

定義4.2 稱M關于Nj的序列{Aj，j∈J}為酉系統U的完全游蕩廣義框架向量集，若{Aju，j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義標準正交基；稱{Aj，j∈J}為U的(正規緊)廣義框架向量集，若{Aju，j∈J，u∈U}為M關于Nj的(正規緊)廣義框架；稱{Aj，j∈J}為U的廣義Bessel向量集，{Aju，j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義Bessel序列.

注 {Aju，j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義標準正交基具體為：

同時，(1)也等價于

定義4.3 設{Aj，j∈J}為U的某廣義序列.稱CAj(U)∶={t∈L(M)，Aj(tu-ut)=0，?j∈J，?u∈U}為U在{Aj，j∈J}處的局部換位；稱U′∶={t∈L(M)，tu=ut，?u∈U}為U的換位.

定理4.1 設U為作用在M上的酉半群，{Aj，j∈J}為U的廣義框架向量集，S為{Aju，j∈J，u∈U}的廣義框架算子，則S∈U′.

證明 由性質3.1，

用S(x)代替x，有

從而?v∈V，

而另一方面，若v∈U，則v*∈U，由于U為酉半群，從而，若v*∈U，u∈U，則uv*∈U，因此，?v∈V，

即S∈U′.

定理4.2 設U為作用在M上的酉半群，{Aj，j∈J}為U的某完全游蕩廣義框架向量集，則：

證明 我們引入算子w:M→M，使得?x∈M，

則w是定義好的，且w為可伴算子，

同時w∈U′.

事實上，由于U為酉半群，從而對u，v∈U，uv∈U，有v*∈U，uv*∈U，于是，?v∈U，

即w∈U′.

又由于{Aju，j∈J，u∈U}為M關于Nj的廣義標準正交基，從而?v∈U，當然v*∈U，及?j∈J，

下面我們證明在不同的條件下，w所具有的性質.

(1) 由于{Aj，j∈J}和{Bj，j∈J}均為U的完全游蕩廣義框架向量集，則

且

即

也有一樣的性質.于是，?x∈M，

即w*w=I.同理，

即ww*=I，因此w*w=ww*=I，即w為酉算子，也即w為可逆算子.

(2) 當{Bj，j∈J}為U的正規緊廣義框架向量集時，即?x∈M，

也即

結合{Aj，j∈J}均為U的完全游蕩廣義框架向量集及(1)的證明過程知：ww*=I，即w為余等距算子.

(3) 當{Bj，j∈J}為U的廣義框架向量集時，存在a，b>0，使得?x∈M，

即

結合(1)的證明過程知，

即

aI≤ww*≤bI.

(4) 該結論的證明可由(3)的證明過程得到，這里不再贅述.

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(責任編輯：陶 理)

The parameterization of generalized frame vector set for unitary system on HilbertK-modules

DONG Fang-fang

(College of Mathematical and Statistics，Tianshui Normal University，Tianshui 741001，China)

In this paper，the concepts of generalized frames，generalized frame operator，unitary system on HilbertK-module and its generalized frame vector set are introduced and their properties are studied.Finally，the theory of parameterization of generalized frame vector set for unitary system on HilbertK-module are obtained.

HilbertK-module；generalized frames；unitary system；generalized frame vector set；parameterization

1000-1832(2014)04-0036-06

10.11672/dbsdzk2014-04-006

2013-05-05

國家自然科學基金資助項目(10771101)；天水師范學院中青年教師科研基金資助項目(TSY201201).

董芳芳(1981—)，碩士，講師，主要從事泛函分析研究.

O 177.1 [學科代碼] 110·5725

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