隨機數組統計偏差對Weibull分布參數估計的影響

王桂金

(原鋼鐵研究總院，北京 100081)

1 均布于(0，1)隨機數的統計量

理想均勻分布于(0，1)的隨機數組具有如下統計量[1]：

均值(MEAN)μ0=0.5；

標準差(STDEV)σ0=0.288 68;

斜度 (SKEW)γ10=0.0;

過剩峭度(KURT)γ20=-1.2。

然而，在(0，1)準均勻分布的1組隨機數組的統計量很難嚴格符合上述要求，存在如下偏差：

均值偏差δ(μ)=μ1-μ0;

標準差偏差δ(σ)=σ1-σ0;

斜度偏差δ(γ1)=γ11-γ10；

過剩峭度偏差δ(γ2)=γ21-γ20,

其中，下角標1為準隨機數組的統計量。根據文獻[2],隨機數α對應的Weibull隨機壽命L為

L=λ0{ln(α)}1/κ0，

(1)

下文中模擬形狀參數κ0和尺寸參數λ0均設為1。

2 參數κ和λ的計算

按(1)式產生的隨機壽命組L，可用極大似然法(MLE)通過下式迭代計算獲得該數組的實際Weibull分布形狀參數κ和尺寸參數λ。

(2)

(3)

式中：N為樣本數。為保證結果的可靠性，計算進行到(2)式左側絕對值小于10-5后停止。從文獻[3]中取得28組(0，1)準均勻隨機數組，每組100個數據，各隨機數組的統計量及其隨機壽命的實際極大似然法Weibull參數κ和λ見表1。

表1 28組(0,1) 準均勻隨機數組的統計量及其參數κ和λ

3 κ和λ的最小二乘法擬合

令隨機壽命數組的實際形狀參數κ和尺寸參數λ偏離期望值為

δ(κ)=κ-κ0;

δ(λ)=λ-λ0。

(4)

假定擬合的δ(κ1)和δ(λ1)分別為準隨機數組4個統計量偏差的線性函數,則

δ(m1)=a0+a1δ(μ)+a2δ(σ)+a3δ(γ1)+a4δ(γ2);m1=κ1,λ1，

(5)

于是應用最小二乘法得

min{∑i[δ(m1)i-δ(m)i]2};i=1～28,m=κ,λ,

(6)

式中：δ(m)為隨機壽命實際Weibull參數偏離值，可分別得到δ(m1)的最佳系數a0,a1,a2,a3和a4。實際上，δ(μ),δ(σ),δ(γ1)和δ(γ2)分別與隨機參數分布的1～4次矩有關。

3.1 形狀參數κ的最小二乘法(LSD)擬合

經過運算，這28組隨機壽命擬合δ(κ1)的結果為

δ(κ1)=0.012 8-0.345δ(μ)-6.95δ(σ)+0.276δ(γ1)-0.287δ(γ2),

(7)

min{∑i[δ(κ1)i-δ(κ)i]2}=0.017 329,i=1～28。

最大和最小的絕對偏差為

max|δ(κ1)i-δ(κ)|=0.077 964，

min|δ(κ1)i-δ(κ)|=0.001 320。

最小二乘法擬合的形狀參數κ1和隨機壽命數組實際參數κ相差的絕對值平均只有0.004 7，而單個數據相差的絕對值不超過0.08。κ相對期望值1的最大偏離是+0.250 39和-0.125 95(表1)。因此用準隨機數組的4個統計量偏差可以恰當描述κ圍繞期望值的分布規律。把κ的偏差δ(κ)由小到大排列，再把擬合曲線的結果，即最小二乘法擬合形狀參數偏離值δ(κ1)畫在圖1中，可以看出擬合結果令人滿意。

圖1 28組δ(κ)與δ(κ1)值的比較

3.2 尺寸參數λ的最小二乘法擬合

經過運算，這28組隨機壽命擬合δ(λ1)的結果為

δ(λ1)=-0.002 4-3.485δ(μ)+

2.23δ(σ)-0.033δ(γ1)+0.165 5δ(γ2),

(8)

min{∑i[δ(λ1)i-δ(λ)i]2}=0.005 108,i=1～28。

最大和最小的絕對偏差為

max|δ(λ1)i-δ(λ)|=0.035 44,

min|δ(λ1)i-δ(λ)|=2.78×10-5。

最小二乘法得到的尺寸參數λ1和隨機數組實際參數λ平均僅相差0.002 6，而單個數據和隨機壽命的實際值相差不超過0.036。λ偏離期望值1的范圍是0.276 640～-0.273 886，因此，用準隨機數組的4個統計量偏差同樣可以恰當描述λ圍繞期望值的分布規律。把λ的偏差δ(λ)由小到大排列，再把擬合曲線的結果δ(λ1)畫在圖2中，可以看出擬合結果更令人滿意。

圖2 28組δ(λ)與δ(λ1)的比較

4 由試驗數據產生的(0，1)隨機數組

(1)式的另一個重要應用是可以從疲勞壽命試驗數據產生與之相關的(0，1)準隨機數組。為此對文獻 [4] 中提到的 1208K+H208，6104, 7208和6307軸承[5-7]進行了計算。作為例子，圖3給出H208軸承37個疲勞數據對應的準隨機數分布，其曲線接近于1條直線, 即接近于均勻分布(0，1)。為便于比較，表3同時列出這4種軸承隨機數分布統計量偏差，并代入(6)和(7) 式估計Weibull參數κ和λ的修正量。結果表明，修正后的額定壽命L10均降低，可以接受。

表3 4種軸承額定疲勞壽命L10的修正

圖3 1208K+H208軸承疲勞壽命對應的(0， 1)準隨機數序列

5 結論

(1)當Weibull分布形狀參數κ和尺寸參數λ已知，用最大似然法重新計算28組隨機數組(每組100個數據)的κ和λ，所得平均值很接近設定值，同時與文獻[8-9]的結果相吻合。

(2)各隨機壽命數組的Weibull參數κ和λ實際值相對設定值的偏差取決于隨機數組統計量(均值、標準差、斜度和過剩峭度)偏離期望值的程度，并且可以合理表達為這4個統計量偏差δ(μ),δ(σ),δ(γ1)和δ(γ2)的四元一次線性方程。這4個系數可由最小二乘法迭代計算求得。

(3) 從疲勞試驗壽命數據組可以計算出其相應(0，1)準均勻分布的隨機數組，該數組的統計量可以反映出壽命數據的隨機特性，并可以對最大似然法計算出的Weibull分布參數κ和λ進行修正。