弱數(shù)學(xué)要求的數(shù)字圖像處理教學(xué)

張慶豐

［摘要］數(shù)字圖像處理是一門重要的專業(yè)課程，該課程涉及較多的數(shù)學(xué)知識，如何面向數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不足的學(xué)生教好這門課是一個重要的問題。作者提出適當(dāng)減少教學(xué)中使用的數(shù)學(xué)、使用課堂定制的演示軟件、增強(qiáng)項目開發(fā)環(huán)節(jié)的教學(xué)等措施，來提高數(shù)字圖像處理課程的教學(xué)效果。實(shí)踐表明這些措施確實(shí)有效。

［關(guān)鍵詞］教學(xué)方法數(shù)字圖像處理數(shù)學(xué)基礎(chǔ)項目教學(xué)

［中圖分類號］G642.423［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］A［文章編號］2095-3437（2014）02-0075-03

數(shù)字圖像處理課程是一門重要的計算機(jī)專業(yè)選修課，和數(shù)學(xué)的聯(lián)系非常緊密，要求也比較高，從傳統(tǒng)的教材中就可以看到這一點(diǎn)。但是選修該課程的學(xué)生很多，有相當(dāng)一部分學(xué)生來自于非計算機(jī)專業(yè)。另外作者所在學(xué)校有不少的外招生，他們對這個課程也比較感興趣，愿意選修。從整體看，一班學(xué)生中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不夠好的人數(shù)超過一半。

課程之初的調(diào)查還發(fā)現(xiàn)七成以上的學(xué)生不愿意涉及深入的數(shù)學(xué)公式，同時，多數(shù)學(xué)生愿意在這個課程中學(xué)習(xí)關(guān)于圖像處理的程序開發(fā)技術(shù)。基于這樣的基礎(chǔ)背景和興趣取向，作者在該課程的教學(xué)中除了采用一些常規(guī)教學(xué)方法之外，還注意了以下三個方面的工作：第一，課程中減少數(shù)學(xué)的使用，盡量不用高深的數(shù)學(xué)知識，使用簡單的數(shù)學(xué)來解釋數(shù)字圖像處理中的問題。第二，在教學(xué)中定制開發(fā)了一些演示軟件，增強(qiáng)學(xué)生對算法的理解和感性認(rèn)識。第三，增強(qiáng)項目開發(fā)環(huán)節(jié)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力。

下面詳細(xì)談?wù)勅绾卧谶@三個方面加強(qiáng)教學(xué)引導(dǎo)，促進(jìn)學(xué)生對知識的學(xué)習(xí)。

一、課程中盡量減少復(fù)雜數(shù)學(xué)公式的使用

眾所周知，數(shù)字圖像處理和數(shù)學(xué)關(guān)系密切，需要用到不少高深的數(shù)學(xué)知識。如果將涉及深入數(shù)學(xué)知識的內(nèi)容全部刪減，則大大減少了數(shù)字圖像處理課程的內(nèi)容，降低了課程的專業(yè)價值。如何使用較簡單的數(shù)學(xué)知識來講授課程，同時保持課程的專業(yè)價值，這是一個需要認(rèn)真考慮的問題。

首先，要對講授的知識內(nèi)容進(jìn)行認(rèn)真規(guī)劃，原則是減少數(shù)學(xué)知識的使用，同時也讓同學(xué)領(lǐng)略數(shù)字圖像處理的專業(yè)含義。規(guī)劃后的主要教學(xué)內(nèi)容包括：數(shù)字圖像處理中的一些基本概念、灰度變換、圖像的頻域變換、空域?yàn)V波、頻域?yàn)V波、腐蝕與膨脹、圖像恢復(fù)、圖像編碼、邊緣檢測、色彩表達(dá)等知識點(diǎn)。應(yīng)該說上面的內(nèi)容和一般的數(shù)字圖像處理課程內(nèi)容并無很大的不同。主要的不同在于減少了一些需要較多數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的內(nèi)容，如：KL變換、小波變換、維納濾波的原理、信息熵的原理等內(nèi)容。一般來說，這些內(nèi)容的數(shù)學(xué)推導(dǎo)是困難的，因此，課程進(jìn)行了削減。但是對于傅里葉變換、離散余弦變換、逆濾波、Hough變換、算術(shù)編碼等內(nèi)容，還是保留了下來，這些內(nèi)容雖然數(shù)學(xué)偏難，但是專業(yè)意味濃厚，因此，需要講授。

其次，則是很重要的一點(diǎn)：在教學(xué)中減少高深數(shù)學(xué)知識的使用，用簡單直觀的方法來說明數(shù)學(xué)算式的原因和含義。下面以傅里葉變換和邊緣檢測為例子來說明如何減少數(shù)學(xué)知識的使用。

（一）利用少量的數(shù)學(xué)來解釋傅里葉變換

在數(shù)字圖像處理中，傅里葉變換是數(shù)學(xué)公式較多，學(xué)起來最難的內(nèi)容之一。考慮到傅里葉變換的重要性，課程必須講解。針對此內(nèi)容，作者按照下面的教學(xué)順序來進(jìn)行。

1.簡單的傅里葉變換的背景知識介紹，以引起學(xué)生的興趣。傅里葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家（1768-1830）,他對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表了一篇論文，應(yīng)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當(dāng)時有爭議的說法：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時論文審查者中有兩位著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日（1736-1813）和拉普拉斯（1749-1827），當(dāng)拉普拉斯和其他審查者投票通過，并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，他認(rèn)為傅里葉的方法無法表示帶有棱角的信號。法國科學(xué)學(xué)會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅里葉的工作。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。

2.寫出一維傅里葉級數(shù)。即明確告訴學(xué)生，任何周期函數(shù)可以被一系列三角函數(shù)表達(dá)出來，給出相關(guān)公式，并給出一個簡單的例子。

3.這個思想被直接擴(kuò)展到兩維。也就是說，一個圖像可以被認(rèn)為是一個二維函數(shù)，它應(yīng)該可以用一系列褶皺函數(shù)來表達(dá)出來，例如類似圖1的一系列褶皺函數(shù)。

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圖1一個二維褶皺函數(shù)的例子

4.每個褶皺函數(shù)可以用三個參數(shù)來定義：每個褶皺水平方向的距離、垂直方向的距離以及褶皺的高度。

5.如果規(guī)定每個皺褶之間的水平距離和垂直距離是1/i和1/j。也就是說褶皺隨著i和j的變化而變化，i、j越大，褶皺越窄。這樣褶皺的類型和數(shù)目都是固定的，只要給出這些褶皺的高度，就完全固定了這些褶皺。

6.所有這些褶皺疊加在一起可以逼近一個真實(shí)的圖像的灰度，當(dāng)然疊加褶皺的參數(shù)應(yīng)適當(dāng)?shù)亟o出。

通過這種類比，我們直接給出圖像的傅里葉變換表達(dá)，以及逆變換的表達(dá)式。

上面的講解，沒有從數(shù)學(xué)的角度嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明或者說明傅里葉變換，但是形象地給出了傅里葉變換的一種解釋。這種解釋學(xué)生容易接受、理解，同時沒有大的偏差。避開了繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和證明。

當(dāng)然對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的同學(xué)，我們也給出了詳盡的資料，讓同學(xué)們課下研讀。

（二）邊緣檢測中用直觀替代數(shù)學(xué)，逐步引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)新思考

在邊緣檢測中少不了要用到一階偏微分、二階偏微分這樣的表達(dá)，并以此來講授像素點(diǎn)和邊緣關(guān)系的判斷，有些學(xué)生覺得不直觀。在講課中，作者直接用直觀的例子來講述如何判斷邊緣的像素點(diǎn)，避開了數(shù)學(xué)表達(dá)。

圖2介紹邊緣檢測方法的例子。（a）表達(dá)了某一行圖像在x方向的灰度變化情況，（b）反映了像素灰度在該方向的一階差分值，（c）表達(dá)了像素灰度在該方向的二階差分值。

為了介紹邊緣檢測的方法是怎么樣的，作者使用了如圖2所示的例子。如圖2（a）所示，某一行圖像在x方向的一些像素點(diǎn)，它們的灰度分別是30、30、30、30、30、30、120、210、210、210、210。作者利用這張圖首先給學(xué)生介紹了差分的概念，其計算非常簡單，就是像素灰度之間的差值。

這樣對每個像素點(diǎn)在x方向做一階差分，就可以得到0、0、0、0、0、90、90、0、0、0、0，即如圖2（b）所示。然后在此基礎(chǔ)之上，再做一階差分，可以得到各個像素的二階差分值為：0、0、0、0、90、0、90、0、0、0，即如圖2（c）所示。

從圖2（b）中可以看邊緣處的像素在一階差分處取極值。在非邊緣處趨向于0。因此，可以直觀得到一個簡單的結(jié)論：一階差分為極值的像素點(diǎn)就是邊緣的點(diǎn)，或者接近邊緣的點(diǎn)。

從圖2（c）中也可以看出圈起來的圓點(diǎn)對應(yīng)的就是邊緣像素。因此，直觀得到結(jié)果，二階差分的零點(diǎn)就是圖像的邊緣，同時兩邊的像素的差分符號有改變。

利用上面的圖2（b）和圖2（c）很容易理解如何通過一階差分或者二階差分來判斷邊界像素。

實(shí)際計算中可能是兩方面的差分都要進(jìn)行計算，這種計算一般使用線性濾波器來實(shí)現(xiàn)，由此可以給學(xué)生引出梯度算子的濾波模板。

事實(shí)上，在這里還可以讓學(xué)生注意觀察圖2（b），引導(dǎo)學(xué)生得出一階差分能起到增強(qiáng)邊緣顯示的效應(yīng)，而其它區(qū)域的圖像像素的一階差分趨向于0，這些像素被弱化。

基于這個結(jié)論，可以讓學(xué)生進(jìn)一步討論，能否利用這種特點(diǎn)對圖像進(jìn)行灰度增強(qiáng)處理？該如何做才合適？

學(xué)生比較容易想到將邊緣增強(qiáng)的效果疊加到原圖上就有可能在原圖效果的基礎(chǔ)上突出邊緣顯示。經(jīng)過討論和完善，可以得到下面的圖像增強(qiáng)方法。如果原圖是F，邊緣圖是E，那么增強(qiáng)的圖則為：F+E/k。其中k是標(biāo)量系數(shù)，適當(dāng)選取則可以增強(qiáng)圖像效果。

通過上面的例子，一方面直觀介紹邊緣像素的檢測方法，還啟發(fā)了學(xué)生進(jìn)一步思考圖像增強(qiáng)的方法。

二、借助定制軟件增強(qiáng)學(xué)生理論的掌握

在數(shù)字圖像處理的教學(xué)中，通過定制的教學(xué)軟件能夠增強(qiáng)學(xué)生對理論的把握和處理效果的理解。這一點(diǎn)為不少教師認(rèn)同。本課程教學(xué)中作者也開發(fā)了一些定制軟件來動態(tài)地展示圖像處理的效果。

以頻域?yàn)V波為例，課堂上使用了如圖3所示的一個演示軟件。這個軟件演示幾種主要的低通濾波、高通濾波和帶通濾波的圖像處理效果。這種演示軟件相比于靜態(tài)圖像展示更有利于學(xué)生的直觀體驗(yàn)和動態(tài)對比處理效果。

比如：在講巴特沃斯帶通濾波的時候，學(xué)生可以任意選擇要處理的圖像，然后拖動圖3中的滑動條來動態(tài)調(diào)整帶通濾波的上下截止頻率以及巴特沃斯濾波的階數(shù)，處理后的圖像也同時跟隨變化，動態(tài)顯示出來。這樣學(xué)生對參數(shù)如何影響處理結(jié)果就有了動態(tài)的對比和感受。這一點(diǎn)是靜止圖像的展示所無法達(dá)到的，這也是定制軟件演示所具有的優(yōu)勢。另外需要說明的是，因?yàn)槎ㄖ栖浖抢肕atlab開發(fā)的，所以其過程并不很復(fù)雜，相對容易。

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圖3 頻域?yàn)V波算法的演示軟件

該軟件提供了各種常用頻域?yàn)V波的效果演示，同時對各算法的參數(shù)可以進(jìn)行動態(tài)調(diào)整，及時顯示調(diào)整的效果。給學(xué)生帶來動態(tài)對比的效果體驗(yàn)。

三、增加項目開發(fā)的教學(xué)環(huán)節(jié)

數(shù)字圖像處理課程是一個實(shí)踐性很強(qiáng)的課程，不少教師對項目開發(fā)在教學(xué)中的使用進(jìn)行了有益的探索。本課程中也引入了項目開發(fā)的教學(xué)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在Matlab環(huán)境中對給定的項目進(jìn)行了開發(fā)。在整個項目開發(fā)的實(shí)施中，除了常見的措施外，我們還注意了以下兩點(diǎn)：

（一）項目題目的精選和設(shè)計

首先，項目的設(shè)計要有綜合性，能覆蓋大多數(shù)的教學(xué)內(nèi)容；其次，項目不能太多，否則學(xué)生時間不足。因此，在整個學(xué)期中只設(shè)計了了兩個項目讓學(xué)生來完成。一個是車牌識別系統(tǒng)的開發(fā)，一個是圖像壓縮系統(tǒng)的開發(fā)。之所以使用這兩個項目由同學(xué)來練習(xí)，是因?yàn)檫@兩個項目基本覆蓋了圖像處理課程中的所有技術(shù)，同時它們的規(guī)模適中，學(xué)生可以不用太多的時間完成。

（二）加強(qiáng)項目開發(fā)中的檢查和督促

傳統(tǒng)的小組項目開發(fā)模式有許多優(yōu)點(diǎn)，但是也存在一個問題：部分同學(xué)不積極參與，工作由小組內(nèi)他人代勞。為了調(diào)動同學(xué)積極性，對每個項目進(jìn)行一次課堂上的書面考查，這種考查非常簡短，只要20分鐘。考查內(nèi)容主要包括項目計劃、進(jìn)展情況、相關(guān)技術(shù)、完成情況、個人所發(fā)揮的作用等。這種考查可以督促每個同學(xué)在項目中發(fā)揮作用。

以上兩個方面的細(xì)致處理，增強(qiáng)了項目開發(fā)教學(xué)環(huán)節(jié)的效能，促進(jìn)了學(xué)生動手能力的培養(yǎng)，收到了良好的效果。

四、總結(jié)

數(shù)字圖像處理是一門數(shù)學(xué)要求較高，實(shí)踐要求較強(qiáng)的課程，面對弱數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生，數(shù)學(xué)上需要降低難度，編程上需要著重鍛煉。作者在教學(xué)中采用了用直觀替代數(shù)學(xué)，用動態(tài)演示增強(qiáng)直觀體驗(yàn)，用項目開發(fā)引領(lǐng)學(xué)生編程實(shí)踐的培養(yǎng)等措施，這些方法和措施的使用確實(shí)為弱基礎(chǔ)的同學(xué)帶來較好的教學(xué)效果。我們采用這些措施已有四年的歷史，教學(xué)實(shí)踐表明，這種措施是合理有效的，增強(qiáng)了同學(xué)們的興趣和信心，提高了同學(xué)的圖像處理編程能力，同時較好地掌握了圖像處理知識。

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［責(zé)任編輯：左蕓］