分段函數常見題型的解法

文/凌蘇建

分段函數對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。它是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集。由于課本沒有明確給出分段函數的定義，只以例題的形式出現，不少學生對它的認識膚淺模糊，以致解題常常出錯。本文歸類介紹分段函數的若干種題型及其解法，以供大家參考.

題型一：求函數值

例1.（2012年山東高考卷8）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）2，當-1≤x＜3時，f（x）=x。則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本題為已知分段函數求值問題，此函數有兩段表達

式，利用函數的周期性將自變量化到已知段上來求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函數周期為6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案應選B.

例2.已知函數f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本題為已知函數值求自變量，應分段求a值，將符合要求的a值并起來即可，a=±2。

題型二：求函數值域或最值

例3.已知函數■的值域為

分析：分段函數的值域為各段函數值域的并集，分別求出各段的值域即可，值域為［-8，1］

例4.設a＞0，函數f（x）=x2+alnx-1，求函數f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去絕對值后可化為分段函數，然后分段求最小值，再比較各段的最小值確定函數的最小值。

解析：f（x）=■

（1）當x≥e時，通過求導知f（x）在［e，+∞）上是增函數，所以ymin=f（e）=e2。

（2）當1≤x

①當■≤1，即0

②當1<■

③當■≥e即a≥2e2時，ymin=f（e）=e2。綜上所述：f（x）的最小值為e2

題型三：求函數的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=2f（x）.若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），則當-1≤x≤0時，f（x）=________________。

分析：根據已知段解析式，通過條件變換求出另一段函數解析式。

解析：當-1≤x≤0時，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江蘇高考卷10）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），則a+3b的值為

分析：本題求a+3b，事實上可以看作是求函數的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期為2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隱含條件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

題型四：解不等式

例7.（2011年遼寧高考卷9）設函數f（x）=■，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分別解不等式,最后再求各段的并集。

解析：當x≤1時21-x≤2，∴0≤x≤1當x>1時，綜上x≥0,選D

題型五：求單調區間或已知單調性求參數

例8.已知函數f（x）=■,則單調增區間為

分析：本題是分段函數求單調區間問題，一定要注意兩段函數的端點值，本題增區間為（-∞，+∞）；若將第二段改為f（x）=x+1，那么單調增區間為（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的減函數，則實數的取值范圍是 。

分析：由于函數是R上的減函數，因此每一段函數都必須是減函數，可得a的范圍為（0，■），但是還要考慮兩段的端點值的大小，x=1時（3a-1）x+4a≥loga x，a的范圍為［■，■）.

題型六：求參數

例10.（2011年江蘇高考卷11）已知實數，函數f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），則a的值為________.

分析:用分類討論a≥0和a<0,從而將1-a,1+a與1的大小關系明確.

解析:當a≥0時，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；當a<0時，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函數f（x）=■若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則數k的取值范圍是_______.

分析：數形結合是數學上常用的方法，本題通過作出函數的圖象，易知k∈（0，1）

分段函數作為一種特殊函數，不但滿足函數的一切性質，而且還具有自身固有的特征，近幾年各地高考卷中不斷出現分段函數題，充分體現了分段函數的重要性，通過以上幾種題型的歸類、總結和探究，我們可以掌握分段函數的常規解法，今后對分段函數可以應對自如。

編輯 謝尾合

分段函數對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。它是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集。由于課本沒有明確給出分段函數的定義，只以例題的形式出現，不少學生對它的認識膚淺模糊，以致解題常常出錯。本文歸類介紹分段函數的若干種題型及其解法，以供大家參考.

題型一：求函數值

例1.（2012年山東高考卷8）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）2，當-1≤x＜3時，f（x）=x。則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本題為已知分段函數求值問題，此函數有兩段表達

式，利用函數的周期性將自變量化到已知段上來求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函數周期為6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案應選B.

例2.已知函數f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本題為已知函數值求自變量，應分段求a值，將符合要求的a值并起來即可，a=±2。

題型二：求函數值域或最值

例3.已知函數■的值域為

分析：分段函數的值域為各段函數值域的并集，分別求出各段的值域即可，值域為［-8，1］

例4.設a＞0，函數f（x）=x2+alnx-1，求函數f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去絕對值后可化為分段函數，然后分段求最小值，再比較各段的最小值確定函數的最小值。

解析：f（x）=■

（1）當x≥e時，通過求導知f（x）在［e，+∞）上是增函數，所以ymin=f（e）=e2。

（2）當1≤x

①當■≤1，即0

②當1<■

③當■≥e即a≥2e2時，ymin=f（e）=e2。綜上所述：f（x）的最小值為e2

題型三：求函數的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=2f（x）.若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），則當-1≤x≤0時，f（x）=________________。

分析：根據已知段解析式，通過條件變換求出另一段函數解析式。

解析：當-1≤x≤0時，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江蘇高考卷10）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），則a+3b的值為

分析：本題求a+3b，事實上可以看作是求函數的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期為2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隱含條件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

題型四：解不等式

例7.（2011年遼寧高考卷9）設函數f（x）=■，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分別解不等式,最后再求各段的并集。

解析：當x≤1時21-x≤2，∴0≤x≤1當x>1時，綜上x≥0,選D

題型五：求單調區間或已知單調性求參數

例8.已知函數f（x）=■,則單調增區間為

分析：本題是分段函數求單調區間問題，一定要注意兩段函數的端點值，本題增區間為（-∞，+∞）；若將第二段改為f（x）=x+1，那么單調增區間為（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的減函數，則實數的取值范圍是 。

分析：由于函數是R上的減函數，因此每一段函數都必須是減函數，可得a的范圍為（0，■），但是還要考慮兩段的端點值的大小，x=1時（3a-1）x+4a≥loga x，a的范圍為［■，■）.

題型六：求參數

例10.（2011年江蘇高考卷11）已知實數，函數f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），則a的值為________.

分析:用分類討論a≥0和a<0,從而將1-a,1+a與1的大小關系明確.

解析:當a≥0時，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；當a<0時，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函數f（x）=■若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則數k的取值范圍是_______.

分析：數形結合是數學上常用的方法，本題通過作出函數的圖象，易知k∈（0，1）

分段函數作為一種特殊函數，不但滿足函數的一切性質，而且還具有自身固有的特征，近幾年各地高考卷中不斷出現分段函數題，充分體現了分段函數的重要性，通過以上幾種題型的歸類、總結和探究，我們可以掌握分段函數的常規解法，今后對分段函數可以應對自如。

編輯 謝尾合

分段函數對于自變量x的不同的取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。它是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段函數定義域的并集，值域也是各段函數值域的并集。由于課本沒有明確給出分段函數的定義，只以例題的形式出現，不少學生對它的認識膚淺模糊，以致解題常常出錯。本文歸類介紹分段函數的若干種題型及其解法，以供大家參考.

題型一：求函數值

例1.（2012年山東高考卷8）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）2，當-1≤x＜3時，f（x）=x。則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=

（A）335 （B）338 （C）1678 （D）2012

分析：本題為已知分段函數求值問題，此函數有兩段表達

式，利用函數的周期性將自變量化到已知段上來求值.

解析：（-3）=-1，f（-2）=0，f（-1）=-1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，而函數周期為6，f（1）+f（2）+···+f（2012）=335（-1+0-1+0+1+2）+f（1）+f（2）=335+3=338.

答案應選B.

例2.已知函數f（x）=■,若f(a)=8，求a.

分析：本題為已知函數值求自變量，應分段求a值，將符合要求的a值并起來即可，a=±2。

題型二：求函數值域或最值

例3.已知函數■的值域為

分析：分段函數的值域為各段函數值域的并集，分別求出各段的值域即可，值域為［-8，1］

例4.設a＞0，函數f（x）=x2+alnx-1，求函數f（x）在［1，+∞）的最小值.

分析：去絕對值后可化為分段函數，然后分段求最小值，再比較各段的最小值確定函數的最小值。

解析：f（x）=■

（1）當x≥e時，通過求導知f（x）在［e，+∞）上是增函數，所以ymin=f（e）=e2。

（2）當1≤x

①當■≤1，即0

②當1<■

③當■≥e即a≥2e2時，ymin=f（e）=e2。綜上所述：f（x）的最小值為e2

題型三：求函數的解析式

例5.（2013年安徽高考卷14）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=2f（x）.若當0≤x≤1時，f（x）=x（1-x），則當-1≤x≤0時，f（x）=________________。

分析：根據已知段解析式，通過條件變換求出另一段函數解析式。

解析：當-1≤x≤0時，0≤x+1≤1,∴f（x+1）=（x+1）[1-（x+1）]=-x（x+1），又f（x+1）=2f（x），∴f（x）=-■x（x+1）.

例6.（2012年江蘇高考卷10）設f（x）是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1，1］上，f（x）=■其中a，b∈R，若f（■）=f（■），則a+3b的值為

分析：本題求a+3b，事實上可以看作是求函數的解析式。

解析：由f（■）=f（■）和周期為2得f（■）=f（-■）,∴3a+2b+2=0.挖掘隱含條件f(-1)=f（1）可得2a+b=0.∴a=2,b=-4，a+3b=-10

題型四：解不等式

例7.（2011年遼寧高考卷9）設函數f（x）=■，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是

（A）［-1，2］ （B）［0，2］ （C）［1，+∞） （D）［0，+∞）

分析：分段分別解不等式,最后再求各段的并集。

解析：當x≤1時21-x≤2，∴0≤x≤1當x>1時，綜上x≥0,選D

題型五：求單調區間或已知單調性求參數

例8.已知函數f（x）=■,則單調增區間為

分析：本題是分段函數求單調區間問題，一定要注意兩段函數的端點值，本題增區間為（-∞，+∞）；若將第二段改為f（x）=x+1，那么單調增區間為（-∞，1）和（1，+∞）。

例9.已知f（x）=■是（-∞，+∞）上的減函數，則實數的取值范圍是 。

分析：由于函數是R上的減函數，因此每一段函數都必須是減函數，可得a的范圍為（0，■），但是還要考慮兩段的端點值的大小，x=1時（3a-1）x+4a≥loga x，a的范圍為［■，■）.

題型六：求參數

例10.（2011年江蘇高考卷11）已知實數，函數f（x）=■，若f（1-a）=（1+a），則a的值為________.

分析:用分類討論a≥0和a<0,從而將1-a,1+a與1的大小關系明確.

解析:當a≥0時，1-a≤1，1+a≥1，∴a=-■（舍去）；當a<0時，1+a<1，1-a>1 ∴a=-■

例11.（2011年北京高考卷13）已知函數f（x）=■若關于x的方程f（x）=k有兩個不同的實根，則數k的取值范圍是_______.

分析：數形結合是數學上常用的方法，本題通過作出函數的圖象，易知k∈（0，1）

分段函數作為一種特殊函數，不但滿足函數的一切性質，而且還具有自身固有的特征，近幾年各地高考卷中不斷出現分段函數題，充分體現了分段函數的重要性，通過以上幾種題型的歸類、總結和探究，我們可以掌握分段函數的常規解法，今后對分段函數可以應對自如。

編輯 謝尾合