用Lagrange插值加速計算Vlasov輻射器圓對稱高次模的電場激勵

王東顯　林文斌　馬存良

摘 要： 在保持精度的前提下改進了矩量法計算Vlasov輻射器近場分布的計算效率。將EFIE應用于Vlasov輻射器近場計算，并用快速多極子法對其加速。當波導模式為圓對稱高次模時， Lagrange插值可以用于提高入射場的計算效率，與原始的計算方法比較，此方法精度基本不變，但計算激勵時間的效率大大提高了。

關鍵詞： 矩量法； EFIE（電場積分方程）； Vlasov輻射器； 近場分布； 圓對稱高次模

中圖分類號： TN828.6?34 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）11?0091?03

Abstract： The efficiency of calculating the near?field distribution of Vlasov radiator by Lagrange interpolation method was improved under the precondition of keeping the calculation accuracy. EFIE is used in the near?field calculation of Vlasov radiator， and accelerated with fast multipole method. When the waveguide mode is high?order circular symmetry mode， Lagrange interpolation can be used to improve the calculation efficiency of incident field. In comparison with the original calculation method， the accuracy of this method is almost same， but the efficiency of calculating the stimulation time is extremely improved.

Keywords： MoM； EFIE； Vlasov radiator； near?field distribution； high?order circular symmetry mode

0 引 言

當波導模式為圓對稱模TM0n或TE0n模時，為了獲得高方向性的天線發射，必須通過波導模式變換器將其變換為波導TE11或HE11模，或通過準光模式變換器變為自由空間的定向光束[1]。Vlasov輻射器是由俄羅斯科學家Vlasov于1975年首先提出的。當時的應用背景是：將回旋管輸出端的圓對稱高次模TM/TE0n模（[n≥1]）或Whispering Gallery模（TM/TE0n模，[m≥1]）轉換到TE11模，以實現定向線極化輻射[2?4]。

隨著計算機硬件和軟件技術的不斷發展進步，物理理論預測現實的精確度越來越高，數值方法在分析現實問題中起到越來越重要的地位。近年來不少學者用數值方法計算Vlasov輻射器的特性[1?2，5?7]，為準光模式變換器的設計提供依據[1，5?6]。用Kirchhoff口面積分和物理光學法對圓波導劈形端口或斜切形端口輻射器的輻射場進行求解。文獻[2]用矩量法和時域有限差分方法對Vlasov天線進行了系統研究。文獻[7]利用矩量法導出Vlasov輻射器端口處各種模式振幅的計算方法，并利用此方法通過數值計算研究了斜切形Vlasov輻射器的反射特性。

本文將Vlasov輻射器端口場分布的求解看做散射問題，運用Kirchhoff積分公式和矩量法對散射場進行數值求解，并與商業軟件FEKO結果進行比較。另外本文利用軸對稱原理和Lagrange插值加速了圓對稱高次模激勵的求解。

1 求解原理

將輻射器的求解看做散射問題[1]：

2 對特殊激勵的改進

用矩量法計算Vlasov輻射器激勵的時間復雜度為[O（M×N）]，其中[M]為面積分的積分點的數目，[N]為RWG基函數的數目。由表1可以看出當模式為TM04時[M]為13 785，且模式越高[M]越大，計算激勵的時間越復雜，傳統的矩量法已無法計算高階模式的激勵，即使商業軟件FEKO也很難或無法計算高階模式的激勵，所以需要對輸出端口為圓對稱高次模時的激勵進行改進，以便可以計算圓對稱高次模的近場分布，而在后面的算例中也驗證了此方法的正確性。

當Vlasov輻射器激勵為圓對稱高次模時，用柱坐標表示的[Ei（r）=Ei（ρ，?，z）=Ei（ρ，z）]即[Ei（r）]與[?]無關，對于式（4）中的[ρ=a]，激勵的大小只與[z]有關，只需要求不同[z]值處的激勵，對[z]軸離散求得若干[z]處的[Ei]值，然后用Lagrange差值方法求得任意點處的激勵值，使求解激勵的時間復雜度由[O（M×N）]減少為[O（N），]使用矩量法求解高次模Vlasov輻射器的近場成為可能。

根據上述理論，編制了數值分析程序，見表1。結果表明，利用金屬圓柱波導的對稱性可以大大提高求解激勵的效率，當波導模式為TM09時加速比可以達到2 392。

另外還對改進前后的數據進行對比，兩者完全吻合，證明在不影響精度或者改變很少的情況下可以大大提高求解激勵的效率。

3 算法算例

為了驗證上節算法的正確性，以有限長圓波導和階梯形Vlasov輻射器為例，分別計算其近場，并與商業軟件FEKO進行比較。

有限長圓波導，如圖1所示，底面半徑為4 mm，高為20 mm，波導模式TM02，頻率為90 GHz，求得其中心線（z為0.1～30 mm）上的電場（單位：V/m）并與FEKO比較如圖2所示，結果吻合。圖3為有限長圓波導內場分布。

為了觀察改進后對精度的影響，對改進前后的數據進行了對比，結果如圖6所示。

4 結 語

本文運用Kirchhoff面積分公式和矩量法對 Vlasov輻射器端口場分布進行求解，并對圓對稱模式求解激勵過程進行改進。計算表明，利用Vlasov輻射器圓對稱模的對稱特性可以大大提高計算激勵效率，在TM04和TM09模式下利用模式對稱對激勵的求解效率可以分別提高1 227倍和2 392倍。

參考文獻

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[5] 卓洪麗，蘭峰，楊梓強.220 GHz階梯形和斜切形Vlasov輻射器[J].信息與電子工程，2012，10（3）：290?294.

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[10] RAO S M， WILTON D R， GLISSON A W. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape [J]. IEEE Transactions on Antennas Propagation， 1982， AP?30（3）： 409?418.

為了觀察改進后對精度的影響，對改進前后的數據進行了對比，結果如圖6所示。

4 結 語

本文運用Kirchhoff面積分公式和矩量法對 Vlasov輻射器端口場分布進行求解，并對圓對稱模式求解激勵過程進行改進。計算表明，利用Vlasov輻射器圓對稱模的對稱特性可以大大提高計算激勵效率，在TM04和TM09模式下利用模式對稱對激勵的求解效率可以分別提高1 227倍和2 392倍。

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為了觀察改進后對精度的影響，對改進前后的數據進行了對比，結果如圖6所示。

4 結 語

本文運用Kirchhoff面積分公式和矩量法對 Vlasov輻射器端口場分布進行求解，并對圓對稱模式求解激勵過程進行改進。計算表明，利用Vlasov輻射器圓對稱模的對稱特性可以大大提高計算激勵效率，在TM04和TM09模式下利用模式對稱對激勵的求解效率可以分別提高1 227倍和2 392倍。

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