二元一次方程整數解及其應用淺析

王亮

在人教版七年級下冊數學課本第112頁的拓廣探索訓練中有一個題目為：現有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學生能比較順利的列出兩個等量關系式：1角硬幣數量+5角硬幣數量+1元硬幣數量=15，1角硬幣錢數+5角硬幣錢數+1元硬幣錢數=7，進而可以列出兩個三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學生所未曾遇到過的。如何求解呢？這兒就不可避免的應用到二元一次方程的非負整數解。

二元一次方程的解有無數組，但在實際應用中，我們往往只需要求出其非負整數解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負整數。

∴其非負整數解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據冪的性質可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數可確定x、y的值。

解：因為3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因為x、y為不等于0的自然數，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點評：因為x、y為不等于0的自然數，所以本題實際上是求x+y=3的整數解。

在近幾年的中考題目中，也已經出現了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設租用每輛8個座位的車x輛，每輛有4個座位的車y輛，

根據題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數，

∴x=1時，y=3，

x=2時，y=1，

x=3時，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點評：本題考查了二元一次方程的應用，解題的關鍵在于車輛數是正整數。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無數組解，但在特定條件下整數解是可以求出的，從而可以用來解決一些生活中的實際問題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數解我們就可以順利解出剛才的硬幣問題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過消x得到一個二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負整數解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對于此類題目，我們可以采用以下解題過程：列兩個三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數解→求該實際問題解，通過消元思想和二元一次方程整數解，進而求出該問題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區西湖中心初中）

？誗編輯 魯翠紅

在人教版七年級下冊數學課本第112頁的拓廣探索訓練中有一個題目為：現有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學生能比較順利的列出兩個等量關系式：1角硬幣數量+5角硬幣數量+1元硬幣數量=15，1角硬幣錢數+5角硬幣錢數+1元硬幣錢數=7，進而可以列出兩個三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學生所未曾遇到過的。如何求解呢？這兒就不可避免的應用到二元一次方程的非負整數解。

二元一次方程的解有無數組，但在實際應用中，我們往往只需要求出其非負整數解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負整數。

∴其非負整數解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據冪的性質可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數可確定x、y的值。

解：因為3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因為x、y為不等于0的自然數，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點評：因為x、y為不等于0的自然數，所以本題實際上是求x+y=3的整數解。

在近幾年的中考題目中，也已經出現了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設租用每輛8個座位的車x輛，每輛有4個座位的車y輛，

根據題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數，

∴x=1時，y=3，

x=2時，y=1，

x=3時，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點評：本題考查了二元一次方程的應用，解題的關鍵在于車輛數是正整數。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無數組解，但在特定條件下整數解是可以求出的，從而可以用來解決一些生活中的實際問題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數解我們就可以順利解出剛才的硬幣問題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過消x得到一個二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負整數解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對于此類題目，我們可以采用以下解題過程：列兩個三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數解→求該實際問題解，通過消元思想和二元一次方程整數解，進而求出該問題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區西湖中心初中）

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在人教版七年級下冊數學課本第112頁的拓廣探索訓練中有一個題目為：現有1角、5角、1元硬幣各10枚。從中取出15枚，共值7元。1角、5角、1元硬幣各取多少枚？

初看這道題目，可能絕大部分學生能比較順利的列出兩個等量關系式：1角硬幣數量+5角硬幣數量+1元硬幣數量=15，1角硬幣錢數+5角硬幣錢數+1元硬幣錢數=7，進而可以列出兩個三元一次方程：x+y+z=15①；0.1x+0.5y+z=7②。但是如何求解，可能是很多學生所未曾遇到過的。如何求解呢？這兒就不可避免的應用到二元一次方程的非負整數解。

二元一次方程的解有無數組，但在實際應用中，我們往往只需要求出其非負整數解。下面試舉幾例以供參考：

例1.小虎子有一張面值為10元的人民幣，他想換成1元或2元的人民幣，請你想一想，可能有幾種兌換方法？

解：設可換成1元的人民幣x張，2元的人民幣y張，則x+2y=10。

∵x、y只能取非負整數。

∴其非負整數解為：x=0y=5，x=2y=4，x=4y=3，x=6y=2，x=8y=1，x=10y=0。

所以有6種兌換方法，分別為5張2元；2張1元和4張2元；4張1元和3張2元；6張1元和2張2元；8張1元和1張2元；10張1元。

例2.如果x、y為不等于0的自然數，且3x·3y=27，試求xy的值。

分析：由27=33，可得3x·3y=33，根據冪的性質可得x+y=3，再由x、y為不等于0的自然數可確定x、y的值。

解：因為3x·3y=27，即3x+y=33，所以x+y=3；又因為x、y為不等于0的自然數，所以有x=1y=2或x=2y=1；所以xy=1×2=2或xy=2×1=2。綜上所得：xy=2。

點評：因為x、y為不等于0的自然數，所以本題實際上是求x+y=3的整數解。

在近幾年的中考題目中，也已經出現了類似題型的考查。

例3.（2013·綏化）某班組織20名同學去春游，同時租用兩種型號的車輛，一種車每輛有8個座位，另一種車每輛有4個座位.要求租用的車輛不留空座，也不能超載。有_______種租車方案。

解：設租用每輛8個座位的車x輛，每輛有4個座位的車y輛，

根據題意得，8x+4y=20，

整理得，2x+y=5，

∵x、y都是正整數，

∴x=1時，y=3，

x=2時，y=1，

x=3時，y=-1（不符合題意，舍去），

所以，共有2種租車方案。

點評：本題考查了二元一次方程的應用，解題的關鍵在于車輛數是正整數。

由此我們可以看出，二元一次方程雖然具有無數組解，但在特定條件下整數解是可以求出的，從而可以用來解決一些生活中的實際問題。同樣，借鑒“消元”思想和二元一次方程整數解我們就可以順利解出剛才的硬幣問題。

我們可以將方程x+y+z=15①，0.1x+0.5y+z=7②通過消x得到一個二元一次方程：4y+9z=55，利用題目中隱含的x、y、z只能取非負整數解條件，我們可以求出：y=7，z=3，進而求出x=5，至此我們就可以求出該題的答案為：1角硬幣5枚、5角硬幣7枚、1元硬幣3枚。

對于此類題目，我們可以采用以下解題過程：列兩個三元一次方程→（消元）二元一次方程→求整數解→求該實際問題解，通過消元思想和二元一次方程整數解，進而求出該問題的解。

（作者單位 山東省日照市東港區西湖中心初中）

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