半群POn中理想的非群元秩和相關秩

羅永貴，瞿云云

(貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001)

半群POn中理想的非群元秩和相關秩

羅永貴，瞿云云

(貴州師范大學數學與計算機科學學院，貴州 貴陽 550001)

設POn是有限鏈[n]上的保序部分奇異變換半群.對任意的r(2≤r≤n-1)，考慮半群M(n，r)={α∈POn：|Imα|≤r}的非群元秩和非冪等元秩.證明了M(n，r)是由秩為r的元素生成的.確定了當0≤l≤r時，半群M(n，r)關于其理想M(n，l)的相關秩.

部分保序；奇異變換半群；非群元秩和非冪等元秩；相關秩

0 引言

設S是半群，G是S的子群，A是S的一個非空子集，α，ε∈S.若G是S的真子群，對S的任意子群T，由G?T可推出G=T，則稱G是S的極大子群.若存在S的一個極大子群G，使得α∈G，則稱α是S的一個群元素；否則稱α是S的一個非群元素.S中所有群元素之集記為G(S).若ε2=εε=ε，則稱ε是S的一個冪等元；否則稱ε是S的一個非冪等元.A中所有冪等元之集記為E(A).易見，半群S中的冪等元一定是群元素，但群元素不一定是冪等元；非群元素一定是非冪等元，但非冪等元不一定是非群元素.

通常一個有限半群S的秩定義為rank(S)=min{|A|：A?S，〈A〉=S}.如果S是由冪等元之集E(S)生成的，那么S的冪等元秩定義為idrank(S)=min{|A|：A?E(S)，〈A〉=S}.如果S是由非冪等元之集SE(S)生成的，那么S的非冪等元秩定義為Nidrank(S)=min{|A|：A?(SE(S))，〈A〉=S}.如果S是由群元素之集G(S)生成的，那么S的群元秩定義為Grank(S)=min{|A|：A?G(S)，〈A〉=S}.如果S是由非群元素之集SG(S)生成的，那么S的非群元秩定義為NGrank(S)=min{|A|：A?(SG(S))，〈A〉=S}.半群S及其子半群V之間的相關秩定義為r(S，V)=min{|A|：A?S，A∩V=?，〈A∪V〉=S}.易見，半群S中的冪等元秩一定是群元秩，但群元秩不一定是冪等元秩；非群元秩一定是非冪等元秩，但非冪等元秩不一定是非群元秩.rank(S)≤idrank(S)，r(S，S)=0.對于有限半群的秩、冪等元秩、非冪等元秩及其相關秩的研究目前已有許多結果[1-8].

設[n]={1，2，3，…，n-1，n}(n≥3)并賦予自然數的大小序.Pn，In與Sn分別表示[n]上的部分變換半群，對稱逆半群和對稱群，SPn=PnSn是[n]上的部分奇異變換半群.設α∈SPn，若對任意的x，y∈domα，x≤y?xα≤yα，則稱α是部分保序的.記POn為[n]上的所有部分保序奇異變換構成的集合.顯然，POn是SPn的子半群，稱為保序有限部分奇異變換半群.記

M(n，r)={α∈POn：|Imα|≤r}(0≤r≤n-1)，

本文在文獻[1-2]的基礎上繼續考慮保序有限部分奇異變換半群POn的雙邊理想M(n，r)的非群元秩和相關秩，證明了如下結果：

定理1 設n≥3，0≤r≤n-1，則Jr是M(n，r)的生成集，即M(n，r)=〈Jr〉.

定理3 設n≥3，0≤l≤r≤n-1，則

設P，Q是自然序集[n]的非空子集，若對任意的a∈P，b∈Q有a

其中，A1

為敘述方便，這里引用Green-等價關系[9].不難驗證，在半群M(n，r)中，L，R，J有如下刻畫：對任意的α，β∈M(n，r)，

(α，β)∈L?Imα=Imβ，
(α，β)∈R?Kerα=Kerβ，
(α，β)∈J?|Imα|=|Imβ|.

本文未定義的術語及符號參見文獻[10-12].

1 預備知識

為完成定理的證明先給出若干引理與推論.

引理1 對0≤k≤1，有Jk?Jk+1·Jk+1.

情形1 若|A|=1，注意到n≥3，可設A=，取c∈[n].

若b

若b>c.

情形2 若|A|>1，記x=minA.

綜上所述，對0≤k≤1，有Jk?Jk+1·Jk+1.

引理2 對2≤k≤r-1，3≤r≤n-1，有Jk?Jk+1·Jk+1.

證明 對任意的α∈Jk，設α的標準表示為

其中，A1

以下分兩種情形證明存在β，γ∈Jk+1，使得α=βγ.

情形1 若存在i∈{1，2，…，k-1，k}，使得|Ai|≥2，記x=minAi.

情形1.1 若a1≠1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形1.2 若ak≠n，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形1.3 若a1=1且ak=n，結合2≤k≤n-2知，存在j∈{2，3，…，k-1，k}，使得aj-aj-1>1.

如果i

如果i=j，令

如果i>j，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2 若對任意的i∈{1，2，…，k-1，k}都有|Ai|=1，不妨設Ai={bi}，則

并且b1

情形2.1 若b1≠1且a1≠1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.2 若b1≠1且ak≠n，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.3 若b1≠1且a1=1，ak=n，由2≤k≤n-2知，存在j∈{2，3，…，k-1，k}，使得aj-aj-1>1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.4 若bk≠n且a1≠1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.5 若bk≠n且ak≠n，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.6 若bk≠n且a1=1，ak=n，由2≤k≤n-2知，存在j∈{2，3，…，k-1，k}，使得aj-aj-1>1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.7 若b1=1，bk=n且a1≠1，由2≤k≤n-2知，存在j∈{2，3，…，k-1，k}，使得bj-bj-1>1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.8 若b1=1，bk=n且ak≠n，由2≤k≤n-2知，存在j∈{2，3，…，k-1，k}，使得bj-bj-1>1，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

情形2.9 若b1=1，bk=n且a1=1，ak=n，注意到2≤k≤n-2知，存在j，i∈{2，3，…，k-1，k}，使得bj-bj-1>1，ai-ai-1>1.

如果i

如果i=j，令

如果i>j，令

則β，γ∈Jk+1且α=βγ.

2 定理的證明

2.1 定理1的證明

由引理1和引理2可知，對任意的α∈M(n，r)都可以表達成M(n，r)的頂端J-類Jr中秩為r的若干元素的乘積或者α∈Jr.即Jr是M(n，r)的生成集，M(n，r)=〈Jr〉.

引理3 設α∈M(n，r)，則下列條件等價：

(1)α是冪等元；

(2) 對任意的t∈Imα有t∈tα-1；

(3)α|Imα是恒等變換.

證明 (1)?(2) 若α是冪等元，則α2=α.進一步，對任意的y∈domα，有(yα)α=yα2=yα可知yα∈(yα)α-1.令t=yα，即對任意的t∈Imα，有t∈tα-1.

(2)?(3) 是顯然的.

(3)?(1) 若α|Imα是恒等變換，則對任意的y∈domα，有yα2=(yα)α=yα，由此可知α2=α，則α是冪等元.

引理4[11]設ε是半群S的一個冪等元，則Hε是半群S的極大子群.

推論1 設n≥3，2≤k≤r≤n-1，對任意的

其中，A1

引理5 設n≥3，2≤k≤r≤n-1，則對任意的α∈Jk，必存在非群元素β∈(Jk∩(M(n，r)G(M(n，r))))，使得(α，β)∈R.

證明 對任意 的α∈Jk，設α的標準表示為

其中，A1

以下分兩種情形證明存在非群元素β∈(Jk∩(M(n，r)G(M(n，r))))，使得(α，β)∈R.

情形1 若存在i∈{1，2，…，k-1，k}，使得|Ai|≥2.

如果i=1時，取b1，b2∈A1，b3∈A3，b4∈A4，…，bi-1∈Ai-1，bi∈Ai，bi+1∈Ai+1，…，bk-1∈Ak-1，bk∈Ak且b1

如果2≤i≤k時，取b1∈A1，b2∈A2，…，bi-2∈Ai-2，bi-1，bi∈Ai，bi+1∈Ai+1，…，bk-1∈Ak-1，bk∈Ak且bi-1

由推論1，可知β∈(Jk∩(M(n，r)G(M(n，r)))).再由Kerα=Kerβ可知(α，β)∈R.

情形2 若對任意的i∈{1，2，…，k-1，k}，使得|Ai|=1.不妨設Ai={ai}，則a1

如果b

如果存在i∈{2，3，…，k-1，k}，使得ai-1

如果b>ak，令

由推論1，可知β∈(Jk∩(M(n，r)G(M(n，r)))).再由Kerα=Kerα可知(α，β)∈R.

其次，對任意的α∈Jr，以下分兩種情形驗證α∈〈M〉，即Jr?〈M〉.

當i

當i=j時，有α=αi.

當j

當j

當j=p時，有α=βi.

當p

引理7 設α，β∈M(n，r)，若(α，β)∈J且(α，αβ)∈J，則(αβ，β)∈L，(α，αβ)∈R.

證明 設α，β∈M(n，r)，若(α，β)∈J且(α，αβ)∈J，則|Imα|=|Imβ|=|Imαβ|.再由Im(αβ)?Imβ，Kerα?Ker(αβ)與[n]的有限性知，Im(αβ)=Imβ，Kerα=Ker(αβ)，即(αβ，β)∈L，(α，αβ)∈R.

2.2 定理2的證明

2.3 定理3的證明

當l=r時，顯然有r(M(n，r)，M(n，l))=0.

當0≤l

注2 由引理1的證明可知M(n，0)=J0=E(J0)={?}.于是M(n，0)不存在非群元秩.

[1] GOMES G M S，HOWIE J M.On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations[J].Semigroup Forum，1992，45(1)：272-282.

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[11] GANYUSHKIN O，MAZORCHUK V.Classical finite transformation semigroups[M].London：Springer-Verlag，2009：1-89.

Abstract:LetPOnbe the semigroup of all order-preserving partial singular transformations on a finite-chain [n].For an arbitrary integerr(2≤r≤n-1)，the non-group rank and non-idempotent rank of the semigroupM(n，r)={α∈POn：|Imα|≤r} were studied.We proved thatM(n，r) is generated by elements of rankr.Furthermore，it is shown that for 0≤l≤r，the relative rank of the semigroupM(n，r) with respect to itself each idealM(n，l).

Keywords:partial order-preserving；singular transformation semigroup；non-group rank and non-idempotent rank；relative rank

(責任編輯：陶 理)

Non-group rank and relative rank of each ideal of the semigroupPOn

LUO Yong-gui，QU Yun-yun

(Department of Mathematics and Computer Science，Guizhou Normal University，Guiyang 550001，China)

1000-1832(2014)03-0020-08

10.11672/dbsdzk2014-03-005

2013-05-06

貴州省科學技術基金資助項目(黔科合J字LKS(2011)15號).

羅永貴(1985—)，男，碩士，講師，主要從事半群代數理論研究.

O 152.7 [學科代碼] 110·21

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