一類二階帶參數邊值問題非負解的存在性

徐云濱，李宏飛

(榆林學院數學與統計學院，陜西 榆林 719000)

一類二階帶參數邊值問題非負解的存在性

徐云濱，李宏飛

(榆林學院數學與統計學院，陜西 榆林 719000)

對一類二階帶參數非線性邊值問題進行了研究，利用非線性二擇一不動點定理給出了該問題非負解存在的兩個存在性定理.

邊值問題；非負解；存在性

0 引言

二階微分方程邊值問題因其在天文學、流體力學、工程數學等研究中有著廣泛的應用背景而引起諸多學者的關注.文獻[1-2]利用上下解方法分別討論了一類二階三點和二點非線性奇異邊值問題正解和兩個正解的存在性.文獻[3-4]利用錐上的不動點指數定理討論了一類二階奇異邊值問題正解的存在性.文獻[5]利用Adomian拆分解法討論了一類二階奇異邊值問題的解析性.文獻[6]利用打靶法討論了二階奇異邊值問題多個正解的存在性，文獻[7]利用Schauder不動點定理對源于膨脹波邊界層理論中的一類二階奇異邊值問題正解的存在性和唯一性進行了研究，并利用打靶法求出了該問題的數值解.文獻[8]利用錐上的不動點定理討論了斯圖漠-劉維爾方程奇異邊值問題正解的存在性.文獻[9]利用Krasnosel’skii不動點定理討論了一類奇異邊值問題多個正解的存在性.相關的文獻還可參見文獻[10-13].本文利用不同于以上文獻的方法，通過分析并利用非線性二擇一不動點定理對更一般的一類二階帶參數非線性邊值問題

(1)

非負解的存在性進行討論.其中：μ是一個非負常數，φp(y)=|y|p-2y，p≥2.

根據w(t)在[0，1]上有界和具有單調性的不同情況，分別給出了該問題非負解存在的兩個存在性定理.

1 主要結果

除非特別聲明，本文始終遵循如下約定：

(h1)f：[0,1]×[a,∞)→[0,∞)連續；

(h2) 存在連續非減函數h：[a,∞)→[0,∞)，使得當u>a時，h(u)>0，在(0,1)×(a,∞)上滿足f(t,u)≤h(u)；

(h3)φ(t)為定義在區間[0,1]上的可微嚴格單調遞增函數，φ′(t)在區間[0,1]上連續，且滿足φ′(t)≤w(t)f(t,y).

定理1 如果w(t)∈C(0,1)是區間[0,1]上的非負有界函數，在條件(h1)—(h3)下有下面關于邊值問題(1)的一個非負解存在性原則：

令

(2)

其中

(3)

記

(ⅰ) 當w(t)在(0,1)上單調非增時

令

(4)

函數H的定義同(3)式.記

(ⅱ) 當w(t)在(0,1)上單調非減時

令

(5)

函數H的定義同(3)式.記

注 (2)，(4)，(5)式中的上確界可以為∞.

2 結果證明

(b) 存在一點u∈?U和λ∈(0,1)，使得u=Nλu.

考慮關于λ(0<λ<1)的一族問題

(6)

這里f*：[0,1]×R→[0,∞)定義為

可證(6)式的任何解y(t)滿足

y(t)≥a，t∈[0,1].

(7)

如果(7)式不成立，假設y(t)-a在t0∈(0,1)有一個負的最小值，那么y′(t0)=0且y″(t0)≥0.

一方面，

(φp(y′(t0)))′=-[λμw(t0)f*(t0,y(t0))+φ′(t0)]=
-{λμw(t0)[f(t0,a)+a-y(t0)]+φ′(t0)}<0.

由于φp(y′)∈C1[0，1]，我們知道存在t0的某鄰域N(t0,δ1)，使得在此鄰域內(φp(y′))′<0，對任意的t∈N(t0,δ1) .

另一方面，又存在t0的某鄰域(不妨設此鄰域就為N(t0,δ1))，使得當tt0，t∈N(t0,δ1)時，有y′(t)≥0，當然存在t1t0，t1，t2∈N(t0,δ1).有y′(t1)≤0，y′(t2)≥0，就有0≤φp(y′(t2))-φp(y′(t1))=(φp(y′(ξ)))′(t2-t1)，ξ∈(t1,t2)?N(t0,δ1).

從而有(φp(y′(ξ)))′≥0，這就出現了矛盾，所以(7)式成立.

2.1 定理1的證明

(8)

設y(t)在t0∈[0,1]有最大值，若t0=0或t0=1，可得y0≤b.下面考慮當t0∈(0,1)且y0>b的情況，此時y′(t0)=0，并且在(0,t0)內y′(t)≥0，在(t0,1)內y′(t)≤0.

(ⅰ)當t∈(0,t0)時，

-y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)]y′.

先從t(t

(9)

令φp(y′(s))=r，可得

結合(9)式可得

對上式再從0到t0積分，并令y(t)=u，有

(10)

(ⅱ)當t∈(t0,1)時，

y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)](-y′)，

從t0到t積分

(11)

而

結合(11)式可得

即

再從t0到1積分，并令y(t)=u，有

(12)

由(10)式和(12)式得

(13)

現把(6)式轉化為等價的積分方程

其中A滿足

(14)

解(6)式.當λ=1時，等價于找映射N1：C[0,1]→C[0，1]的一個不動點.

令

U={u∈C[0，1]：‖u‖

其中

定義算子Nλ：C[0，1]→C[0，1]如下：

其中A滿足(14)式.

根據假設條件(h1)—(h3)，易證Nλ：C[0，1]→C[0，1]是一族緊映射.

(15)

(16)

聯合(15)和(16)式得

故v∈U.

我們假設預備定理的結論(b)成立，即存在λ∈(0,1)和y∈?U滿足Nλy=y，所以y是(6)式的解，且滿足‖y(t)‖=M1，即y0=M1.由M1>b及(13)式推出

但這與(8)式的μ<η1相矛盾.

2.2 定理2的證明

(ⅰ) 因為w(t)在(0,1)上單調非增，對固定的μ<μ2，存在M2>b滿足

(17)

設y(t)在t0∈(0,1)上取最大值，且y0>b，那么在這種情況下y′(t0)=0，而且當t∈(0,t0)時，y′(t)≥0，當t∈(t,1)時，y′(t)≤0.

當t∈(0,t0)時，

-y′(φp(y′))′=[λμw(t)f(t,y)+φ′(t)]y′，

先從t(t

可得

即

再從0到t0積分，并令y(t)=u有

(18)

令

U={u∈C[0,1]：‖u‖

然后與證明定理1類似，同理可得存在邊值問題(1)的一個解y(t)滿足a≤y(t)≤M2，t∈[0,1].

(ⅱ) 因為w(t)在(0,1)上單調非減，對固定的μ<μ3，存在M3>b滿足

(19)

設y(t)當t0∈(0,1)時有最大值，并且y0>b，對(6)式中的微分方程乘以y′后兩次積分，即先從t0到t(t>t0)，再從t0到1積分可得

然后與證明情況(ⅰ)類似，可推出存在邊值問題(1)的一個解y(t)滿足a≤y(t)≤M3，t∈[0,1].

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Abstract:A class of second order nonlinear boundary value problem with parameter is studied. Two theorems for the existence of nonnegative solutions are established by using the nonlinear alternative fixed-point theorem.

Keywords:boundary value problem；nonnegative solution；existence

(責任編輯：陶 理)

On existence of nonnegative solutions of a class of second order boundary value problems with parameter

XU Yun-bin， LI Hong-fei

(School of Mathematics and Statistics，Yulin University，Yulin 719000，China)

1000-1832(2014)03-0047-06

10.11672/dbsdzk2014-03-010

2013-11-11

陜西省自然科學基金資助項目(2011JM1009);陜西省教育廳中青年科技人才基金資助項目(09JK842).

徐云濱(1979—)，男，碩士研究生，講師，主要從事微分方程邊值問題及其應用研究;李宏飛(1967—)，男，博士研究生，教授，主要從事非線性泛函分析及應用研究.

O 175 [學科代碼] 110·44

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