生活中的分段函數

張小艷

一次函數是初中數學中最基本的知識點之一，是歷屆中考必考內容。隨著新課程標準的頒布實施，作為一次函數強有力的補充，分段函數“扮演”著越來越重要的角色。本文將對現實生活中的分段函數進行探討。

一、藥物治療原理

導入語：在名目繁多的藥品中，選擇一種合適的藥品是至關重要的，這不僅可以節約一定的費用，更為治療疾病提供良好的基礎。分析好藥物治療原理，能讓我們在選擇藥物治療疾病時省去許多不必要的麻煩。

例1：某醫藥研究所研發了一種新藥，在試驗時發現，如果成人按規定劑量服用，那么服藥后2h時血液中含藥量最高，達每毫升6ug(1ug=10-3mg)，接著逐步衰減，10h時血液中含藥量為每毫升3ug，每毫升血液中含藥量y（ug）隨時間x(h)的變化如圖所示，當成人按規定劑量服藥后：

（1）分別求出x≤2和x≥2時，y與x之間的函數關系式。

（2）如果每毫升血液中含藥量為4ug或4ug以上時，治療疾病是有效的，那么這個有效時間是多長？

解析：由題意可知，當x≤2時，函數是正比例函數，設y=kx(k≠0)，將（2，6）代入得：y=3x，當x≥2時，函數是一次函數，設y=kx+b(k≠0)，將（2，6）（10，3）代入得y=-■x+■.第2問，將y=4代入正比例函數和一次函數中得到x=■和■，從而得出有效時間是■-■=6小時。

二、風速的變化

導入語：植樹造林、綠化祖國、造福子孫后代是中國的一項基本國策。尤其2008年奧運會在北京召開，綠色奧運、人文奧運成為了當時舉辦盛會的潮流。在氣候環境日益惡化的今天，植樹造林對風沙的控制會起到積極的作用。

例2：某氣象研究中心觀測到一場沙塵暴從發生到結束的全過程，開始時平均增速2km/h。4h后，沙塵暴經過開闊荒漠地，風速變為平均增速4km/h，一段時間，風速保持不變，當沙塵暴遇到綠色植被區時，其風速平均每小時減少1km/h，最終停止，結合風速與時間的圖象，回答下列問題：

（1）在（ ）內填入相應的數值。

（2）沙塵暴從發生到結束，共經歷了多少小時？

解析：由題意可知，（）內填入的數據分別為8，32。此次沙塵暴從發生到結束共經歷了四個過程，第一過程為4小時，第二過程為6小時，第三過程為15小時，第四過程為32÷1=32小時，所以總的時間為57小時。

三、工程問題

導入語：為了調動農民種地的積極性，國家積極采取措施，為農民種地提供優越條件，開挖河渠便是有效措施之一。

例3：甲、乙兩個工程隊分別同時開挖兩段河渠，所挖河渠的長度y（m）與挖掘時間x（h）之間的關系如下圖所示，請根據圖象所提供的信息解答下列問題：

（1）乙隊開挖到30m時，用了_____h，開挖6h時甲隊比乙隊多挖了_____m。

（2）請你求出：①甲隊在0≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式；②乙隊在2≤x≤6的時段內，y與x之間的函數關系式。

（3）當x為何值時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等？

解析：（1）由圖象可知，乙隊開挖到30m時，用了2h.開挖6h時，甲隊挖了60m，乙隊挖了50m，所以甲隊比乙隊多挖了10m。

（2）甲隊在0≤x≤6的時段內，y=kx，把（6，60）代入得y=10x乙隊在2≤x≤6的時段內，設y=kx+b，把（2，30）（6，50）代入得y=5x+20。

（3）令10x=5x+20，解得x=4，所以當x=4時，甲、乙兩隊在施工過程中所挖河渠的長度相等。

四、油箱加油問題

導入語：隨著科學技術的迅猛發展，手工勞動已逐步被機械自動化代替，從而大大提高了工作效率，為國民經濟的逐年增長提供了良好的基礎。

例4：某工人用一種自動控制加工機械做一批工件，該機器運行過程中分為加油過程和加工過程；加工過程中，當油箱中油量為10升時，機器自動停止加工進入加油過程，將油箱加滿后繼續加工，如此往復，已知機器運行185分鐘才能將這批工件加工完。下圖是郵箱中油量y（升）與機器運行時間x（分）之間的函數圖象。根據圖象回答下列問題：

（1）求在第一個加工過程中，油箱中油量y（升）與機器運行時間x（分）之間的函數關系式（不必寫出自變量x的取值范圍）。

（2）機器運行多少分鐘時，第一個加工過程停止？

（3）加工完這批工件，機器耗油多少升？

解析：（1）由圖象可知，在加工過程中，y=kx+b，把（10，

100）（30，80）代入得y=-x+100。

（2）當y=10時，x=100，所以機器運行100分鐘，第一個加工過程停止，其中包括加油10分鐘，加工90分鐘，由圖象可知，機器10分鐘加油100升，所以從10升加到100升需要9分鐘。

（3）由y=-x+100可知，每加工1分鐘，需耗油1升，所以185分鐘內加油時間為10+9=19分鐘，加工時間為185-19=166分鐘，所以耗油166升。