勾股定理的實際應用

劉頓

一、確定小鳥飛行距離

例1 （2013年貴州省安順市中考題）如圖1，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米。一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根據“兩點之間線段最短”可知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所飛行的路程最短，運用勾股定理可求出兩點之間的距離。

解 如圖1，設大樹高為AB＝10 m，小樹高為CD＝4 m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是長方形，連接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案應選B。

點評 本題考查勾股定理的運用，善于觀察題目的信息是解題的關鍵。

二、確定車子是否超速

例2 （2013年遼寧省本溪市中考題）校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載。某中學九年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖2，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上確定點D，使得∠BDC＝75°，測得AD＝40米，已知本路段對校車限速是50千米/小時，若測得某校車從點B到點C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由。（參考數據：■＝1.41，■＝1.73）

分析 過點D作DE⊥AB于點E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，繼而得出CD，計算出AC的長度后，在Rt△ABC中求出BC，從而可判斷校車是否超速。

解 過點D作DE⊥AB于點E，因為∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因為∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因為∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因為AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因為∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以這輛車在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小時＜50千米/小時，所以該車沒有超速。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，求出BC的長度，需要運用兩次勾股定理。

三、求樓的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考題）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高。小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖3所示，其中矩形CDEF表示樓體，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四點在同一直線上，問：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由。（參考數據：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20層樓的高度，然后和上一問求出的x的值進行比較即可判斷誰的觀點正確。

解（1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，因為∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以樓高70×(■－1)米。

（2）因為x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小華的觀點，這樓不到20層。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距離

例4 （2013年內蒙古包頭市中考題）如圖4，一根長6■米的木棒AB，斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，與地面的傾斜角∠ABO為60°。當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′。

（1）求OB的長；

（2）當AA′＝1米時，求BB′的長。

分析 （1）由已知數據求解即可。（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長。

解（1）在Rt△AOB中，根據題意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的長為3■米。

（2）根據題意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因為OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

點評 本題以生活中的梯子為背景，考查了勾股定理的實際應用。

一、確定小鳥飛行距離

例1 （2013年貴州省安順市中考題）如圖1，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米。一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根據“兩點之間線段最短”可知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所飛行的路程最短，運用勾股定理可求出兩點之間的距離。

解 如圖1，設大樹高為AB＝10 m，小樹高為CD＝4 m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是長方形，連接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案應選B。

點評 本題考查勾股定理的運用，善于觀察題目的信息是解題的關鍵。

二、確定車子是否超速

例2 （2013年遼寧省本溪市中考題）校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載。某中學九年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖2，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上確定點D，使得∠BDC＝75°，測得AD＝40米，已知本路段對校車限速是50千米/小時，若測得某校車從點B到點C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由。（參考數據：■＝1.41，■＝1.73）

分析 過點D作DE⊥AB于點E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，繼而得出CD，計算出AC的長度后，在Rt△ABC中求出BC，從而可判斷校車是否超速。

解 過點D作DE⊥AB于點E，因為∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因為∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因為∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因為AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因為∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以這輛車在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小時＜50千米/小時，所以該車沒有超速。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，求出BC的長度，需要運用兩次勾股定理。

三、求樓的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考題）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高。小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖3所示，其中矩形CDEF表示樓體，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四點在同一直線上，問：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由。（參考數據：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20層樓的高度，然后和上一問求出的x的值進行比較即可判斷誰的觀點正確。

解（1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，因為∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以樓高70×(■－1)米。

（2）因為x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小華的觀點，這樓不到20層。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距離

例4 （2013年內蒙古包頭市中考題）如圖4，一根長6■米的木棒AB，斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，與地面的傾斜角∠ABO為60°。當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′。

（1）求OB的長；

（2）當AA′＝1米時，求BB′的長。

分析 （1）由已知數據求解即可。（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長。

解（1）在Rt△AOB中，根據題意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的長為3■米。

（2）根據題意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因為OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

點評 本題以生活中的梯子為背景，考查了勾股定理的實際應用。

一、確定小鳥飛行距離

例1 （2013年貴州省安順市中考題）如圖1，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米。一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根據“兩點之間線段最短”可知，小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所飛行的路程最短，運用勾股定理可求出兩點之間的距離。

解 如圖1，設大樹高為AB＝10 m，小樹高為CD＝4 m，過C點作CE⊥AB于E，則四邊形EBDC是長方形，連接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案應選B。

點評 本題考查勾股定理的運用，善于觀察題目的信息是解題的關鍵。

二、確定車子是否超速

例2 （2013年遼寧省本溪市中考題）校車安全是近幾年社會關注的熱點問題，安全隱患主要是超速和超載。某中學九年級數學活動小組進行了測試汽車速度的實驗，如圖2，先在筆直的公路l旁選取一點A，在公路l上確定點B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上確定點D，使得∠BDC＝75°，測得AD＝40米，已知本路段對校車限速是50千米/小時，若測得某校車從點B到點C勻速行駛用時10秒，問這輛車在本路段是否超速？請說明理由。（參考數據：■＝1.41，■＝1.73）

分析 過點D作DE⊥AB于點E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，繼而得出CD，計算出AC的長度后，在Rt△ABC中求出BC，從而可判斷校車是否超速。

解 過點D作DE⊥AB于點E，因為∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因為∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因為∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因為AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因為∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以這輛車在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小時＜50千米/小時，所以該車沒有超速。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，求出BC的長度，需要運用兩次勾股定理。

三、求樓的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考題）小明、小華在一棟電梯樓前感慨樓房真高。小明說：“這樓起碼20層！”小華卻不以為然：“20層？我看沒有，數數就知道了！”小明說：“有本事，你不用數也能明白！”小華想了想說：“沒問題！讓我們來量一量吧！”小明、小華在樓體兩側各選A、B兩點，測量數據如圖3所示，其中矩形CDEF表示樓體，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四點在同一直線上，問：

（1）樓高多少米？

（2）若每層樓按3米計算，你支持小明還是小華的觀點呢？請說明理由。（參考數據：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分別用x表示AC、BD的值，然后根據AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20層樓的高度，然后和上一問求出的x的值進行比較即可判斷誰的觀點正確。

解（1）設樓高為x，則CF＝DE＝x，因為∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以樓高70×(■－1)米。

（2）因為x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小華的觀點，這樓不到20層。

點評 本題考查了勾股定理的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距離

例4 （2013年內蒙古包頭市中考題）如圖4，一根長6■米的木棒AB，斜靠在與地面OM垂直的墻ON上，與地面的傾斜角∠ABO為60°。當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′。

（1）求OB的長；

（2）當AA′＝1米時，求BB′的長。

分析 （1）由已知數據求解即可。（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據勾股定理求出OB′的長。

解（1）在Rt△AOB中，根據題意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的長為3■米。

（2）根據題意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因為OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

點評 本題以生活中的梯子為背景，考查了勾股定理的實際應用。