蘭勃特投影在高速鐵路測量中的應用

王 璇 姚連璧

(同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092)

蘭勃特投影在高速鐵路測量中的應用

王 璇 姚連璧

(同濟大學測繪與地理信息學院，上海 200092)

介紹蘭勃特投影的定義、變形特點以及在高速鐵路測量中的處理方法，以國內某段高鐵GPS控制網為例，將國內高速鐵路測量中常用的具有高程抵償面的高斯投影法和蘭勃特投影方法進行比較與分析，得出了有益的結論：在東西走向的線路工程中，特別是投影變形要求高的高速鐵路測量中，采用蘭勃特投影會取得更好的效果。

高速鐵路 GPS控制網 投影變形 蘭勃特投影

1 概述

目前，我國正在大規(guī)模建設高速鐵路，其高速性和平順性對于測量提出了更高的要求，對于時速在250～350 km的高速鐵路，邊長投影變形規(guī)定小于10 mm/km[1]。為滿足投影邊長規(guī)定，必須建立工程獨立坐標系以限制投影變形，目前主要采用任意中央子午線、任意高程面的高斯投影處理方法[2]，該方法和國家平面坐標系的投影方式一致，方便坐標轉換。高斯投影的變形特點是距中央子午線越遠變形越大，所以高斯投影適合南北走向的線路工程，對于東西走向的線路工程，則需劃分成多個投影帶才能滿足投影變形要求。過多的分帶導致坐標換帶計算工作繁重，加大了工作量。文獻[3]和文獻[4]中提出采用斜軸墨卡托投影建立工程獨立坐標系，可以大大減少沿高斯投影的長度變形。考慮到蘭勃特投影變形與經度無關、沿經度方向變形小的特點，文獻[5]提出了在一般的鐵路工程獨立坐標系中采用蘭勃特投影，既能滿足投影長度變形要求，又能減少分帶，但是只對普通的鐵路工程進行分析，沒有考慮到投影變形要求更高的高速鐵路，也沒有考慮蘭勃特投影對高程歸化變形的抵償效果。本文主要對蘭勃特投影在高速鐵路測量中的應用進行分析，比較了高斯投影和蘭勃特投影兩種處理方法的投影結果，指出了蘭勃特投影在抵償高程歸化變形方面的不足，認為在東西走向的高速鐵路工程中，采用蘭勃特投影比較有利。

2 蘭勃特投影

2.1 蘭勃特投影的概念

蘭勃特投影是由德國數(shù)學家蘭勃特擬定的，故稱為蘭勃特投影。蘭勃特投影[6]是一種無角度變形的正形正軸圓錐投影，將正圓錐套在地球橢球上，使圓錐面相切或相割于橢球面，根據(jù)正形投影的投影條件，將橢球投影到圓錐面上，緯線沿著母線展開成為同心圓，經線沿著母線展開成為指向兩極的輻射直線。根據(jù)圓錐面與橢球面相切或相割的關系，分為蘭勃特切圓錐投影和蘭勃特割圓錐投影。

2.2 蘭勃特投影變形公式

切圓錐投影

(1)

式中：

β=sinB0

ρ=ρ0eβ(q0-q)

ρ0=N0cotB0

m切——切圓錐投影長度比；

β——由蘭勃特投影條件決定的常系數(shù)；

q——待求邊的等量緯度；

N——待求邊對應的卯酉圈的曲率半徑；

ρ——待求邊所在緯線的極距；

ρ0——標準緯線的極距。

由以上公式看出，蘭勃特投影長度變形與經度無關，只與緯度有關，離標準緯線越遠的點，投影變形越大。因此，蘭勃特投影對于東西走向、南北跨越非常窄的鐵路工程非常適合，能夠有效的控制投影變形，減少分帶，克服高斯投影分帶多、計算量大的缺點。

3 算例分析

以國內某段高速鐵路GPS控制網為例，探討蘭勃特投影在高速鐵路測量中的應用。該段線路全長184.65 km，線路東西經差為2°13′，南北跨越緯度約為18′9″，平均海拔63 m，最大高差為88 m，鐵路設計時速為300 km，投影變形限差為10 mm/km。

如圖1所示，該段線路呈東西走向，東西方向跨越里程長，南北跨越緯度差很小，且平均海拔不高，高程起伏不大，高程歸化引起的變形對于綜合投影變形影響不明顯[7]，主要考慮投影方式引起的變形。

圖1 線路示意

若采用任意中央子午線任意高程面的高斯投影法，為滿足投影長度限差，則至少需要劃分3個投影帶。基于抵償高程面的任意帶高斯投影法劃分投影帶需要選擇合適的中央子午線和抵償高程面，根據(jù)投影變形長度限差10 mm/km的要求，高斯投影分帶橫坐標寬度不能超過57 km，最大高差不能超過127 m[8]。同時，考慮到高程歸化變形可以抵償部分投影變形的影響，大致可以將線路劃分成3帶，取平均高程面為高程抵償面，取平均經度為中央子午線[9]，對于某些高程起伏大的地段，可以適合移動中央子午線，對于高程起伏小、投影帶比較寬的投影帶，可以適當調整投影高程面，使綜合投影變形值滿足要求。具體投影帶設計參數(shù)如表1。

表1 高斯分帶投影變形分析

整條線路的投影邊長變形情況統(tǒng)計如圖2。

圖2 高斯分帶投影變形統(tǒng)計

從圖2可以看出，投影被分成3帶，投影帶邊緣的變形值基本接近限差，所以采用任意中央子午線任意高程面的高斯投影法勉強可以達到10 mm/km的投影限差要求，但是存在著投影帶數(shù)量多、投影帶較窄以及投影帶邊緣變形非常大的問題。

下面采用蘭勃特投影進行分析，該線路東西跨越180多公里，南北跨越非常小，緯差為18′9″，若采用蘭勃特割圓錐投影，則兩條標準線的設計會過于密集，大部分點集中在標準緯線附近，難以體現(xiàn)蘭勃特投影投影變形的優(yōu)勢，可采用蘭勃特切圓錐投影設計獨立坐標系。

首先選取合適的投影參數(shù)：為使投影變形最小，一般選用平均緯度為標準緯線，平均經度為原點子午線經度，選取平均高程面為抵償高程面，同時適當調整抵償高程面使投影變形最小。為保證蘭勃特投影平面直角坐標都為正值，設計合適的東偏移距和北偏移距[10]，具體設計參數(shù)如表2。

表2 蘭勃特投影工程獨立坐標系參數(shù)

投影結果如表3。

表3 蘭勃特切圓錐投影工程獨立坐標系設計

采用蘭勃特切圓錐投影設計獨立坐標系，全線只需設計一個投影帶，無需分帶，大大減少了計算量，避免了復雜的換帶計算，最大變形值僅為3.4 mm/km，僅為高斯投影變形的三分之一左右，說明蘭勃特投影變形效果明顯優(yōu)于高斯投影，綜合高程歸化變形的影響，整條線路的投影邊長變形情況統(tǒng)計如圖3。

圖3 蘭勃特投影綜合變形統(tǒng)計

虛線區(qū)域內表示蘭勃特投影變形的分布區(qū)間0～3.4 mm/km，綜合高程歸化變形以后，變形區(qū)間擴張了很多，蘭勃特投影變形從0～3.4 mm/km變化到-7-7 mm/km，表明蘭勃特投影對于高程歸化變形影響的抵償作用很弱，在高程起伏很小，高程歸化影響不大的情況下，能夠得到很好的變形效果，對于高程起伏在幾百米之間的線路工程，投影變形值主要受到高程歸化變形的影響，需要另作處理。

4 結論

蘭勃特投影以標準緯線為中心向南北兩側展開，投影變形主要與緯差有關，離標準緯線越遠，變形越大，東西走向、南北跨越小的線路工程剛好滿足蘭勃特投影變形特點，所以能夠取得很好的投影效果。與此相反，高斯投影是以中央子午線為中心展開的，投影變形與經差有關，南北走向、東西跨越很小的線路工程剛好滿足高斯投影變形的特點。綜上所述，對于投影變形要求很高的線路工程，特別是高速鐵路測量，可以根據(jù)線路的走向、分布特點選擇合適的投影方式，而不必拘泥于單一的投影方式。

[1] 中鐵二院.TB10601—2009高速鐵路工程測量規(guī)范[S].北京：中國鐵道出版社，2009

[2] 王國祥.基于工程橢球的地方坐標系換算模型比較分析[J].鐵道勘察，2014(3):1-4

[3] 王解先，伍吉倉，高小兵.斜軸墨卡托投影及其在高鐵建設工程中的應用[J].工程勘察，2011(8):69-72

[4] 劉靈杰，原玉磊，衛(wèi)建東.斜墨卡托投影在高速鐵路測量中的應用分析[J].測繪通報,2009(2):43-46

[5] 麥春.蘭勃特投影在鐵路工程獨立坐標系設計中的應用[J].高速鐵路技術，2011 2(2):22-24

[6] 孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2010

[7] 曾學宏，楊燕.抵償高程面任意帶高斯投影坐標系統(tǒng)的變形分析與應用[J].測繪與空間地理信息，2014，37(2):198-200

[8] 朱開文，王占龍.工程獨立坐標系的建立與國家坐標的轉換[J].2010(5):57-60

[9] 楊元興.抵償高程面的選擇與計算[J].城市勘測，2010(2):72-74

[10]周建東，譙生有.摩洛哥水工隧道工程獨立坐標系的建立于應用[J].測繪技術裝備，2013(2):36-38

ApplicationofLambertProjectioninsurveyonHighSpeedRailway

WANG Xuan YAO Lian-bi

2014-10-24

王 璇(1992—)，男，碩士研究生。

1672-7479(2014)06-0017-03

U212.24; TB22

： B