一道雙曲線離心率題的四種求法

陳永利

雙曲線的離心率是綜合性較強的知識點，是雙曲線定義和幾何性質綜合應用最佳結合點，是平面幾何中的相似形性質、勾股定理、余弦定理的綜合應用，是考察學生觀察、比較、分析、綜合能力最佳結合點。現有一道雙曲線離心率題，讓我們一起研究它的求法。

已知過雙曲線■-■=1（a>0，b>0）的左焦點F1（-C，0） 作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，交拋物線y2=4cx于點P，且有 ■=■（■+■），如圖1，求雙曲線的離心率e。

圖1 圖2 圖3

圖4 圖5

分析條件可得：設右焦點F2（C，0），連接OE和PF2，因為F1 P是⊙O的切線和■=■（■+■），則有OE垂直平分F1P。所以OE=a，OF1=c. 由雙曲線可知F1P=2b，又因為O是線段F1F2的中點，所以OE是△F1F2P的中位線，則OE∥F2P. 所以，OE=a，OF1=c，EF1=b ，就有PF1=2b，PF2=2a.

解法1：幾何法，利用相似三角形求離心率e

由圖2可知，作拋物線y2=4cx的準線l∶x=-c，作PM⊥l于M，由拋物線定義可知PM=PF2=2a. ∵ PM∥F1F2，∴∠MPF1=∠PF1F2 ，直角△MPF1∽直角△PF1F2 ，∴■=■，∴ ■=■，∴b2=ac，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

解法2：利用直角三角形的射影定理求離心率e

如圖3，作PN⊥F1F2于N，∵∠F1PF2為直角，PM=PF2=2a，∴由射影定理得：F1P2=F1N·F1F2，∴（2b）2=2c·2a，∴ b2=ac，∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

解法3：代數法求離心率e

如圖4，由拋物線的準線方程l∶x=-c，∵PM⊥l，由拋物線的定義知PM=PF2=2a，∴P點橫坐標為2a-c，P點縱坐標為y=■。在直角△PF1N中，由勾股定理PF12=F1N2+PN2，∴（2b）2=（2a）2+4c（2a-c），整理得b2=a2+2ac-c2， ∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0， ∴e=■。

解法4：利用直角三角形邊角關系和余弦定理求解求離

心率e

如圖5，在直角△PON中，∵ON=2a-c， OP=OF1=c，cos∠PON=■=■，在△POF2中由余弦定理知cos∠POF2=■=■，∴■=■，整理得 ∴c2-a2=ac，∴e2-e-1=0，∴e=■。

由此可以看出，求橢圓和雙曲線的離心率，本質上就是求a、b、c的齊次關系式。這種關系的確定，利用圓錐曲線的定義、準線、三角形的正余弦定理、 平面幾何有關相似三角形性質、直角三角形射影定理，既考察代數性質又考察幾何性質的應用，是典型數形結合的范例。

（遼寧省瓦房店市第八高級中學）