出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)中的應(yīng)用

韋宏等

【關(guān)鍵詞】出入相補(bǔ)原理 小學(xué)奧數(shù) 整數(shù)運(yùn)算 平面幾何的面積計(jì)算

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的基本原理之一，在早期的《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》和《算術(shù)書》等文獻(xiàn)中，利用這一原理就獲得了很多有關(guān)題目的算法，如勾股定理的推導(dǎo)、“方田”問題、開平方法等，它不僅在幾何上應(yīng)用廣泛，且這一原理的直觀性有助于我們對一些代數(shù)問題的理解。奧數(shù)對于小學(xué)生來說是一個特殊的科目，它涉及的知識領(lǐng)域?qū)挿海记尚詮?qiáng)。就現(xiàn)有的小學(xué)數(shù)學(xué)知識水平很難解決奧數(shù)題，但如果能將新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識，將復(fù)雜問題簡單化，那么就可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)的興趣，增強(qiáng)解決問題的能力。此外，由于出入相補(bǔ)原理簡單、直觀、自然而高效，利用這一原理將有助于學(xué)生對奧數(shù)有關(guān)問題的解決。

所謂出入相補(bǔ)原理，即割補(bǔ)法，引用吳文教授在《出入相補(bǔ)原理》一文中的定義即是“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。”

下面，我們從整數(shù)運(yùn)算、平面幾何的面積計(jì)算來闡述出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)中的應(yīng)用。

一、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)整數(shù)運(yùn)算方面的應(yīng)用

在近幾年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中，整數(shù)運(yùn)算占了相當(dāng)重要的地位。對整數(shù)運(yùn)算除了要掌握基本的運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)外，有時要達(dá)到簡算、巧算，我們還要掌握其他一些簡算知識，如平方差公式、公差為1的等差數(shù)列求和公式等。由于這些知識點(diǎn)要在初中或高中課本中才會涉及到，要讓小學(xué)生快速牢記此知識點(diǎn)，教師可通過出入相補(bǔ)原理向?qū)W生講授這些知識的由來，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此時a2-b2可轉(zhuǎn)化為求圖1陰影部分的面積：根據(jù)出入相補(bǔ)原理，我們可將圖1轉(zhuǎn)化為圖2，且圖2陰影部分面積為（a+b）（a-b）。由于圖1和圖2陰影部分面積是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本題若先計(jì)算每個平方數(shù)，再進(jìn)行加減，101個數(shù)將要算很久。此時如果掌握了平方差公式和等差數(shù)列求和公式，則可簡便運(yùn)算，可見在小學(xué)奧數(shù)中也須掌握這兩個公式。

二、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)平面幾何方面的應(yīng)用

試題的命制是奧數(shù)的中心環(huán)節(jié)，而平面幾何則可提供各種層次、難度的試題，所以平面幾何在各個國家、層次的競賽活動上都占據(jù)著重要的地位。在我國近幾年的小學(xué)奧數(shù)競賽中，平面幾何常常以求圖形面積出現(xiàn)在考生面前。因此，考生須掌握快速求圖形面積的方法。那么在已知長方形面積等于長乘以寬的基礎(chǔ)上，我們可根據(jù)出入相補(bǔ)原理推導(dǎo)出平行四邊形、三角形、梯形、圓等的面積公式，加深學(xué)生的印象。如：

（1）推導(dǎo)平行四邊形的面積公式：S=底×高。

結(jié)合圖5，在平行四邊形ABCD中作AD邊上的高BE，將平行四邊形分成△ABE和梯形BCDE，此時將△ABE移動使CD和BA重合，將平行四邊形ABCD重組成長方形BCEE，所以平行四邊形的面積S=底×高。

（2）推導(dǎo)三角形的面積公式：S=×底×高

結(jié)合圖6，在原有△ABC上，再構(gòu)建一個與△ABC全等的△DEF，移動兩個三角形使AC和FD重合，組成平行四邊形ABCE，所以S△ABC=×S平行四邊形ABCE=×底×高。

（3）推導(dǎo)梯形的面積公式：S=×（上底+下底）×高

結(jié)合圖7，在原有梯形ABCD上，再構(gòu)建一個與梯形ABCD全等的梯形EFGH，移動兩個梯形使CD和EH重合，組成平行四邊形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推導(dǎo)圓的面積公式：S=π×半徑2

結(jié)合圖9，將圓進(jìn)行無限分割，當(dāng)分割份數(shù)增多時，當(dāng)每一份弧近似直線時，半圓周長則近似長方形的長，半徑近似長方形的寬，即圓的面積越來越靠近長方形的面積，所以

S=π×半徑×半徑=π×半徑2

例：（第九屆小學(xué)“希望杯”全國邀請賽六年級第2試）圖9中的陰影部分的面積是 平方厘米。（π取3）

解題思路：此題的陰影部分不是我們常見的規(guī)則面幾何圖形，但我們可以運(yùn)用出入相補(bǔ)原理，通過分割、添補(bǔ)圖形，將其變成我們熟知的平面幾何圖形，再通過求熟知的平面幾何圖形的面積，用加、減運(yùn)算則可得此陰影部分的面積。

方法一：如下圖，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)為

本題主要考察求復(fù)雜圖形面積的能力，沒有公式可以直接進(jìn)行計(jì)算，因此需結(jié)合出入相補(bǔ)原理，先對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，再求其面積。此小題給出了六種解決方法，有助于訓(xùn)練一題多解的能力，熟悉運(yùn)用出入相補(bǔ)原理。

出入相補(bǔ)原理的特點(diǎn)在于簡單、直觀，運(yùn)用其解代數(shù)、幾何中的公式，使公式更加直觀，學(xué)生理解更加深入。同時，運(yùn)用其求復(fù)雜圖形的面積，可從不同角度考慮添加輔助線，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為熟知的圖形進(jìn)行求解，且有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用平面圖形面積計(jì)算的知識。

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜鷗.小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.運(yùn)用“出入相補(bǔ)原理”求陰影部分的面積[J].教育實(shí)踐與研究，2012，05：46.

[3]彭剛.出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（4）：108-112.

[4]馮艷青.“出入相補(bǔ)原理”的思想方法啟示[J].常州師專學(xué)報(bào)，2001，19（4）：69-71.

（責(zé)編 黃珍平）

【關(guān)鍵詞】出入相補(bǔ)原理 小學(xué)奧數(shù) 整數(shù)運(yùn)算 平面幾何的面積計(jì)算

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的基本原理之一，在早期的《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》和《算術(shù)書》等文獻(xiàn)中，利用這一原理就獲得了很多有關(guān)題目的算法，如勾股定理的推導(dǎo)、“方田”問題、開平方法等，它不僅在幾何上應(yīng)用廣泛，且這一原理的直觀性有助于我們對一些代數(shù)問題的理解。奧數(shù)對于小學(xué)生來說是一個特殊的科目，它涉及的知識領(lǐng)域?qū)挿海记尚詮?qiáng)。就現(xiàn)有的小學(xué)數(shù)學(xué)知識水平很難解決奧數(shù)題，但如果能將新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識，將復(fù)雜問題簡單化，那么就可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)的興趣，增強(qiáng)解決問題的能力。此外，由于出入相補(bǔ)原理簡單、直觀、自然而高效，利用這一原理將有助于學(xué)生對奧數(shù)有關(guān)問題的解決。

所謂出入相補(bǔ)原理，即割補(bǔ)法，引用吳文教授在《出入相補(bǔ)原理》一文中的定義即是“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。”

下面，我們從整數(shù)運(yùn)算、平面幾何的面積計(jì)算來闡述出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)中的應(yīng)用。

一、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)整數(shù)運(yùn)算方面的應(yīng)用

在近幾年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中，整數(shù)運(yùn)算占了相當(dāng)重要的地位。對整數(shù)運(yùn)算除了要掌握基本的運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)外，有時要達(dá)到簡算、巧算，我們還要掌握其他一些簡算知識，如平方差公式、公差為1的等差數(shù)列求和公式等。由于這些知識點(diǎn)要在初中或高中課本中才會涉及到，要讓小學(xué)生快速牢記此知識點(diǎn)，教師可通過出入相補(bǔ)原理向?qū)W生講授這些知識的由來，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此時a2-b2可轉(zhuǎn)化為求圖1陰影部分的面積：根據(jù)出入相補(bǔ)原理，我們可將圖1轉(zhuǎn)化為圖2，且圖2陰影部分面積為（a+b）（a-b）。由于圖1和圖2陰影部分面積是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本題若先計(jì)算每個平方數(shù)，再進(jìn)行加減，101個數(shù)將要算很久。此時如果掌握了平方差公式和等差數(shù)列求和公式，則可簡便運(yùn)算，可見在小學(xué)奧數(shù)中也須掌握這兩個公式。

二、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)平面幾何方面的應(yīng)用

試題的命制是奧數(shù)的中心環(huán)節(jié)，而平面幾何則可提供各種層次、難度的試題，所以平面幾何在各個國家、層次的競賽活動上都占據(jù)著重要的地位。在我國近幾年的小學(xué)奧數(shù)競賽中，平面幾何常常以求圖形面積出現(xiàn)在考生面前。因此，考生須掌握快速求圖形面積的方法。那么在已知長方形面積等于長乘以寬的基礎(chǔ)上，我們可根據(jù)出入相補(bǔ)原理推導(dǎo)出平行四邊形、三角形、梯形、圓等的面積公式，加深學(xué)生的印象。如：

（1）推導(dǎo)平行四邊形的面積公式：S=底×高。

結(jié)合圖5，在平行四邊形ABCD中作AD邊上的高BE，將平行四邊形分成△ABE和梯形BCDE，此時將△ABE移動使CD和BA重合，將平行四邊形ABCD重組成長方形BCEE，所以平行四邊形的面積S=底×高。

（2）推導(dǎo)三角形的面積公式：S=×底×高

結(jié)合圖6，在原有△ABC上，再構(gòu)建一個與△ABC全等的△DEF，移動兩個三角形使AC和FD重合，組成平行四邊形ABCE，所以S△ABC=×S平行四邊形ABCE=×底×高。

（3）推導(dǎo)梯形的面積公式：S=×（上底+下底）×高

結(jié)合圖7，在原有梯形ABCD上，再構(gòu)建一個與梯形ABCD全等的梯形EFGH，移動兩個梯形使CD和EH重合，組成平行四邊形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推導(dǎo)圓的面積公式：S=π×半徑2

結(jié)合圖9，將圓進(jìn)行無限分割，當(dāng)分割份數(shù)增多時，當(dāng)每一份弧近似直線時，半圓周長則近似長方形的長，半徑近似長方形的寬，即圓的面積越來越靠近長方形的面積，所以

S=π×半徑×半徑=π×半徑2

例：（第九屆小學(xué)“希望杯”全國邀請賽六年級第2試）圖9中的陰影部分的面積是 平方厘米。（π取3）

解題思路：此題的陰影部分不是我們常見的規(guī)則面幾何圖形，但我們可以運(yùn)用出入相補(bǔ)原理，通過分割、添補(bǔ)圖形，將其變成我們熟知的平面幾何圖形，再通過求熟知的平面幾何圖形的面積，用加、減運(yùn)算則可得此陰影部分的面積。

方法一：如下圖，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)為

本題主要考察求復(fù)雜圖形面積的能力，沒有公式可以直接進(jìn)行計(jì)算，因此需結(jié)合出入相補(bǔ)原理，先對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，再求其面積。此小題給出了六種解決方法，有助于訓(xùn)練一題多解的能力，熟悉運(yùn)用出入相補(bǔ)原理。

出入相補(bǔ)原理的特點(diǎn)在于簡單、直觀，運(yùn)用其解代數(shù)、幾何中的公式，使公式更加直觀，學(xué)生理解更加深入。同時，運(yùn)用其求復(fù)雜圖形的面積，可從不同角度考慮添加輔助線，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為熟知的圖形進(jìn)行求解，且有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用平面圖形面積計(jì)算的知識。

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜鷗.小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.運(yùn)用“出入相補(bǔ)原理”求陰影部分的面積[J].教育實(shí)踐與研究，2012，05：46.

[3]彭剛.出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（4）：108-112.

[4]馮艷青.“出入相補(bǔ)原理”的思想方法啟示[J].常州師專學(xué)報(bào)，2001，19（4）：69-71.

（責(zé)編 黃珍平）

【關(guān)鍵詞】出入相補(bǔ)原理 小學(xué)奧數(shù) 整數(shù)運(yùn)算 平面幾何的面積計(jì)算

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0016-03

出入相補(bǔ)原理是我國古代數(shù)學(xué)的基本原理之一，在早期的《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》和《算術(shù)書》等文獻(xiàn)中，利用這一原理就獲得了很多有關(guān)題目的算法，如勾股定理的推導(dǎo)、“方田”問題、開平方法等，它不僅在幾何上應(yīng)用廣泛，且這一原理的直觀性有助于我們對一些代數(shù)問題的理解。奧數(shù)對于小學(xué)生來說是一個特殊的科目，它涉及的知識領(lǐng)域?qū)挿海记尚詮?qiáng)。就現(xiàn)有的小學(xué)數(shù)學(xué)知識水平很難解決奧數(shù)題，但如果能將新知識轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識，將復(fù)雜問題簡單化，那么就可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)奧數(shù)的興趣，增強(qiáng)解決問題的能力。此外，由于出入相補(bǔ)原理簡單、直觀、自然而高效，利用這一原理將有助于學(xué)生對奧數(shù)有關(guān)問題的解決。

所謂出入相補(bǔ)原理，即割補(bǔ)法，引用吳文教授在《出入相補(bǔ)原理》一文中的定義即是“一個平面圖形從一處移置他處，面積不變。又若把圖形分割成若干塊，那么各部分面積的和等于原來圖形的面積，因而圖形移置前后諸面積間的和、差有簡單的相等關(guān)系。立體的情形也是這樣。”

下面，我們從整數(shù)運(yùn)算、平面幾何的面積計(jì)算來闡述出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)中的應(yīng)用。

一、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)整數(shù)運(yùn)算方面的應(yīng)用

在近幾年小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中，整數(shù)運(yùn)算占了相當(dāng)重要的地位。對整數(shù)運(yùn)算除了要掌握基本的運(yùn)算定律、運(yùn)算性質(zhì)外，有時要達(dá)到簡算、巧算，我們還要掌握其他一些簡算知識，如平方差公式、公差為1的等差數(shù)列求和公式等。由于這些知識點(diǎn)要在初中或高中課本中才會涉及到，要讓小學(xué)生快速牢記此知識點(diǎn)，教師可通過出入相補(bǔ)原理向?qū)W生講授這些知識的由來，如：

（1）平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）。

此時a2-b2可轉(zhuǎn)化為求圖1陰影部分的面積：根據(jù)出入相補(bǔ)原理，我們可將圖1轉(zhuǎn)化為圖2，且圖2陰影部分面積為（a+b）（a-b）。由于圖1和圖2陰影部分面積是相等的，所以有：a2-b2=（a+b）（a-b）。

本題若先計(jì)算每個平方數(shù)，再進(jìn)行加減，101個數(shù)將要算很久。此時如果掌握了平方差公式和等差數(shù)列求和公式，則可簡便運(yùn)算，可見在小學(xué)奧數(shù)中也須掌握這兩個公式。

二、出入相補(bǔ)原理在小學(xué)奧數(shù)平面幾何方面的應(yīng)用

試題的命制是奧數(shù)的中心環(huán)節(jié)，而平面幾何則可提供各種層次、難度的試題，所以平面幾何在各個國家、層次的競賽活動上都占據(jù)著重要的地位。在我國近幾年的小學(xué)奧數(shù)競賽中，平面幾何常常以求圖形面積出現(xiàn)在考生面前。因此，考生須掌握快速求圖形面積的方法。那么在已知長方形面積等于長乘以寬的基礎(chǔ)上，我們可根據(jù)出入相補(bǔ)原理推導(dǎo)出平行四邊形、三角形、梯形、圓等的面積公式，加深學(xué)生的印象。如：

（1）推導(dǎo)平行四邊形的面積公式：S=底×高。

結(jié)合圖5，在平行四邊形ABCD中作AD邊上的高BE，將平行四邊形分成△ABE和梯形BCDE，此時將△ABE移動使CD和BA重合，將平行四邊形ABCD重組成長方形BCEE，所以平行四邊形的面積S=底×高。

（2）推導(dǎo)三角形的面積公式：S=×底×高

結(jié)合圖6，在原有△ABC上，再構(gòu)建一個與△ABC全等的△DEF，移動兩個三角形使AC和FD重合，組成平行四邊形ABCE，所以S△ABC=×S平行四邊形ABCE=×底×高。

（3）推導(dǎo)梯形的面積公式：S=×（上底+下底）×高

結(jié)合圖7，在原有梯形ABCD上，再構(gòu)建一個與梯形ABCD全等的梯形EFGH，移動兩個梯形使CD和EH重合，組成平行四邊形AEFG，所以S=×（上底+下底）×高。

（4）推導(dǎo)圓的面積公式：S=π×半徑2

結(jié)合圖9，將圓進(jìn)行無限分割，當(dāng)分割份數(shù)增多時，當(dāng)每一份弧近似直線時，半圓周長則近似長方形的長，半徑近似長方形的寬，即圓的面積越來越靠近長方形的面積，所以

S=π×半徑×半徑=π×半徑2

例：（第九屆小學(xué)“希望杯”全國邀請賽六年級第2試）圖9中的陰影部分的面積是 平方厘米。（π取3）

解題思路：此題的陰影部分不是我們常見的規(guī)則面幾何圖形，但我們可以運(yùn)用出入相補(bǔ)原理，通過分割、添補(bǔ)圖形，將其變成我們熟知的平面幾何圖形，再通過求熟知的平面幾何圖形的面積，用加、減運(yùn)算則可得此陰影部分的面積。

方法一：如下圖，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)為

本題主要考察求復(fù)雜圖形面積的能力，沒有公式可以直接進(jìn)行計(jì)算，因此需結(jié)合出入相補(bǔ)原理，先對圖形進(jìn)行割補(bǔ)，再求其面積。此小題給出了六種解決方法，有助于訓(xùn)練一題多解的能力，熟悉運(yùn)用出入相補(bǔ)原理。

出入相補(bǔ)原理的特點(diǎn)在于簡單、直觀，運(yùn)用其解代數(shù)、幾何中的公式，使公式更加直觀，學(xué)生理解更加深入。同時，運(yùn)用其求復(fù)雜圖形的面積，可從不同角度考慮添加輔助線，將復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化為熟知的圖形進(jìn)行求解，且有利于提高學(xué)生綜合運(yùn)用平面圖形面積計(jì)算的知識。

【參考文獻(xiàn)】

[1]姜鷗.小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽一本全[M].山西教育出版社，2005.

[2]高仕松.運(yùn)用“出入相補(bǔ)原理”求陰影部分的面積[J].教育實(shí)踐與研究，2012，05：46.

[3]彭剛.出入相補(bǔ)原理及其應(yīng)用[J].四川教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，25（4）：108-112.

[4]馮艷青.“出入相補(bǔ)原理”的思想方法啟示[J].常州師專學(xué)報(bào)，2001，19（4）：69-71.

（責(zé)編 黃珍平）