基于MATLAB的HTM50200異型石材車銑加工中心橫梁結構拓撲優化設計及實驗研究

穆璇，張珂，趙德宏，吳玉厚

(沈陽建筑大學交通與機械學院，遼寧沈陽110168)

結構拓撲優化設計是在初始結構關系未知的情況下，以尋求結構的材料在設計空間最佳傳力路徑而展開的結構拓撲優化技術的研究，在結構的概念設計階段具有很重要的指導性意義。目前出現了一系列具有連續拓撲設計變量的優化模型，主要包括［1］:均勻化法、變密度法、進化結構優化方法，獨立映射法，水平集法等。其中變密度法由于設計變量少、迭代效率高、易于實現等優點而得到了廣泛關注。

目前變密度法中最為流行的插值方法有各項同性懲罰微結構模型法 (SIMP)和材料屬性有理近似模型 (RAMP)［2］。1988年 BENDSOE等提出的基于均勻化理論的結構拓撲優化設計，開創了連續體結構拓撲優化設計研究的新局面［3］。

SIMP法是由 MLEJNEK等［4］于1993年提出的，1999年BENDSOE等［5］將其進一步發展，并且證明了該方法物理意義的存在性。在前人提出的重要理論基礎上，后人也將其跟其他現代設計方法相結合，衍生出了其他一些拓撲結構優化方法，如左孔天等［6］用拓撲優化方法進行了微型柔性機構的設計研究，羅震［7］用變密度法詳細研究了連續體結構的拓撲優化設計。文中利用SIMP法對龍門機床橫梁進行拓撲優化設計。

龍門機床的橫梁是一個極其重要的部件，它起著支撐滑鞍工作頭、連接立柱床身等關鍵部件的作用，并在加工過程中帶動工作頭實現加工中心的縱向進給，故橫梁的動力學特性直接影響整機的精度與動力學特性。HTM50200龍門式車銑加工中心為專門針對復雜異型石材制品加工開發的一種八軸五聯動數控加工加工中心，如圖1所示［8］。

圖1 HTM50200虛擬樣機

1 基于變密度理論的優化模型

1.1 優化模型的建立

以結構整體剛度最大也等價于結構的總變形能最小為目標，以材料體積為約束條件，建立拓撲優化的設計模型:

式中:C為結構的柔順度;X為設計變量，材料的相對密度，表示在區間 ［0，1］上有多少存在的單元;F為載荷向量;u為節點位移向量;N為單元總數;V0表示整個設計域初始體積;V*為體積上限;f為優化體積比;V(x)為優化后結構體積;K為總體剛度矩陣。

有限元結構中存在關系式:

式中:Ve為優化后的單元體積;xe為單元設計變量柔度，可以寫為:

在SIMP前提下，數學模型可寫為下面關系式:

1.2 優化求解方法

優化準則法是在20世紀60年代后期發展起來的一種可以替代數學規劃法的結構優化設計方法，準則法最初的基本思想見于Michell在1994年發表的文獻［9］中。準則法 (又稱OC方法)一般適用于單目標、單約束條件下的優化問題求解，很少使用敏度分析信息，計算速度快，并且計算規模與求解變量的數目無關，故拓撲優化中的優化算法一般情況下采用優化準則法。人們把數學中最優解應滿足的Kuhn-Tucker(庫恩-塔克)條件作為結構優化設計的準則，形成所謂的理性準則法。Kuhn-Tucker條件的引入，增強了準則法的數學基礎和通用性，并使準則法最終得到優化問題的局部最優解甚至全局最優解成為可能。針對該優化問題構造相應的拉格朗日函數為:

式中:λ1，λ2，λ3，λ4為拉格朗日乘子，當x=x*時取極值，拉格朗日函數應滿足的Kuhn-Tucker必要條件為:

對于上式等于0的情況，并且由C=UTKU可得:

把Ke=(xe)pK0，g(x)=fV0= ∑Ne=1xeVe代入上式，并且利用結構剛度矩陣的對稱性可得:

不妨取λ2=－2U代入上式得

式中:η為阻尼系數，引入η的目的是為了確保數值計算的穩定性和收斂性。

1.3 懲罰因子對設計結果的影響

圖2 SIMP模型密度同彈性模量間關系

將懲罰因子引入SIMP密度函數插值模型，在材料的彈性模量和單元相對密度之間建立起一種對應關系。它的作用是推動設計變量的值 (文中指密度)逐漸向0、1兩端聚集，從而可以得到更加清晰的拓撲形式。SIMP法的懲罰曲線如圖2所示，當P=1.0時成線性關系，即沒有懲罰效應，很顯然P值越大，懲罰效果越好。

然而在實際運用中如圖3所示，SIMP法有明顯的缺點［1］:(1)理論上SIMP模型并不能保證懲罰函數是一個凹函數，不能取得全局最優解;(2)當P取值大于某值后，其優化結果沒有如理論上所述的加以改進，反而可能得到完全誤導性的結果。通過運行MATLAB發現，P值越大迭代次數越多，收斂的時間越長，不利于計算，因此懲罰因子不宜選過大。文中選懲罰因子P=3時的結果，從而得到最優拓撲結構。

圖3 不同懲罰因子下的優化拓撲圖

2 龍門橫梁的拓撲優化設計

以HTM50200車銑加工中心橫梁截面為研究目標，結構如圖1所示。橫梁采用雙直線導軌形式，上面導軌水平布置，下面導軌豎直布置，能有效地承擔來自滑鞍和工作頭的在豎直與水平方向的載荷。龍門機床的橫梁工作時承受復雜的空間載荷。橫梁部件在工作時所承受的力有加工時產生的切削力、自身重力、移動部件和固定部件相對運動時導軌面間的摩擦力、聯結大件和移動部件間的聯結力、慣性力、沖擊或震動干擾力以及溫度升高時產生的熱應力［10］。而優化過程中應設置為機床常態下的負載條件，因此橫梁受到自身重力——均布載荷，滑鞍及上面組件的重力——集中載荷的作用。

圖4 部分縱截面橫梁模型

由于橫梁縱截面太長，計算效率低下，浪費時間，故節選一部分為研究對象，對其進行受力分析，優化效果如圖4所示。

橫截面模型為簡便起見，采用結構左右下角固定約束，上、下面模擬導軌結點受向下重力F1、F2作用，材料懲罰因子取值為3，敏度過濾半徑為2，體積比為0.4，結構離散為80×60個四結點四邊形有限單元。截面算例如圖5所示。在MATLAB幫助下，用SIMP法計算出的最優拓撲的模型如圖6所示。

圖5 橫截面模型

圖6 結構拓撲圖

從圖6可以看出:所獲得的拓撲圖形具有一定的參考意義，可從中得出橫梁截面筋肋的布局:整體采用“之”字形排布。根據結果設計橫梁如圖7所示，橫梁總質量9 377 038g，比傳統結構減輕2.75%。

圖7 橫梁內部筋板布局

3 試驗分析

3.1 試驗設備

在這次試驗中，主要采用的儀器和分析系統有東方所生產的 INV3018C、DASP-V10模態分析模塊、ICP型輸入方式的加速度傳感器和朗斯公司生產的LC1031力錘及其配套的力傳感器，如圖8及表1所示。

圖8 實驗設備

表1 試驗模態測試所用設備

3.2 試驗方法

在將試驗數據導入DASP-V10模態分析模塊之前，首先在信號相干性大于0.8以上的前提下，將激振信號和響應信號進行FRF分析，即傳遞函數分析，然后通過模態分析［11］系統對傳函曲線進行定階擬合，最后識別出結構的模態參數，即測試對象的固有頻率值及各階振型。具體試驗流程如圖9所示。

圖9 試驗模態測試流程示意圖

3.3 模態試驗

該試驗的驗證過程:首先用力錘在橫梁上某一點處激振，同時用加速度傳感器在主軸端部拾取響應信號，將這兩路信號分別導入數據采集系統;然后交換激勵點和響應點，讀取這兩路信號，比較前后兩組數據。

3.4 試驗與數據分析

試驗之前，先將滑鞍移到橫梁中間部位，復合式工作頭調整到實際加工時的位置，然后用力錘敲擊靠近刀具的主軸端部，并用5個加速度傳感器分別拾取機床各個測量點的響應信號。通過采集分析系統記錄下X和Y方向上的頻響函數 (圖10—11)、相干函數等，為下一步的定階、曲線擬合提供必要的數據。

圖10 橫梁上X方向上隨機兩點的頻響函數曲線

圖11 橫梁上Y方向上隨機兩點的頻響函數曲線

3.5 試驗結果分析

從表2可以看出:實驗結果與仿真分析值的誤差在10%以內，說明仿真分析數據真實可靠，之所以產生誤差可能的原因有:

(1)建立有限元模型時，省略了零部件倒角、螺栓孔等。

(2)仿真軟件分析時使用的材料屬性及參數設置的準確性對分析結果造成了影響。

(3)試驗時激勵位置和測試點的選擇及錘擊的脈沖信號存在少許誤差。

(4)測量時傳感器本身的誤差或是安裝誤差會給試驗結果帶來影響。

表2 橫梁模態測試與仿真結果對比值

4 結論

(1)通過推導拓撲優化中變密度法數學模型，用MATLAB實現了HTM50200車銑復合加工中心橫梁筋肋的設計，比傳統結構減輕2.75%。

(2)試驗與仿真分析表明，該結構有良好的動力學特性。

［1］陳祥，劉辛軍.基于RAMP插值模型結合導重法求解拓撲優化問題［J］.中國機械工程，2012，48(1):135－140.

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