一類最小方差無失真響應波束的形成方法

邵 朝, 趙 妮, 石超雄

(1.西安郵電大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安 710121; 2.西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

一類最小方差無失真響應波束的形成方法

邵 朝1, 趙 妮1, 石超雄2

(1.西安郵電大學 通信與信息工程學院, 陜西 西安 710121; 2.西北工業大學 航海學院, 陜西 西安 710072)

最優廣義線性最小方差無失真響應波束形成往往要求陣列導向矢量和信號非圓度必須為已知，為了突破此限制，基于最小方差無失真響應方法的約束條件提出兩種波束形成方法：其一是先將陣列導向矢量和非圓度的不確定性轉化為整體擴展導向矢量的不確定性，再規劃波束形成；其二是利用信號結構信息來規劃波束形成。仿真實驗結果表明，新方法在突破此限制方面具有可行性。

陣列信號處理；最小方差無失真響應；穩健的波束形成

在陣列信號處理中，波束形成是一種被廣泛應用于在空間干擾信號和加性噪聲的存在下增強空間傳播的感興趣的信號(Signal Of Interest, SOI)的技術[1]。傳統的波束形成方法是基于二階(Second order, SO)平穩統計快拍數據的，主要關注平穩快拍數據，由此產生了線性時不變(Time Invariant, TI)波束形成。Capon提出的最小方差無失真響應(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成是一個著名的線性最優波束形成方法[2]。然而，當遇到二階非平穩信號時，傳統的線性時不變方法(例如MVDR波束形成)將不是最優的。

在許多實際情況下，二階非平穩信號也是非圓信號。為了利用快拍數據的非圓度，文獻[3-4]提出基于廣義線性(Widely Linear, WL)波束形成的方法并改進了性能。WL-MVDR波束形成方法[3]能夠處理接收的未知信號被二階非圓信號干擾，在平穩狀態下的性能比傳統的MVDR波束形成的穩定性有了較大改善。為了進一步利用SOI的非圓度而被提出的最優WL-MVDR波束形成方法[4]，利用了導向矢量的共軛部分，與傳統的MVDR算法相比，在干擾為非圓信號時性能有了更大提高，輸出的信干噪比(Signal Interference Noise Ratio, SINR)得到進一步改善。

根據最優WL-MVDR波束形成方法，SOI的陣列導向矢量(Array Steering Vector, ASV)的先驗知識和其非圓度被假定為是可用或可預測的。然而，在許多實際情況下，精確確定SOI的ASV和實際非圓度是很困難的，這將會引起波束形成的不確定性。ASV的不確定性可能是由于接收信號時陣列響應或SOI的波達方向(Direction Of Arrical, DOA)估計誤差等因素導致。非圓度的不確定性可能是由于SOI波形、相位偏移、頻率偏移導致的不確定性。這些不確定性會嚴重降低WL-MVDR波束形成的性能，甚至比傳統的MVDR波束形成性能更差。

為了解決WL-MVDR波束形成的不確定性，本文擬給出兩種穩健的最優WL-MVDR波束形成的方法，它是基于傳統二階平穩快拍數據的波束形成方法，并基于MVDR方法的約束條件,分別對輸入陣列導向矢量和非圓度存在不確定性的情況進行分析，推導出波束形成的加權向量表達式，最后通過仿真實驗進行驗證。

1 最優廣義線性 MVDR波束形成

1.1 信號模型

假設一個N階陣用來接收窄帶信號，并且陣列輸出為一個復矢量x(t)，它由SOI加上一個干擾噪聲信號構成，即

x(t)=a·s(t)+v(t),

(1)

其中s(t)是SOI的復包絡(零均值二階非圓信號)，v(t)是干擾和噪聲部分，a為SOI導向矢量。假設干擾信號為零均值、二階非圓且與s(t)不相關。

自適應波束形成設計一般是基于信號的二階統計量，非圓快拍數據x(t)的二階統計量定義為

Rx=E[x(t)x(t)H]=πsaaH+Rv,

Cx=E[x(t)x(t)T]=πsγsaaT+Cv,

(2)

其中

Rv=E[v(t)v(t)H],

Cv=E[v(t)v(t)T],

而πs和γs分別是SOI的平均功率和非圓度系數，且

πs=E[|s(t)|2],

γs=E[s2(t)]/πs。

當γs=0時，隨機變量為圓信號，當|γs|>0時，隨機變量為弱非圓性。由Cauchy-Schwartz不等式，任何復隨機變量的非圓度系數均滿足|γs|≤1。特別當|γs|=1時稱信號具有嚴非圓性[5],如二進制相移鍵控(Binary Phase Shift Key, BPSK)信號。

(3)

其中

將擴展接收矩陣的擴展協方差函數定義為

(4)

其中

(5)

1.2 最優WL-MVDR波束形成

基于上述信號模型的建立，文獻[7]通過將MVDR概念應用到擴展快拍數據中，提出了WL-MVDR波束形成。在數學上，權重矢量可以通過下面的凸規劃(非線性規劃)求得,即

(6)

這種規劃的結果可用Lagrange算子求得，結果為

(7)

(8)

其中s′(t)是s(t)的正交信號。因此式(3)中的信號模型可以寫作

(9)

其中

這種最優WL-MVDR可以由

(10)

設計，通過定義

得到

(11)

2 穩健的最優WL-MVDR波束形成

由于實際和假設參數(a，γs)之間的錯配容易導致最優WL-MVDR波束形成的性能降低，而訓練序列不可獲得和在實際條件限制下產生的估計誤差都可能導致這種錯配，因此保證波束形成設計的穩定性很重要。

(12)

下面給出兩種穩健方法用來處理導向矢量和非圓度的不確定性。

2.1 降低整體擴展導向矢量的不確定性

轉移式(12)中約束條件的不確定性到整個增擴展向矢量的不確定性。用

分別表示感興趣信號導向矢量和非圓度的錯配產生的誤差,則有

(13)

(14)

根據穩健的波束形成(Robust Capon Beamforming, RCB)公式，通過規劃

(15)

設計WL-RCB波束形成。

(16)

這是RCB的一種標準形式，所以可以根據標準形式的波束形成方法求得。

(17)

2.2 利用導向矢量結構信息提高穩健性

陣列導向矢量存在另一種結構，即

(18)

計算擴展導向矢量整體錯配形式的不確定性不能利用這種結構信息，它是通過適當提高約束范圍來估計的，會導致不確定性的過估計，最終會在波束形成設計時由于干擾抑制能力下降而導致SINR性能變差。

現基于穩健波束形成輔助結構的不確定性，在保持導向矢量和非圓度間結構關系的同時，分別用它們表示不確定性約束。改寫式(16)，得出穩健最優WL-MVDR波束形成設計輔助結構的約束公式

(19)

它的目標函數

(20)

其中Re(x)表示x的實部。運用

(21)

定義求得目標函數的簡化表達式,將會發現目標函數是三階的，并不能保證凸面性，凸規劃方法不能直接運用。

(22)

3 實驗結果和分析

通過50次蒙特卡羅實驗分析兩種穩健WL-MVDR方法的性能。

實驗中，兩個窄帶BPSK信號傳播到陣列間距為半波長的二元陣上，入射角為0°～30°，0°為目標信號。信噪比(Signal Noise Ratio, SNR)為10～20 dB，SOI的初始相位為60°，所以

γs=-0.5 + j 0.866,

干擾信號初始相位為0。假設導向矢量錯配，導向矢量的不確定性是由DOA誤差引起的，設誤差為3°，εγ=0.001。由于實驗中不知道a和γs精確的誤差，用1.2代替a和γs綜合誤差的平方范數ε1，這個參數值用來驗證所給算法。在導向矢量錯配的情況下，比較各算法的性能，結果如圖1所示。可見，在不確定情況下最優WL-MVDR不再比Capon好，而兩種穩健的最優WL-MVDR波束形成方法則要比Capon好。

圖1 信干噪比性能比較

進一步就目標信號在不同SNR輸入下進行實驗，以了解各算法的性能。取100組快拍數據，將波束形成的輸出SINR作為比較標準，結果如圖2所示，從中可見，在錯配的情況下，降低整體擴展導向矢量不確定性的方法總是強于RCB和最優WL-MVDR，而利用導向矢量結構信息提高穩健性的方法在大多數的情形下比降低整體擴展導向矢量不確定性的方法好。

圖2 輸出信干噪比性能比較

4 結 語

給出了在非圓度和ASV都不確定的情況下，穩健的最優WL-MVDR波束形成算法。分別通過建立整體擴展導向矢量的不確定性和利用導向矢量的結構信息,在一定程度上解決了不確定性問題。實驗表明不確定性對最優WL-MVDR和由此改進的方法性能的影響，并驗證了所給新方法比傳統的Capon波束形成方法有更好的性能和實用性。

[1] 董延坤,葛臨東,張輝.自適應波束形成算法的現狀與發展動態[J].微計算機信息,2005,21(3):64-67.

[2] 孫心宇，周建江.一種基于非圓相干信號的波束成形算法[J].宇航學報,2012,33(4):32-35.

[3] 鄢社鋒,馬遠良.二階錐規劃方法對于時空域濾波器的優化設計與驗證[J].中國科學 E輯信息科學,2006,36(2): 153-171.

[4] Chevalier P, Blin A. Widely linear MVDR beamformers for the reception of an unknown signal corrupted by nocircular interferences[J]. IEEE Trans. Sign. Process,2007, 55(11): 523-536.

[5] 劉宏清,廖桂生,張杰.穩健的Capon波束形成[J].系統工程與電子技術,2005,10(27):127-130.

[6] 何忠勇,周圍.基于遺傳算法的智能天線的研究[J].西安郵電學院學報,2009,14(1):29-33.

[7] Chevalier P, Delmas J P. Optimal widely linear MVDR beamforming for noncircular signals[J]. Acoustics,Speech and Signal Processing, 2009, 37(26): 3573-3576.

[8] Chevalier P, Delmas J P. Performance analysis of the optimal widely linear MVDR beamformer[J]. IEEE Signal processing, 2009, 5(17):587-591.

[責任編輯:王輝]

A class method of minimum variance distortion response beamforming

SHAO Chao1, ZHAO Ni1, SHI Chaoxiong2

(1.School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2.School of Marine Science and Technolog, Northwestern Polytechnical Universety, Xi’an 710072, China)

Optimal widely linear minimum variance distortionless response beamforming normally requires available values of the array steering vector (ASV) and the signal non-circularity. To solve this strict limitation on the implementation of this beamforming, two approaches are proposed based on the limitation conditions of the minimum variance distortionless response beamforming. The first one translates the uncertainty constraints into the uncertainty for the whole extended steering vector. The second one uses the structure information of signal. Simulation results show that the two approaches can effectively implement beamforming without those limitations.

array signal processing, minimum variance distortionless response, robust beamforming

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.03.005

2013-12-30

陜西省科技廳工業攻關計劃基金資助項目(2012K06-27)

邵朝(1955-)，男，博士，教授，從事雷達陣列信號處理研究。E-mail: shaochao@xupt.edu.cn 趙妮(1989-)，女，碩士研究生，研究方向為寬帶無線通信。E-mail:zhaoni123@126.com

TN911.7

A

2095-6533(2014)03-0022-04