雙勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)不動點分析

劉 君， 邱海波， 惠小強

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

雙勢阱中玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)不動點分析

劉 君1，2， 邱海波2， 惠小強2

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西安郵電大學(xué) 理學(xué)院， 陜西 西安 710121)

在準經(jīng)典理論下，研究雙勢阱中的兩組分玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)的動力學(xué)屬性。利用平均場近似寫出該量子系統(tǒng)的經(jīng)典哈密頓量，通過數(shù)值及線性化分析，找到系統(tǒng)的對稱型、反對稱型、各向同性型及非對稱型共四類不動點。分別討論兩種特殊模式下的不動點數(shù)目的變化情況和穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)兩種模式出現(xiàn)不動點數(shù)目的上下限，且兩種模式下不動點的穩(wěn)定性與對應(yīng)系數(shù)矩的陣特征值有關(guān)。

兩組分玻色-愛因斯坦凝聚系統(tǒng)；不動點；哈密頓系統(tǒng)

由于材料科學(xué)和納米微加工技術(shù)的進步，電子器件尺寸越來越小，電子器件的大小進入了介觀和納米尺度，現(xiàn)代物理學(xué)器件的研究進入了量子可調(diào)控時期[1]。與此同時隨著社會信息處理和存儲量的爆脹，微處理器制造技術(shù)已經(jīng)達到了經(jīng)典極限，量子信息和量子計算將會是未來電子信息輸運技術(shù)發(fā)展的重要方向和支柱，而雙勢阱下的玻色-愛因斯坦凝聚態(tài)(Bose-Einstein Condensates, BECs)所具有的量子隧穿特性將對其發(fā)展提供很有利的幫助[2-3]。

近年來，有很多關(guān)于單組分BECs在雙阱下的研究，見文[4-6]及其參考文獻。與單組分情形相比較，多組分BECs由于存在種間相互作用而表現(xiàn)出更為豐富的物理特性[7]。如，自囚禁和約瑟夫振蕩現(xiàn)象的出現(xiàn)就與不動點的分析密切相關(guān)[8-10]，其根源在于量子特征值和經(jīng)典不動點之間存在聯(lián)系[11]。不動點是20世紀數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的一個重要發(fā)現(xiàn)，1909年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維創(chuàng)立了不動點理論。在此基礎(chǔ)上，不動點理論有了進一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動點的迭代思想。美國數(shù)學(xué)家萊布尼茨1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動點理論，稱為萊布尼茨不動點理論。1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動點個數(shù)問題，并提出了尼爾森數(shù)的概念。不動點目前主要的研究方向是受限或不限于歐氏空間中多面體上的映射，同時不動點相關(guān)的定理和理論也廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)建模、非線性動力學(xué)、分岔理論等研究[12]。

本文將由BECs系統(tǒng)的哈密頓量得到正則方程，繼而得到不動點的表達式，據(jù)此對其進行分類，并以兩種特殊模式下的不動點為例，分析不動點數(shù)目的變化和穩(wěn)定性情況。

1 不動點的分類

在實驗上，兩個耦合的玻色-約瑟夫遜結(jié)可通過囚禁雙勢阱中兩組分BECs來實現(xiàn)[13]。根據(jù)準經(jīng)典理論，相應(yīng)的哈密頓量為[14]

(1)

其中Sσ為雙勢阱中原子a和原子b的布居率差，而

θσ=θσL-θσR

是不同原子在左阱(L)和右阱(R)中的相對相位差，vσ是不同原子在勢阱間的隧穿率，uσ是種內(nèi)耦合強度，uab是種間耦合強度，a和b表示不同種的BECs，此外，以

表示單組分BECs的隧穿動力學(xué)行為，而記

HI=uabSaSb

為耦合項。該哈密頓系統(tǒng)的正則方程為

(2)

只考慮兩組分BECs具有相同的動力學(xué)特性的情形，即

ua=ub=u，va=vb=v。

根據(jù)不動點的定義，正則方程(2)的等式右側(cè)為零時可解得不動點的表達式

分情形進行討論。當Sa=Sb時，有

當Sa≠Sb,且Sa和Sn互為相反數(shù)時，有

根據(jù)Sa和Sb的關(guān)系,可將不動點分為對稱型(Sa=Sb)、反對稱型(Sa=-Sb或Sb=-Sa)、各向同性型(Sa=Sb=0)以及非對稱型(|Sa|≠|(zhì)Sb|)共4類[15]。

2 不動點數(shù)目的變化分析

接下來討論

(θa,θb)=(0,0), (θa,θb)=(π,π)

兩種模式下不動點數(shù)目的變化情況。

利用正則方程(2)等式右邊等于0和模式條件，可以得到

(3)

這里的θa和θb同時是0或π。

方程(3)定義了在平面(sa,sb)上的兩條曲線。對應(yīng)于不同的u,uab和v 的值,兩種模式下所描繪出的曲線分別如圖1和圖2所示。在每幅圖中，兩條曲線的交叉點代表著相應(yīng)的不動點。

圖1(a)對應(yīng)的是1個各向同性型不動點，而圖1(b)對應(yīng)的是1個各向同性型不動點和2個反對稱型不動點。圖2(a)對應(yīng)著1個各向同性型不動點，圖2(b)對應(yīng)著1個各向同性型和2個對稱型不動點，圖2(c)對應(yīng)著1個各向同性型、2個對稱型和2個反對稱型不動點，圖2(d)對應(yīng)著1個各向同性型、2個對稱型、2個反對稱型和4個非對稱型不動點。可見，各向同性型不動點始終存在的，對稱型和反對稱型不動點的出現(xiàn)則取決于相應(yīng)的邊界條件，而非對稱型不動點僅存在數(shù)值分析性而不具有解析分析性。

模式(θa,θb)=(0,0)的不動點數(shù)目變化比模式(θa,θb)=(π,π)簡單，前者只有各向同性型、反對稱型和對稱型3種，且不動點數(shù)目最多出現(xiàn)了3個，而后者則包含了全部4種類型，且不動點數(shù)目最多有9個。

3 不動點穩(wěn)定性的分析

另記

(4)

根據(jù)正則方程(2)，模式(θa,θb)=(π,π)下的運動方程可線性化為

(5)。

由系數(shù)矩陣Ω可以得到相應(yīng)特征值的平方項

(6)

其中

模式(θa,θb)=(0,0)中特征值平方項的推導(dǎo)更為簡單，詳細內(nèi)容可參見表1，由于非對稱型不動點不存在解析解，故未列舉。

表1 兩種特殊模式的不動點特征值解析表達式

由表1可知，只要相應(yīng)類型的不動點的特征值λ+和λ-都是實數(shù)，那么此時該類型的不動點就是穩(wěn)定的，反之亦然。

圖3和圖4分別給出兩種模式的不動點在一定范圍內(nèi)的分布。不動點數(shù)目及相應(yīng)不動點的穩(wěn)定性隨著uab和u取值的不同會有所變化。

在圖3(a)中，從區(qū)域A到區(qū)域B，不動點的數(shù)目從1個變?yōu)榱?個；各向同性型不動點始終存在但由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定；區(qū)域B中出現(xiàn)了2個穩(wěn)定的反對稱型不動點。

在圖4(a)中，區(qū)域A、B、C和D中的不動點的數(shù)目分別為1個、3個、5個和9個，各向同性型不動點始終存在但僅在區(qū)域A中是穩(wěn)定的；區(qū)域B、C、D中都有2個穩(wěn)定的對稱型不動點；區(qū)域C、D中都有2個反對稱型不動點，一個穩(wěn)定，另一個不穩(wěn)定；非對稱型不動點僅出現(xiàn)在區(qū)域D中，均不穩(wěn)定。

圖3(b)和圖4(b)分別與圖3(a)和圖4(a)的情況類似，相應(yīng)區(qū)間不動點的穩(wěn)定性并沒有變化，只是某些不動點的類型發(fā)生了變化：各向同性型和非對稱型不動點的類型未發(fā)生變化，對稱型和反對稱型的不動點轉(zhuǎn)到了彼此相反的類型。

4 結(jié)語

分析在一個對稱的雙勢阱下BECs系統(tǒng)模型的不動點情況，結(jié)果表明，所有不動點分成四大類：對稱型不動點、反對稱型不動點、各向同性型不動點及非對稱型不動點。通過正則方程線性化，先得到系數(shù)矩陣，再得到系數(shù)矩陣得到特征值，進而可說明(θa,θb)=(0,0)和(θa,θb)=(π,π)兩種模式不動點數(shù)目的變化情況，并結(jié)合穩(wěn)定性的分析畫出了這兩種動力學(xué)模式下不動點分布的相圖。對非線性系統(tǒng)不動點的分析結(jié)果可用于研究非線性系統(tǒng)測度同步和分岔現(xiàn)象。

[1] Taglieber M, Voigt A C, Aoki T, et al. Quantum Degenerate Two-Species Fermi-Fermi Mixture Coexisting with a Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 100(1): 401-403.

[2] Grifoni M, H?nggi P. Driven quantum tunneling[J]. Physics Reports, 1998, 304(5): 229-233.

[3] Timmermans E, Tommasini P, Hussein M, et al. Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates[J]. Physics Reports, 1999, 315(2): 199-205.

[4] Tsukada N, Gotoda M, Nomura Y. Laser-assisted coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 1999, 59(5): 3862-3867.

[5] Papp S B, Pino J M, Wieman C E. Tunable Miscibility in a Dual-Species Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 101(4): 402-405.

[6] Myatt C J, Burt E A, Christ R W, et al. Production of Two Overlapping Bose-Einstein Condensates by Sympathetic Cooling[J]. Physical Review A, 1997, 78(4): 586-589.

[7] Smerzi A, Fantoni S, Giovanazzi S, et al. Quantum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review Letters, 1997, 79(25): 4950-4953.

[8] Milburn G J, Corney J, Wright E M, et al. Quantum dynamics of an atomic Bose-Einstein condensate in a double-well potential[J]. Physical Review A, 1997, 55(6): 4318-4324.

[9] Raghavan S, Smerzi A, Fantoni S, et al. Coherent oscillations between two weakly coupled Bose-Einstein condensates: Josephson effects, π oscillations, and macroscopic quantum self-trapping[J]. Physical Review A, 1999, 59(1): 620-633.

[10] Mahmud K W, Perry H, Reinhardt W P. Quantum phase-space picture of Bose-Einstein condensates in a double well[J]. Physical Review A, 2005, 71(2): 615-622.

[11] Creffield C E, Monteiro T S. Tuning the mott transition in a Bose-Einstein condensate by multiple photon absorption[J]. Physical Review Letters, 2006, 96(21): 403-406.

[12] Pu H, Bigelow N P. Properties of Two-Species Bose Condensates[J]. Physical Review Letters, 1998, 80(6): 1130-1133.

[13] Ng H T, Law C K, Leung P T. Quantum-correlated double-well tunneling of two-component Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 2003, 68(1): 604-609.

[14] Qiu Haibo, Tian Jing, Fu Libin. Collective dynamics of two-species Bose-Einstein-condensate mixtures in a double-well potential[J]. Physical Review A, 2010, 81(4): 613-617.

[15] Xu Xiaoqiang, Lu Lihua, Li Youquan. Stability and dynamical property for two-species ultracold atoms in double wells[J]. Physical Review A, 2008, 78(4): 609-615.

[責(zé)任編輯:王輝]

Analysis of the fixed point for two components Bose-Einstein condensates in a double-well potential

LIU Jun1,2, QIU Haibo2, XI Xiaoqiang2

(1.School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Science, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

The dynamic properties of the two components Bose-Einstein condensates system in a double-well potential is studied within classical theory in this paper. The mean-field approximation is used to write the classical Hamiltonian of the quantum system, and then the numerical and linear analysis is used to find four types of the fixed point: symmetrical, antisymmetrical, isotropic and asymmetrical. The variety of the fixed point number and their stability of the two special modes are discussed. The results show that the stability of the fixed point is related to the eigenvalues of the matrix.

two components Bose-Einstein condensates system, the fixed point, Hamiltonian system

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.01.012

2013-09-14

國家自然科學(xué)基金資助項目(11104217, 11174165)

劉君(1989-)，男，碩士研究生,研究方向為信號與信息處理。E-mail: 1009170148@qq.com 邱海波(1982-)，男，博士，講師,從事耦合哈密頓系統(tǒng)測度同步的研究。E-mail: tooladde@gmail.com

O552.6

A

2095-6533(2014)01-0058-04