數學教學應有一種“大智慧”的貫通

段軍

【關鍵詞】數學本真 數學邏輯 數學精髓

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0028-02

隨著數學課程標準的深入人心，也隨著數學教師業務素養的漸漸提升，更隨著各位教師對教育主張的積極建構和對學生生命成長的高度關注，數學教學迎來了萬象更新的春天：理論主張的建構，課程內容的豐富，教學手段的多樣化都如雨后春筍般呈現出巨大的發展魅力。然而，就在我們為數學教學取得“成功”而慶幸之余，筆者似乎總感覺到我們的數學教學仍缺少些什么，總感覺到我們的數學教學依舊停留在“知識”的層面上——“教師講的是知識，作業練的是知識，考試考的是知識，評價學生的指標依舊是知識”等，也就是說，我們的數學教學未能給學生帶來一種貫通的力量。

偶有一天，筆者聽了成尚榮老師《關于文化的融入與建設》講座后，才猛然發現，我們的數學教師“缺少一種整體的戰略布局和大智慧的貫通”，正是“缺少這種整體的戰略布局和大智慧的貫通”，使得我們的數學始終無法走出“支離破碎”的怪圈，無法走進學生的“內心世界”，才使得我們的數學無法成為學生“終身發展”的良師益友。為此，筆者認為，我們的數學教學理應有一種“大智慧”的貫通，讓學生獲得長久的“生長力量”。

一、理論的建構應追求數學的本真

數學是什么？雖然這個問題眾說紛紜，難有統一的結論，但如果不搞清楚這個問題，就會使得我們在數學教學的道路上多有徒勞、多留遺憾。或許有人會說：數學不就是一門研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的學科嗎？誠然，這種回答本也無可厚非，但這種回答的意義何在？對我們的教學又有什么幫助？作為教師的我們對數學的理解，不能僅僅停留在它的表面（概念），而應該從數學的本質入手，探求數學的本真，尋找出它給學生、給我們帶來的生長的東西。正是基于這一點認識，筆者覺得對數學的理解應從兩方面出發。

首先，數學是一個有機聯系的整體。每個學科知識都有著屬于自己的特質，而且這些特質往往以一種特定的邏輯組合在一起。目前，為了教師教學的方便，更為了學生學習的便捷，教材的編寫者們無一不是將數學先“分拆”成若干個大的“組塊”，如“數量關系”“空間結構”“位置變化”等，然后再將這些“組塊”“細化”成若干個小的“分支”。例如“數”的知識，就將其細化為自然數、整數、分數、小數等。這些“分拆”和“細化”，一方面由于它的方便而導致了很多教師懶于進行整體貫通，另一方面由于它的“支離破碎”而導致很多教師無法對數學作出宏觀的把握……但不管怎樣，這都不能成為我們的借口，我們不能只顧眼前——“就知識講知識”，而應該基于知識這個點，用整體的眼光、整體的思維，厘清它的來龍去脈，從而讓學生更好地建構自己的認知體系和貫通各個知識的聯系。

其次，數學學習是一個高度抽象的過程。如果沒有對物體個數的抽象就不會產生自然數，如果沒有對物體外部輪廓的抽象就不會產生幾何，如果沒有對隨機現象的抽象就不會產生概率。卡爾丹和邦別之所以能用“虛數”來描述交流電的特點，是因為他們對交流電現象進行了深層的抽象；黎曼之所以想出絕對微積分，是因為他們對窮盡思想進行了高度概括……總之，數學是通過“抽象”這一手段來反映客觀現象、生活情景的，如果沒有對客觀原型進行數學式的抽象就不會產生數學。為此，我們的數學，也應通過對客觀現象、生活情景的提煉，幫助學生形成數學的視角；也應通過對具體事物、隨機概率的抽象與建模，幫助學生打開數學的思維。

二、過程的實施應把握數學的邏輯

數學怎么教？也如數學“是什么”一樣，也是仁者見仁，智者見智：有邱學華的嘗試法，也有徐斌的無痕潤物法……僅江蘇教壇就有文化數學、和諧數學、簡約數學、智慧數學之流派……筆者認為，不管是出于何種理論主張，何種教育訴求，他們都應該有一種共通的智慧，那就是抓住數學的本真，進行各自不同的演繹。

首先，要把握數學的發生發展，交叉融合。由于我們對數學整體性的把握不夠到位，讓我們的教學常常囿于某一知識的本身，以至于我們的學生在認知邏輯上無法獲得“有效承接”，進而在數學學習中感到迷茫、困惑，直至迷失。要知道，數學中的每一個知識都是有生命的，它們都有一個屬于自己的萌發、生長、交叉、融合的生命歷程，我們只有把握好這些知識的內在關聯，才能讓自己“貫通”，才能讓學生“貫通”。

例如《長方體的認識》的教學。蘇教版教材之所以在小學六年級安排此教學內容，是因為此項內容是平面圖形的提升，是研究立體幾何圖形的開始，也是學生的空間觀念形成的一個關鍵。如果我們僅從數學知識的角度進行教學，當我們教會了“長、寬、高、棱、面、點”等表示長方體特征的知識后，教學過程似乎也就結束了。然而，這樣的教學顯然是“孤立的”，無法給學生帶來貫通的力量。為此，筆者在教學時，從知識的發生、發展的過程出發，讓學生親身體驗由“面”變“體”的蛻變：第一步讓學生“切土豆”，即先讓他們在土豆上任意切一刀，然后讓他們動手摸一摸其中的一個“面”，以此勾起學生對“面”的認知；第二步引導學生想象如何將此“面”變成一個“體”，即讓學生在這個“面”上以“長方形的圖式”垂直地切上四刀，接著在這個“面”的對面再切上一刀，這樣就形成了一個近似的長方體；第三步再讓學生動手摸一摸它的形，數一數它的角、邊和面，想一想它與平面圖形的區別。經過這樣一個過程，學生不僅理解了長方體“六個面、十二條棱和八個頂點”這個常規知識，還會從自己的認知圖形里建立長方體的模型。

其次，要把握數學的內在層次和邏輯關系。每一個人都有了解事物內在邏輯的欲望，尤其是孩子，他們的欲望尤為強烈，以至于他們常常問到：這是什么？那是什么？為什么這樣？然而，學生們的思維又是淺層次的，雖然他們極度渴求對知識的理解，但卻很難將一些富含內在邏輯的東西整合在一起，更難以從紛繁的世界中尋找到有序的邏輯。這就要求我們教師要將蘊含在大量例題、習題中的概念整合成一個序列，力圖將蘊含在生活現象中的抽象的東西編排成一個整體，從而讓這些繁雜、抽象的數量關系變得形象化、淺顯化，進而讓學生在這種有序的狀態下，自然地習得數學的知識，把握數學的規律，領略數學的真諦。

例如，《分數的意義》中的一個練習。這是蘇教版五年級下冊的一個教學內容，題目是：“任選一個分數——、、、、，在圖中涂色表示出來。”（圖略）當學生隨意地在圖上涂上一個色彩，這個練習即告結束。但這樣的教學怎能彰顯出分數的內在邏輯，顯現出分數間的邏輯關系呢？為此，筆者在教學時，對此題進行有針對性改編，要求學生將這幾個分數分步且有序地涂示出來（如下圖）。

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（當然也可以倒著排列）

然后再引導學生觀察此圖。筆者想，當學生看到這個有規律的排列后，心中自然會產生這樣朦朧的感知：涂色的份數越多，分數就越大；涂色的份數越少，分數也就越小；這樣“>>>>”或“<<<<”的認知就會自然產生。總之，當我們基于數學的內在邏輯進行教學，不僅有效地讓學生感知出“分數的意義”，幫助他們完成從“形”到“數”的轉變，還可以為以后學習“分數的比較”和“分數的判斷”提供邏輯基礎。

三、生命的啟迪應凸現數學的精髓

如果數學教學僅僅局限于知識的獲得和技能的訓練，那么我們的數學就會失去它應有的生長性，就只能是“數學”了。為此，我們應慢慢辨析，找尋出隱藏在數學深處的精髓，從而使學生獲得一生需要的東西。

首先，要幫助學生形成數學的視角。隨著人們對數學解讀的不斷深入，人們發現，數學的思想才是人們的終極追求，才是能夠伴隨生命成長的東西。然而思想的生成也并非一朝一夕所能完成的，它必須聚砂成塔，積液成裘。為此，在教學時，我們要先引導學生形成數學的視角，并從這一視角慢慢生成個體對數學思想的獨特體驗。

例如，《統計》的教學。在統計過程中，由于統計事物的名稱各不相同，為了不出錯，我們就必須將這些名稱逐一謄寫下來。但是“逐一謄寫”費時費力，給統計帶來極大的不便，如何化解此難題呢？教學時，筆者與學生一道共同探討如何快捷地表示每一類商品：有的學生說“用每個商品的第一個字”，但這種方法仍不夠快捷；有的學生說“用1、2、3、4、5……”這樣表示雖然快，但容易混淆。經過與學生們的共同探究，最后得出“用漢語拼音的第一個字的聲母來表示要統計的商品”。學生掌握這種方法后，不僅很快也很方便地統計出相關數據，而且一目了然。接著，筆者又趁熱打鐵：“以后我們在統計或解決其他問題時，該如何做到簡潔又方便呢？”學生有了“用字母表示數”的獨特體驗，自然地產生“用字母表示數”的意識。

其次，要幫助學生養成數學的思維。當學生形成數學地感知事物的視角后，還要進一步引導他們養成數學的思維方式，從而讓他們在任何時候都能運用數學的知識技能和方法策略解決實際問題。

例如，《確定位置》的教學。在我們的思維習慣中，確定一個物體的位置常常用一大串語言來描述，但最后的結果是把聽者弄得稀里糊涂。如何讓學生更好地確定物體的位置呢？筆者在教學時，擯棄傳統的語言描述，而是讓學生從觀察順序入手，如“從左向右數是第幾排”“從前往后數是第幾列”“從下往上數是第幾層”等。當學生根據“觀察規則”求得某一物體的具體位置時，筆者繼續從數學的角度，幫助學生形成數學的表述：即用“橫向帶箭頭的直線→”來表示“從左向右數”，用“縱向帶箭頭的直線↑”來表示“從下向上數”，從而形成數學地觀察和表述的思路，當學生掌握了這種“坐標性”的確定位置方法后，他們的觀察不僅變得有序，而且準確性很高，更為重要的是，他們能獲得一種“坐標式”的觀察思維。

總之，只有準確地把握數學的特質，并進行有針對性的過程實施與生命雕琢，才能達到一種“大智慧”的貫通，才能給學生帶來一生發展所需要的東西。

（責編 林 劍）

例如，《分數的意義》中的一個練習。這是蘇教版五年級下冊的一個教學內容，題目是：“任選一個分數——、、、、，在圖中涂色表示出來。”（圖略）當學生隨意地在圖上涂上一個色彩，這個練習即告結束。但這樣的教學怎能彰顯出分數的內在邏輯，顯現出分數間的邏輯關系呢？為此，筆者在教學時，對此題進行有針對性改編，要求學生將這幾個分數分步且有序地涂示出來（如下圖）。

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（當然也可以倒著排列）

然后再引導學生觀察此圖。筆者想，當學生看到這個有規律的排列后，心中自然會產生這樣朦朧的感知：涂色的份數越多，分數就越大；涂色的份數越少，分數也就越小；這樣“>>>>”或“<<<<”的認知就會自然產生。總之，當我們基于數學的內在邏輯進行教學，不僅有效地讓學生感知出“分數的意義”，幫助他們完成從“形”到“數”的轉變，還可以為以后學習“分數的比較”和“分數的判斷”提供邏輯基礎。

三、生命的啟迪應凸現數學的精髓

如果數學教學僅僅局限于知識的獲得和技能的訓練，那么我們的數學就會失去它應有的生長性，就只能是“數學”了。為此，我們應慢慢辨析，找尋出隱藏在數學深處的精髓，從而使學生獲得一生需要的東西。

首先，要幫助學生形成數學的視角。隨著人們對數學解讀的不斷深入，人們發現，數學的思想才是人們的終極追求，才是能夠伴隨生命成長的東西。然而思想的生成也并非一朝一夕所能完成的，它必須聚砂成塔，積液成裘。為此，在教學時，我們要先引導學生形成數學的視角，并從這一視角慢慢生成個體對數學思想的獨特體驗。

例如，《統計》的教學。在統計過程中，由于統計事物的名稱各不相同，為了不出錯，我們就必須將這些名稱逐一謄寫下來。但是“逐一謄寫”費時費力，給統計帶來極大的不便，如何化解此難題呢？教學時，筆者與學生一道共同探討如何快捷地表示每一類商品：有的學生說“用每個商品的第一個字”，但這種方法仍不夠快捷；有的學生說“用1、2、3、4、5……”這樣表示雖然快，但容易混淆。經過與學生們的共同探究，最后得出“用漢語拼音的第一個字的聲母來表示要統計的商品”。學生掌握這種方法后，不僅很快也很方便地統計出相關數據，而且一目了然。接著，筆者又趁熱打鐵：“以后我們在統計或解決其他問題時，該如何做到簡潔又方便呢？”學生有了“用字母表示數”的獨特體驗，自然地產生“用字母表示數”的意識。

其次，要幫助學生養成數學的思維。當學生形成數學地感知事物的視角后，還要進一步引導他們養成數學的思維方式，從而讓他們在任何時候都能運用數學的知識技能和方法策略解決實際問題。

例如，《確定位置》的教學。在我們的思維習慣中，確定一個物體的位置常常用一大串語言來描述，但最后的結果是把聽者弄得稀里糊涂。如何讓學生更好地確定物體的位置呢？筆者在教學時，擯棄傳統的語言描述，而是讓學生從觀察順序入手，如“從左向右數是第幾排”“從前往后數是第幾列”“從下往上數是第幾層”等。當學生根據“觀察規則”求得某一物體的具體位置時，筆者繼續從數學的角度，幫助學生形成數學的表述：即用“橫向帶箭頭的直線→”來表示“從左向右數”，用“縱向帶箭頭的直線↑”來表示“從下向上數”，從而形成數學地觀察和表述的思路，當學生掌握了這種“坐標性”的確定位置方法后，他們的觀察不僅變得有序，而且準確性很高，更為重要的是，他們能獲得一種“坐標式”的觀察思維。

總之，只有準確地把握數學的特質，并進行有針對性的過程實施與生命雕琢，才能達到一種“大智慧”的貫通，才能給學生帶來一生發展所需要的東西。

（責編 林 劍）

例如，《分數的意義》中的一個練習。這是蘇教版五年級下冊的一個教學內容，題目是：“任選一個分數——、、、、，在圖中涂色表示出來。”（圖略）當學生隨意地在圖上涂上一個色彩，這個練習即告結束。但這樣的教學怎能彰顯出分數的內在邏輯，顯現出分數間的邏輯關系呢？為此，筆者在教學時，對此題進行有針對性改編，要求學生將這幾個分數分步且有序地涂示出來（如下圖）。

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然后再引導學生觀察此圖。筆者想，當學生看到這個有規律的排列后，心中自然會產生這樣朦朧的感知：涂色的份數越多，分數就越大；涂色的份數越少，分數也就越小；這樣“>>>>”或“<<<<”的認知就會自然產生。總之，當我們基于數學的內在邏輯進行教學，不僅有效地讓學生感知出“分數的意義”，幫助他們完成從“形”到“數”的轉變，還可以為以后學習“分數的比較”和“分數的判斷”提供邏輯基礎。

三、生命的啟迪應凸現數學的精髓

如果數學教學僅僅局限于知識的獲得和技能的訓練，那么我們的數學就會失去它應有的生長性，就只能是“數學”了。為此，我們應慢慢辨析，找尋出隱藏在數學深處的精髓，從而使學生獲得一生需要的東西。

首先，要幫助學生形成數學的視角。隨著人們對數學解讀的不斷深入，人們發現，數學的思想才是人們的終極追求，才是能夠伴隨生命成長的東西。然而思想的生成也并非一朝一夕所能完成的，它必須聚砂成塔，積液成裘。為此，在教學時，我們要先引導學生形成數學的視角，并從這一視角慢慢生成個體對數學思想的獨特體驗。

例如，《統計》的教學。在統計過程中，由于統計事物的名稱各不相同，為了不出錯，我們就必須將這些名稱逐一謄寫下來。但是“逐一謄寫”費時費力，給統計帶來極大的不便，如何化解此難題呢？教學時，筆者與學生一道共同探討如何快捷地表示每一類商品：有的學生說“用每個商品的第一個字”，但這種方法仍不夠快捷；有的學生說“用1、2、3、4、5……”這樣表示雖然快，但容易混淆。經過與學生們的共同探究，最后得出“用漢語拼音的第一個字的聲母來表示要統計的商品”。學生掌握這種方法后，不僅很快也很方便地統計出相關數據，而且一目了然。接著，筆者又趁熱打鐵：“以后我們在統計或解決其他問題時，該如何做到簡潔又方便呢？”學生有了“用字母表示數”的獨特體驗，自然地產生“用字母表示數”的意識。

其次，要幫助學生養成數學的思維。當學生形成數學地感知事物的視角后，還要進一步引導他們養成數學的思維方式，從而讓他們在任何時候都能運用數學的知識技能和方法策略解決實際問題。

例如，《確定位置》的教學。在我們的思維習慣中，確定一個物體的位置常常用一大串語言來描述，但最后的結果是把聽者弄得稀里糊涂。如何讓學生更好地確定物體的位置呢？筆者在教學時，擯棄傳統的語言描述，而是讓學生從觀察順序入手，如“從左向右數是第幾排”“從前往后數是第幾列”“從下往上數是第幾層”等。當學生根據“觀察規則”求得某一物體的具體位置時，筆者繼續從數學的角度，幫助學生形成數學的表述：即用“橫向帶箭頭的直線→”來表示“從左向右數”，用“縱向帶箭頭的直線↑”來表示“從下向上數”，從而形成數學地觀察和表述的思路，當學生掌握了這種“坐標性”的確定位置方法后，他們的觀察不僅變得有序，而且準確性很高，更為重要的是，他們能獲得一種“坐標式”的觀察思維。

總之，只有準確地把握數學的特質，并進行有針對性的過程實施與生命雕琢，才能達到一種“大智慧”的貫通，才能給學生帶來一生發展所需要的東西。

（責編 林 劍）