關(guān)于Camassa-Holm方程動(dòng)量密度的緊支集在半軸上的估計(jì)

康順光,賈佳

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院,新疆阿拉爾843300)

關(guān)于Camassa-Holm方程動(dòng)量密度的緊支集在半軸上的估計(jì)

康順光,賈佳

(塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院,新疆阿拉爾843300)

主要考慮在半軸上Camassa-Holm方程解的動(dòng)量密度緊支集大小的估計(jì),方法是根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度與區(qū)間特征值的關(guān)系,通過估計(jì)第一Dirichlet特征值來估計(jì)動(dòng)量密度緊支集的長(zhǎng)度.因?yàn)橹绖?dòng)量密度緊支集外解的性態(tài),所以通過估計(jì)動(dòng)量密度支集的大小可以得到方程解的更多信息.

Camassa-Holm方程;動(dòng)量密度;緊支集;半軸;特征值

1 引言

本文主要是考慮半軸上Camassa-Holm方程解的動(dòng)量密度緊支集的估計(jì).首先,給出半軸上的Camassa-Holm方程:

令m(t,x)=u(t,x)?uxx(t,x)為動(dòng)量密度,則u滿足方程(1)蘊(yùn)含m滿足:

淺水波方程可以由不可壓流體的維歐方程在無旋、淺水、小波幅的假定下,在二維自由表面區(qū)域的引力作用下用逼近的方法得到.例如著名的KdV方程、Camassa-Holm(CH)方程和Degasperis-Procesi(DP)等[14].本文主要是受二維歐拉流的渦量片大小的估計(jì)研究所啟發(fā),來研究一維的Camassa-Holm方程.CH和DP方程的動(dòng)量密度與歐拉流的渦量很相似,它們都滿足一階非線性非局部的偏微分方程,并且支集都隨著流線流.但二者也有差別,二維渦量沿流線流時(shí)值不變,動(dòng)量密度不是；歐拉方程描述不可壓縮流體,即歐拉流是保持體積的,但CH方程只是歐拉方程的逼近,CH流不再是保持體積的.文獻(xiàn)[5]通過估計(jì)特征值來估計(jì)二維渦片支集的內(nèi)半徑和周界,下面就是利用類似于文獻(xiàn)[5]中的方法來估計(jì)m的支集的大小,以便更加清楚地了解解u不清楚地方的大小.

2 主要結(jié)論

本文主要是估計(jì)在半軸上CH方程解的動(dòng)量密度緊支集的長(zhǎng)度.對(duì)于動(dòng)量密度m的緊支集的長(zhǎng)度,容易得到一個(gè)線性的上界估計(jì),而本文是給出其一個(gè)下界估計(jì).不失普遍性,可設(shè)初始動(dòng)量密度的支集是有限區(qū)間.若它不連通,可對(duì)它的連通分支或凸包作同樣的討論,得到它的性質(zhì).

設(shè)微分方程:

若方程(2)的初值m0有緊區(qū)間[c,d]為支集,那么m(t,…)也有緊支集[η(t,c),η(t,d)],即(t,η(t,x))表示從x出發(fā)的流線.設(shè)D(t)=[η(t,c),η(t,d)],知道方程(1)的解u在區(qū)域D(t)之外具體的形式是指數(shù)函數(shù),并且在正軸遠(yuǎn)方永遠(yuǎn)為正,在負(fù)軸遠(yuǎn)方是負(fù)[6];但是方程(1)的解u在區(qū)域D(t)之內(nèi)的情況不太清楚,本文的任務(wù)就是估計(jì)動(dòng)量密度m(t,x)的緊支集D(t)在半軸上的大小.

在u0∈G4(+)下考慮,此時(shí)存在一個(gè)極大時(shí)間T?=T?(u0)>0,當(dāng)T∈(0,T?)時(shí),方程(1)在[0,T]上有唯一解[7]:

此時(shí),

是方程(2)的解.

定理2.1假設(shè)

是方程(2)的強(qiáng)解,

連通,如果當(dāng)[0,T]×R+時(shí),|ux(t,x)|≤M.則

其中,

若u的動(dòng)量密度m不變號(hào),M可取為

3 主要定理證明

為了主要定理2.1的證明,首先給出下面幾個(gè)結(jié)論.

性質(zhì)3.1如果u是方程(1)的解,m為u的動(dòng)量密度,那么

證明記

為了方便,以下證明略去t.當(dāng)x<0時(shí),

則

因?yàn)?/p>

所以

于是命題得證.

性質(zhì)3.2假設(shè)存在一個(gè)極大時(shí)間T?=T?(u0)>0,對(duì)于T∈(0,T?),

是方程(2)的解,則

證明由性質(zhì)3.1易知,

對(duì)上面u(t,x)關(guān)于x求偏導(dǎo)數(shù),得

然后,對(duì)ux估計(jì),得

命題得證.

性質(zhì)3.3設(shè)

是方程(2)的解,則

是t的減函數(shù).

證明易知mt+umx+2uxm=0,則

命題得證.

性質(zhì)3.4設(shè)

是方程(1)的強(qiáng)解,且T?=T?(u0)>0是u存在的極大時(shí)間.若T∈(0,T?),令

證明從u∈C([0,T];D4(+))得

由Sobolev嵌入定理知,H2(+)L∞+)∩C(+),所以

注3.1若u的動(dòng)量密度m不變號(hào),則由性質(zhì)3.2和性質(zhì)3.3可知

性質(zhì)3.5(Rayleigh公式)設(shè)??是開區(qū)間,λ1(?)為?△在?上的第一個(gè)Dirichlet特征值,則

定義3.1設(shè)u是方程(1)的解,對(duì)于s,s+t∈(0,T),定義η(t;α,s)是以下問題的解:

當(dāng)t=0時(shí),流的速度是u(α,s),且η(t;…,s):R+→R+是微分同胚.

定義3.2設(shè)ψ∈L2(D(s)),s∈(0,T),對(duì)于s+t∈(0,T),定義ψt∈L2(D(s+t))為

其中η(t;α,s)滿足(7)式.

引理3.1假設(shè)定理2.1的條件成立,α∈D(s),對(duì)于s,s+t∈(0,T)有:

(a)如果η(t;α,s)是定義3.1中所述,那么

(c)如果ψ∈L2(D(s)),那么

引理3.2假設(shè)定理2.1的條件成立,那么,對(duì)于s,s+T∈(0,T)有

引理3.3假設(shè)定理2.1的條件成立,那么,對(duì)于s,s+T∈(0,T)有

以上三個(gè)引理在文獻(xiàn)[8]中被證明,此處不再證明.

定理2.1的證明綜合引理3.2和引理3.3可知λ1(D(s))Lipsschitz連續(xù)存在,并且有,

最后,對(duì)上式運(yùn)用Gronwall不等式,得到

其中λ1(s)=π2/|D2(s)|,所以

參考文獻(xiàn)

[1]Korteweg D J,Vries G D.On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves[J].Philos.Mag.,1895,39:422-443.

[2]Camassa R,Holm D D.An integrable shallow water equation with peaked solitons[J].Phys.Rev.Lett., 1993,71:1661-1664.

[3]Degasperis A,Procesi M.Asymptotic Integrability:Symmertry and Peturbation Theoty[M].Singapore: World Scienti fi c,1999.

[4]Degasperis A,Holm D D,Hone A N W.Anew Integrable equation with peakon soiotons[J].Theo.Math. Phys.,2002,133:1463-1474.

[5]Namkwon Kim.Eigenvalues associated with the vortex patch in 2-D Euler equations[J].Math.Ann., 2004,330:747-758.

[6]Himonas A,Misiolek G,Ponce G,Zhou Y.Persistence properties and unique continuation of solutions of the Camassa-Holm equation[J].Comm.Math.Phys.,2007,271:511-522.

[7]Escher J,Yin Z.Initial boundary value problems of the Camassa-Holm equation[J].Communications in Partial Di ff erential Equations,2008,33:377-395.

[8]Kang Shunguang,Tang Taiman.The support of the momentum density of the Camassa-Holm equation[J]. Applied Mathematics Letters,2011,24:2128-2132.

The estimate of the compact support of the momentum density of the Camassa-Holm equation on the half-line

Kang Shunguang,Jia Jia
(College of Information Engineering,Tarim university,Alar843300,China)

The paper consider the bounds for the size of the support of a compactly supported momentum density of the Camassa-Holm equation on the half-line.This is achieved by estimating the fi rst Dirichlet eigenvalue of the support,according to the relations between the eigenvalues and the geometric properties of a domain.Because the behavior of the solution outside the support of the momentum density is known.By estimating the size of the momentum density to obtain more information on the solution.

Camassa-Holm equation,momentum density,compact support,half-line,eigenvalue

O175

A

1008-5513(2014)03-0264-07

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.007

2014-02-14.

康順光(1983-),碩士,講師,研究方向：偏微分方程.

2010 MSC:35G25