一類燃燒非牛頓流強解的存在唯一性

謝嘉寧，袁洪君

(1.東北財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院，遼寧 大連 116025；2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012)

一類燃燒非牛頓流強解的存在唯一性

謝嘉寧1，袁洪君2

(1.東北財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟學(xué)院，遼寧 大連 116025；2.吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012)

討論了一類帶有真空的燃燒非牛頓流的初邊值問題，克服了非線性、奇異性以及真空出現(xiàn)等困難，得到了其局部強解的存在唯一性.

非牛頓流；燃燒；存在唯一性；真空

1 主要結(jié)果

本文著重探索燃燒非牛頓流體力學(xué)的數(shù)學(xué)理論.根據(jù)質(zhì)量守恒定律，動量守恒定律和未反應(yīng)流體的質(zhì)量平衡規(guī)律，其數(shù)學(xué)模型

(1.1)

具有初邊值條件

(1.2)

研究一般牛頓流體的文獻已很多，對于可壓縮燃燒牛頓流體的研究也取得了豐碩的成果.在無真空情形下，文獻[1]研究一維不連續(xù)邊值的模型得到了全局弱解.文獻[2-3]也涉及了這個模型的測度解問題.文獻[4]研究了一維自吸引粘性放射反應(yīng)模型，得到了全局古典解的存在唯一性等.近來對于有真空的燃燒牛頓流體情形，Donatella Donatelli在文獻[5]中，討論了全局弱解的存在性.而對于研究燃燒非牛頓流體的文獻還不是很多.

在本文中，我們通過更精細的估計，克服了方程組由雙曲和拋物兩類方程組成的強耦合性、由動量守恒方程帶來的奇異性和非線性以及真空帶來的困難，給出了局部強解的存在唯一性.我們的主要結(jié)果如下：

(1.3)

在I上幾乎處處成立.則存在一個時間T*∈(0，∞)，問題(1.1)—(1.2)在ΩT*上存在唯一的解(ρ，u，z)，并具有下列性質(zhì)：

(1.4)

由于證明需要，我們給出如下引理：

其中d(Ω)表示Ω的長度.

2 近似解的構(gòu)造及一致估計

為了得到定理1.1，我們考慮關(guān)于初值的正則化問題：

(2.1)

我們直接構(gòu)造(1.1)—(1.2)的近似解，具體過程如下：

先定義u0=0，z0=0，代入下列方程中，我們可以得到一串光滑函數(shù)列(ρk，uk，zk)，它們是下列初邊值問題的解：

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

其中

πk≡A(zk)(ρk)γ，A(s)>0，s∈R，γ>1，

(2.6)

的光滑解.

對于已知的光滑函數(shù)uk-1，方程(2.2)分別存在唯一的解ρk，且由特征線法和Sobolev不等式得出

(2.7)

對所有的t∈(0,T).

為了方便證明我們建立輔助函數(shù)

引理2.1

(2.8)

(2.9)

(2.10)

對所有的k(1≤k≤K)，其中正常數(shù)C僅依賴于M0.

引理的證明可參照文獻[6].

引理2.2

(2.11)

(2.12)

對所有的k(1≤k≤K)，其中正常數(shù)C僅依賴于M0.

證明 對(2.2)式兩邊同乘以ρk，并在(0，1)上積分，我們可以得到

(2.13)

(2.14)

由(2.13)和(2.14)式可以得到

(2.15)

對(2.4)式，同理由Gronwall不等式可以得到證明結(jié)果.

綜合引理1.1和1.2，有

(2.16)

其中C是正常數(shù)，僅依賴于γ，M0.

因此，由上述推導(dǎo)，對所有的1≤k≤K，下列一致估計成立：

(2.17)

C*是正常數(shù)僅依賴于γ，M0.

由近似方程(2.2)，(2.4)得到：

(2.18)

(2.19)

綜合上述情況，我們可以得到：

(2.20)

3 近似解的收斂性

有了一致估計(2.17)和(2.20)，就可以證明近似解序列(ρk，uk，zk)的極限存在.為此，我們定義：

(3.1)

由(2.2)，(2.3)，(2.4)式，參照文獻[6]可得：

(3.2)

(3.3)

(3.4)

其中：

綜上所述，關(guān)于t在(0，t)∈(0,T1)上積分，利用Gronwall不等式可以得到

因而，我們選定η，然后再選不定期足夠小的T*，使得4C(T*+δ)<1，T*

(3.5)

其中C為一常數(shù)，僅依賴于M0.

由(2.7)式，可有ρk(x,t)>0，對所有的t∈(0,T*).因此，由(3.5)式可得下列收斂性：

當k→∞時，

(3.6)

ρk→ρε于L∞(0，T*；L2(I))強收斂，

(3.7)

zk→zε于L∞(0，T*；L2(I))強收斂.

(3.8)

由于逼近問題的初值(ρ0，u0，z0)不依賴于k，則(ρ0，u0，z0)仍然處處滿足邊值問題(2.6).且由范數(shù)的下半連續(xù)性可得，(ρε，uε，zε)也滿足下列一致估計：

(3.9)

4 無真空解的存在性

有了(3.6)，(3.7)，(3.8)三類收斂性，我們很容易驗證(ρε，uε，zε)為方程

(4.1)

具有初邊值條件

的解(方法參考文獻[6]).

為了得到初邊值問題解的存在性，我們還需要證明解(ρε，uε，zε)滿足性質(zhì)(1.4).

(4.2)

其次，證明

對于上式右端第二項，可寫為

因此

現(xiàn)在要想得到本節(jié)的主要結(jié)論，還需要關(guān)于ε取極限.

由于在我們所得的一致估計中的控制常數(shù)均不依賴于ε，則由一致估計(3.9)可得，存在{(ρε，uε，θε)}的一個子列{(ρεj，uεj，zεj)}，不妨仍記為{(ρε，uε，zε)}，當ε→0時，有下列收斂性：

ρε→ρ于L∞(0,T*；L2(I))強收斂，

(4.3)

(4.4)

zε→z于L∞(0,T*；L2(I))強收斂.

(4.5)

且(ρ，u，z)也滿足一致估計：

(4.6)

引理3.1的詳細證明參見文獻[6].

(4.7)

的唯一解，并幾乎處處滿足方程(4.7).

因此有了(4.3)，(4.4)，(4.5)三種收斂性，且(ρ，u，z)滿足一致估計，那么我們就可以用與之前相同的方法，證明(ρ，u，z)問題的解，并且滿足性質(zhì)1.4.因而，無真空時解的存在性得證.

5 真空情形解的存在性

(5.1)

根據(jù)相容性條件和經(jīng)典的橢圓拋物方程理論，我們可以得到如下收斂性：存在δ的子列{δj}(不妨記為它本身).當δ→0時有

并且u0滿足定理1.2的相容性條件.則對任意的δ>0，由之前的證明可知

因此，與之前的證明類似，我們可以證明問題(1.1)—(1.2)解的存在性，而關(guān)于(ρ，u，z)連續(xù)性的證明與無真空情形證明是一樣的，在此不再贅述.于是定理1.1存在性得證.

6 解的唯一性

(6.1)

(6.2)

(6.3)

綜合上式，最后我們有

(6.4)

其中：

由Gronwall不等式可得

因而，定理1.1的唯一性證畢.于是定理1.1得證.

[1] GUI-QIANG CHEN，DAVID HOFF，KONSTANTINA TRIVISA.Global solutions to a model for exothermically reacting compressible flows with large discontinuous initial data[J].Arch Rational Mech Anal，2003，166：321-358.

[2] BUCK J D.The mathematics of combustion[M].Frontriers in Applied Mathematics，2 Society of Industrial and Applied Mathematics，Philadelphia PA：SIAM，1985：22-201.

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[4] UMEHARA M，ATUSI TANI.Global solution to the one-dimensional equations for a self-gravitating ivscous radiative and reactive gas[J].J Differential Equations，2007，234：439-463.

[5] DONATELLA DONATELLI，KONSTNTINA TRIVISA.A multidimensional model for the combustion of compressible fluids[J].Arch Rational Mech Anal，2007，185：397-408.

[6] XU X，YUAN H.Existence and uniqueness of solutions for a class of non-Newtonian fluids with singularity and vacuum[J].J Differential Equations，2008，245：2871-2916.

[7] GALDI G P.An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations[M].New York：Springer-Verlag，1994：25-134.

[8] LADYZHENSKAYA O A.The Boundary value problems of mathematical physics[M].New York：Spring-Verlang，1985：36-122.

(責任編輯：陶 理)

Existence and unique of the strong solution for a class of combustion non-Newtonian fluids

XIE Jia-ning1，YUAN Hong-jun2

(1.School of Mathematics and Quantitative Economics，Dongbei University of Finance and Economics，Dalian 116025，China；2.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

This paper deals with a class of reactive gas flow for non-Newtonian fluids in one-dimensional initial value and obtain the local existence and uniqueness of solutions by overcoming the difficulties of nonlinear，singularity，vacuum and so on.

non-Newtonian；reactive gas flow；existence；vacuum

1000-1832(2014)04-0015-07

10.11672/dbsdzk2014-04-003

2014-05-24

國家自然科學(xué)基金資助項目(11226326，11301060，71201019)；東北財經(jīng)大學(xué)青年科研人才培育項目(DUFE2014Q66).

謝嘉寧(1984—)，女，博士研究生，主要從事非線性偏微分方程研究；通訊作者：袁洪君(1966—)，男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要從事非線性偏微分方程研究.

O 175.2 [學(xué)科代碼] 110·47

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