高維四輪轉向汽車側向動力學系統的穩定性分析

劉春輝，方 沂，杜 峰

（天津職業技術師范大學汽車與交通學院，天津 300222）

目前，汽車主動安全的研究越來越重要，四輪轉向在這種背景下引起了廣泛的關注[1-2]。但是，大量研究成果以兩自由度線性車輛模型為基礎，對于四輪轉向汽車轉向穩定性的非線性研究還尚不完善。四輪轉向汽車模型的非線性主要是指輪胎的非線性。當前，經驗—半經驗輪胎模1型（魔術公式、Duggof模型等）被廣泛應用[3-5]，它們很好地擬合了輪胎的各種非線性力，但利用它們進行解析分析的還很少。利用解析方法對四輪轉向失穩的研究還很不夠[6]。

本文以二次多項式平方輪胎模型作為建立四輪轉向高維非線性動力學模型的基礎，應用中心流形定理進行降維，將高維四輪轉向動力系統轉化為一維系統，研究四輪轉向汽車發生分岔的條件及類型，并進行時域仿真。

1 四輪轉向汽車動力學模型

四輪轉向汽車動力學模型如圖1所示。

圖1 四輪轉向汽車動力學模型圖

動力學模型的微分方程表示為[7]：

式中：m為車輛質量；ms為懸掛質量；β為質心側偏角；v為速度；r為橫擺角速度；φ為質心側偏角；Izz為汽車關于橫擺軸的轉動慣量；Fy(f，l)、Fy(f，r)、Fy(r，l)、Fy(r，r)為前左、前右、后左、后右輪的地面側向反作用力；Ixx為汽車關于側傾軸的轉動慣量；Kφ為側傾剛度；Cφ為側傾阻尼；h為懸掛質量質心到側傾軸的距離；M為附加橫擺力矩；lf為質心到前軸的距離；lr為質心到后軸的距離。

二次多項式平方輪胎模型[7]表示為：

其中，

式中：Fi為轉向力；Fzi為正壓力；Ci為側偏剛度；Cj1、Cj2為經驗系數；αi為側偏角；μi為附著系數。

令一根車軸上左右輪胎的側偏角相同，即αfl=αfr=αf，αrl= αrr= αr，前后軸的側偏角 αf、αr可近似表示為：

汽車轉向時側傾力矩在前后軸上的分布表示為：

考慮側向載荷轉移的輪胎垂直載荷的變化可表示為：

假設左右輪胎的附著系數不同并分別用μl和μr表示。令和 θ =，（1）、（2）、（3）可寫為：

具體表示為：

式中：a11、a12、…、a19，a21、a22，a23、a24、…、a27，a41、a42、…、a49的具體形式均可計算求得。

2 非線性穩定性臨界狀態分析

若平衡點滿足det（L）=0，則平衡點為奇異點，奇異點處系統發生分岔[8]。

四輪轉向汽車的前輪轉向角δf和車速v是影響轉向穩定性的主要參數。代入四輪轉向汽車結構參數求解式（17），可得到不同比例系數、不同車速對應的臨界前輪轉角，如圖2和圖3所示。

計算中選取的后輪轉角表示為：

圖2 bl—δf臨界參數平面

圖3 v—δf臨界參數平面

3 中心流形降維

以前輪轉向角δf為可變參數，求解式（17）可得某一車速下的奇異點，將式（14）在奇異點處泰勒展開，得到

式中：A為坐標轉以后系統在奇異點（0，0）處的Jacobian矩陣；F（，δf）為非線性項。做線性變換X=TY，式（18）可化為：

將δf視為變量，式（19）變為：

該系統的中心流形在奇異點處與（y1，δf）相切，設

且滿足

求得ki1、ki2、ki3后，利用公式（18），即得到中心流形上流的方程（即約化方程）。約化方程解的定性性態與原方程的定性性態是一致的。

4 分岔類型判斷

計算 A 的特征值為：λ1，2=-6.545 6 ± 11.719 4i，λ3=-0.392 9，λ4=0。可以看出存在一個零特征值，系統存在一維中心流形。按照第3部分所述，得到中心流形上流的方程：

容易判斷系統（21）在奇異點處發生鞍結分岔，奇異點即鞍結點。

約化系統的分岔圖如圖4所示。分岔后產生了兩支曲線，上半支穩定，下半支不穩定。當初始狀態在上半支上方及上下半支之間時，系統穩定。當初始狀態在下半支上方及下半支下方時，系統不穩定。

圖4 約化系統的分岔圖

5 仿真分析

在初始狀態[0，0，0，0]下，分別取前輪轉向角為0.065 rad和0.075 rad進行仿真，仿真結果如圖5至圖8所示。

圖5 側偏角

圖6 橫擺角速度

圖7 側傾角

圖8 側傾角速度

仿真結果顯示：前輪轉角不超過分岔點的轉向角時，四輪轉向汽車的側偏角、橫擺角速度、側傾角及側傾角速度響應在2 s左右穩定下來，系統穩定，四輪轉向汽車可完成穩態轉向；隨著前輪轉角的增大，當超過對應分岔點的轉向角時，四輪轉向汽車的側偏角、橫擺角速度、側傾角及側傾角速度均在1.6 s左右急劇變化，意味著系統失去穩定性，需要通過采取措施加以控制。

6 結束語

選取適合于解析分析的二次多項式平方輪胎模型建立四輪汽車動力學模型，利用中心流形定理實現了高維轉向動力系統的降維。隨著車速和前輪轉角的增加，四輪轉向汽車會發生鞍結分岔，分岔使得汽車的狀態參量急劇變化，汽車失去穩定性，可以通過采取一些措施來改變其分岔特性（如狀態反饋對分岔點鎮定），通過主動控制的方式延緩分岔的發生。

［1］趙又群，林棻，郭孔輝.矩陣攝動法在四輪轉向汽車運動穩定性分析中的應用［J］.機械科學與技術，2004，23（7）：796-798.

［2］MASAO N，ETSUHIRO U.Nonlinear design approach to Four-Wheel-Steering system using neural networks［J］.Vehicle System Dynamics，1995，24 ：329-342.

［3］趙又群，尹浩，張麗霞，等.兩種輸入控制模型下的汽車非線性運動穩定性分析［J］.機械科學與技術，2005，24（10）：1138-1140.

［4］ERKIN D，TANKUT A.Application of vehicle dynamics’active control to a realistic vehicle model［C］//IEEE Proceedings of American Control Conference.2007：90-94.

［5］BOADA B L，BOADA M J L，DIAZ V.Yaw moment control for vehicle stability in a crosswind［J］.International Journal of Vehicle Design，2005，39（4）：331-348.

［6］劉春輝，張伯俊.四輪轉向汽車的分岔與失穩分析［J］.機械科學與技術，2011，30（8）：1326-1330

［7］楊秀建，王增才.高維汽車側向動力學系統的分岔及失穩分析［J］．農業機械學報，2008，39（12）：45-50.

［8］張琪昌，王洪禮，竺致文，等.分岔與混沌理論及應用［M］.天津：天津大學出版社，2005.