噪聲環境下糾纏二能級原子的量子Discord動力學

王霄萍　周清平

【摘 要】噪聲環境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態被認為是實現量子信息處理的一種重要的物理資源，已經廣泛應用于量子隱形傳態、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環境中，量子系統不可避免受到外界環境的影響，量子糾纏態與環境發生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發展，人們發現，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現量子通訊等過程，這個重大發現最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統中所有的量子關聯特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態的二能級原子與噪聲環境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統態的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統，量子態可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯和經典關聯的差：

■（1）

ρ為系統的密度算符，總關聯用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經典關聯可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發態和基態組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統的產生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產生和湮滅算符，gk為耦合常數。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發態的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態：

■（8）

那么，整個糾纏系統的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

■

（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯互信息：

■

■

（13）

計算經典關聯C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統為例進行投影測量，對子系統B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統發生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數z的實部和虛部。其中參數m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數m，n，k，這三個參數分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經典關聯和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

■

■

■

■

■

■

（20）

當k=1，l=0時，

■

■

■

■

■

■

■

■

（21）

根據以上的分析即可得到經典關聯。公式（13）中的互信息與經典關聯的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】噪聲環境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態被認為是實現量子信息處理的一種重要的物理資源，已經廣泛應用于量子隱形傳態、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環境中，量子系統不可避免受到外界環境的影響，量子糾纏態與環境發生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發展，人們發現，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現量子通訊等過程，這個重大發現最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統中所有的量子關聯特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態的二能級原子與噪聲環境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統態的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統，量子態可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯和經典關聯的差：

■（1）

ρ為系統的密度算符，總關聯用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經典關聯可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發態和基態組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統的產生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產生和湮滅算符，gk為耦合常數。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發態的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態：

■（8）

那么，整個糾纏系統的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

■

（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯互信息：

■

■

（13）

計算經典關聯C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統為例進行投影測量，對子系統B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統發生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數z的實部和虛部。其中參數m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數m，n，k，這三個參數分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經典關聯和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

■

■

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（20）

當k=1，l=0時，

■

■

■

■

■

■

■

■

（21）

根據以上的分析即可得到經典關聯。公式（13）中的互信息與經典關聯的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]

【摘 要】噪聲環境中量子Discord動力學是實際量子信息處理的關鍵問題，本文研究了兩個任意糾纏二能級原子與耗散環境相互作用的量子Discord。

【關鍵詞】糾纏二能級原子；噪聲環境；量子Discord

0 引言

量子糾纏現象是量子力學中最為奇妙的特征之一，量子糾纏態被認為是實現量子信息處理的一種重要的物理資源，已經廣泛應用于量子隱形傳態、量子密集編碼、量子密碼通信以及量子計算等量子信息任務。然而，在實際的物理環境中，量子系統不可避免受到外界環境的影響，量子糾纏態與環境發生相互作用導致量子糾纏退化與耗散，甚至退相干。隨著量子信息技術的發展，人們發現，在沒有量子糾纏的情況下仍然可以實現量子通訊等過程，這個重大發現最早是被Datta[1-2]等人提出的。近年來，Ollivier和Zurek等人[3-4]的研究工作中提出了這樣一種量子關聯度量方法——Quantum Discord（量子失諧）的概念，把經典世界中的互信息和條件熵理論用到量子世界中，更好地描述量子系統中所有的量子關聯特性。本文主要研究兩個處于任意糾纏態的二能級原子與噪聲環境相互作用的量子Discord動力學。

1 二體糾纏系統態的量子Discord

對于一般的由A和B構成的兩體量子系統，量子態可以用密度矩陣ρ表示。量子Discord定義為總關聯和經典關聯的差：

■（1）

ρ為系統的密度算符，總關聯用量子互信息表示：

■（2）

其中S（ρ■■）、S（ρ■■）是馮·諾依曼熵，λj為本征值。經典關聯可表示為：

■（3）

量子比特與庫相互作用附加真空腔后，本征值可表示為：

■（4）

馮·諾依曼熵為：

■

（5）

2 噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律

Alice和Bob共享一對糾纏原子量子對，在希爾伯特空間中表示為■和■。我們假設每個耗散腔是獨立的，由一個可控二能級原子的激發態和基態組成的單量子比特和高-Q腔相互作用，量子比特與庫相互作用的動力學取決于如下哈密度量[5]，

■（6）

ω0是躍遷頻率，■和■是系統的產生和湮滅算符，ωk表示第k個場模的頻率，■■和■■表示第k個場模的產生和湮滅算符，gk為耦合常數。由于初始量子比特與庫之間沒有相互作用，糾纏資源附加真空環境可表示成：

■（7）

■表示N摸真空腔，■表示只有第K摸是激發態的N摸腔。u（t）和v（t）都是與庫的結構有關的時間演化概率幅。當最初的量子通道是最大糾纏純態：

■（8）

那么，整個糾纏系統的動力學性質很容易得出，即演化后的量子通道為：

■（9）

通過描繪庫的情形，可以得到約化密度矩陣，由于■和■， ■和■結構相同，下面只寫出兩個約化密度矩陣代表[6]，以■和■為例，上標0，1分別表示■、■，下同：

■

（10）

3 噪聲環境下糾纏二能級原子量子Discord動力學

根據噪聲環境下糾纏二能級原子的演化規律及公式（10）描繪的約化密度矩陣可知道X型Bell態的本征值：

■

（11）

馮·諾依曼熵為：

■

（12）

將公式（11）和（12）代入式子（2），即可得出關聯互信息：

■

■

（13）

計算經典關聯C（ρX）時，我們把公式（3）中的ρX和ρi定義為■，■，有：

■（14）

4 結論與分析

我們以X-型兩體量子系統為例進行投影測量，對子系統B進行馮·諾依曼測量：

■（15）

其中■是子系統B在基矢空間■的投影算符，V表示幺正算符，V∈SU（2）。由于測量使得兩體系統發生坍縮，于是ρAB變成了系綜形式{ρi，pi}，本征值為[7]：

■（16）

其中ρ0和ρ1相應存在概率為：

■（17）

η和η′表示為：

■

（18）

其中，■這里lm和Re分別表示復數z的實部和虛部。其中參數m，n，k，l定義為：

■

（19）

由此可見k+l=1。η和η′取決于密度矩陣的三個參數m，n，k，這三個參數分別滿足m∈[0，1/4]，n∈[-1/8，1/8]，k∈[0，1]。

要計算經典關聯和量子Discord，就必須對S（ρX|{Bi}）求最小值，而S（ρX|{Bi}）的最小化取決于參數k，m和n的具體取值。由于參量k和l是對稱的，那么當k=l=1/2或者k=0，1時，S（ρX|{Bi}）有極值。由m，n，k，l的定義式可知，當k=0，1時，m和n必為零，而當k=l=1/2時，有η=η′，即S（ρ0）=S（ρ1），當n=±1/8和m=0，1/4時，S（ρX|{Bi}）有極值。

當k=0，l=1時，

■

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（20）

當k=1，l=0時，

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（21）

根據以上的分析即可得到經典關聯。公式（13）中的互信息與經典關聯的差值即是量子Discord。

【參考文獻】

[1]A Datta， A Shaji and C M Caves. Quantum discord and the power of one qubit[J] Phys. Rev. Lett.， 2008， 100： 050502～050510.

[2]A Datta and G Vidal. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. A， 2007， 75： 042310～042315.

[3]H. Ollivier， W. H. Zurek. Quantum discord and the power of one qubit[J]. Phys. Rev. Lett.， 2001， 88（4）： 017901～017911.

[4]L Henderson and V Vedral. Mathematical and General[J]. Phys. A， 2001， 34： 6899.

[5]H P Breuer and F Petruccione. The Theory of Open Quantum Systems[M]. Oxford： Oxford University， 2002.

[6]Zhang Y L， Zhou Q P， Kang G D， et al. International journal of quantum information[J]. 2012， 10： 1250030～1250043.

[7]M. Ali， A. R. P. Rau， and G. Alberl. Quantum discord for two-qubit X states[J]. Phys. Rev. A， 2010， 81： 042105～042113.

[責任編輯：湯靜]