用圖形說話 讓代數現形

羅東源

【中圖分類號】G633.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）05-0132-01

空間觀念其本質是幾何直觀。幾何直觀能力是利用圖形生動形象地描述數學問題，直觀地反映和揭示思考、討論問題的思路，揭示豐富多彩的數學思想?！坝脠D形說話”，用圖形描述問題，用圖形討論問題，在中學階段培養學生的空間觀念和幾何直觀能力，是新教材的要求，也是提高學生數學素質的要求。以下是本人培養學生空間觀察和幾何直觀的幾點做法。

一、巧用多媒體，演示幾何直觀

多媒體教學的顯著特色是它的直觀性，讓學生突破視覺的限制。多媒體演示圖文聲像并茂，多角度調動學生的情緒、注意力和興趣。由于它具有動態性，有利于揭示解決問題的過程，能引導學生全程主動參與，培養學生對空間問題產生探究的興趣。

例如：在直線L上同側有C、D兩點，在直線L上要求找一點M，使它對C、D兩點的張角最大。本題的解不能一眼就看出。這時利用多媒體課件演示動畫去引導學生：假設動點M在直線L上從左向右逐漸移動，并隨時觀察∠α的變化，可發現：開始是張角極小，隨著M點的右移，張角逐漸增大，當接近K點（該點是CD所在直線與直線L的交點）時，張角又逐漸變小（到了K點，張角等于0）。于是初步猜想，在這兩個極端情況之間一定存在一點M，它對C、D兩點所張角最大。如果結合圓弧的圓周角的知識，便可進一步猜想：過C、D兩點所作圓○與直線L相切，切點M即為所求。然而，過C、D兩點且與直線L相切的圓是否只有一個，我們還需要再進一步引導學生猜想。這樣隨著猜想的不斷深入，學生的創造性動機被有效地激發出來，空間思維能力得到較好的培養。

二、“數”與“形”結合，讓抽象直觀化

數學是一門演繹科學，它的研究對象主要是“數”與“形”。我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事非?！薄皵怠迸c“形”反映了事物兩個方面的屬性。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。

幾何直觀是數形結合思想的最好體現。通過圖形的直觀性質來闡明數與數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

例如：公路MN和公路PQ在點

P處交匯，公路PQ上點A處有一所

學校，點A到公路MN的距離為80m

?，F有一拖拉機在公路MN上以18

千米/小時的速度沿PQ方向行駛,拖

拉機行駛時周圍100m以內都受到噪

聲影響,試問該校受影響的時間為多少秒？

分析：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，并且影響學校的條件是在其周圍100m以內。

（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。

鑒于以上分析，我們大體知道影響學校的區域是以A為圓心100m為半徑的一個區域，對于拖拉機在這個過程中可以抽象成一個點，從而可以轉化成一個“點與圓的位置關系”的一個題目，由此畫出幾何圖形。

從這個例子可以看出，把復雜的問題通過幾何圖形展示出來，借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想，提高學生應用數學的意識，提升學生的空間思維能力。

三、折疊圖形，顯現幾何直觀

在圖形和幾何的教學中，培養學生的空間觀念和幾何直觀非常重要。因為它不僅是一個核心概念，而且還是培養學生認識圖形的一種方法和思維方式。在圖形和幾何的教學中，以圖形為核心，以問題為支撐，以思考為導向，可讓學生形成一種認識事物的能力。

折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，折疊突出了軸對稱的應用。所以在解決有關的折疊問題時可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質。

根據軸對稱的性質可以得到：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是這兩個全等形的對稱軸；互相重合兩點（對稱點）之間的連線必被折痕垂直平分；對稱兩點與對稱軸上任意一點連接所得的兩條線段相等；對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等。在解題過程中要充分運用以上結論，借助輔助線構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數等知識來解決有關折疊問題，可以使得解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔。

例如：已知矩形紙片ABCD，AB=2，AD=1，將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合。

（1）如果折痕FG分別與AD、AB交于F、G（如圖①），AF=■，求DE的長；

（2）如果折痕FG分別與CD、AB交于F、G（如圖②），△AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長。

本題須把折疊問題轉化為軸對稱問題，利用勾股定理和相似求出未知線段，最后把所求的線段轉化到直角三角形中去處理，抓住圖形之間位置關系，從點、線、面三個方面入手，分析其中變化的和不變的量，以及圖形中的數量關系；把握折疊的變化規律，挖掘出圖形的幾何性質，將其中的數量關系用方程的形式表達出來，運用所學知識合理、有序、全面地解決問題。這對于培養學生識別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問題的能力都極為有效。

四、尺規作圖，實踐幾何直觀

圖形是幾何的靈魂，識圖、作圖更是學習幾何最基本的素養。作圖是促進圖形直觀化的手段之一。對于直觀化，教育者往往走入誤區：認為只要反復接觸實物，反復揣摩模型，在學生頭腦中建立起固定的空間映象，睹形而思物，依物而解形。筆者認為，這并不是便捷的手段，過分地依賴實物，不利于學生空間觀念的盡快形成。而作圖正是聯系實物和圖形的一道橋梁，通過作圖實踐，可使學生主動地體會實物和圖形之間的聯系與轉化，直觀地感知作圖結果（圖形）的內部結構及各元素的實際意義。當學生能把變形了的（平面）圖形的內部結構讀懂，并賦之以實際的空間意義以后，圖形的直觀效果也就顯現出來了。

例如：在∠MON內求一點P，使點

P到∠MON兩邊的距離相等，且PA=PB。

學生經分析易發現：到角兩邊距離相等的

點P在這個角的平分線上；點P也在連接

A與B這兩點的線段的垂直平分線上。由

此當然得到結論：∠MON的平分線與線

段AB的垂直平分線相交的點即為點P。這樣，學生在作圖過程中，腦子里也在構建圖形，把空間思維與實踐操作結合，使空間觀念的培養融于直觀幾何的描繪中，相得益彰。

綜上所述，如何幫助學生建立幾何直觀，培養空間觀念。第一要充分發揮圖形給帶來的好處。第二，要讓學生養成畫圖的好習慣。第三，重視變換，讓圖形動起來，把握圖形與圖形之間的關系。第四，要讓學生的頭腦中留住些圖形。注重引導學生把生活中對圖形的感受與有關知識建立聯系，只有讓學生積極主動地參與學習，才能更好地掌握圖形特征，形成空間觀念。