理論研究強激光場中2pz態氫原子的電離

初玉玲，唐增華，馬鳳才，李永慶

（1.赤峰學院物理與電子信息工程學院，赤峰024001；2.遼寧大學物理學院，沈陽110036）

將（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函數，經計算后可得

1 引 言

由于激光技術的不斷發展，原子與分子在強激光場中的非線性物理現象在理論和實驗上引起了廣泛的關注，例如閾上電離，雙電離，高次諧波的產生等［1-7］.但是由于強場電離機制的復雜性，即使是最簡單的氫原子在強激光場的電離，我們也不是十分清楚其中的電離機制［8］，所以為了進一步研究更為復雜的原子和分子的強場電離，有必要詳細地研究一下氫原子在強激光場中的電離情況.

由于電磁場中原子的Schr?dinger方程不能夠得到解析解，而且現在的計算能力也非常有限，所以到目前為止對于多電子原子是無法獲得精確的數值解.因此，現在研究強場電離的過程，分析與理解實驗的結果，只能借助一些理論模型.到目前為止，對于強激光場與物質相互作用研究的理論中，最重要的就是1965年Keldysh提出的單電子原子在強激光場中的光致電離理論［9］，在這一理論中，他推導了氫原子在線性偏振激光場中，由基態直接躍遷到Volkov連續態的電離率表達式，其中一個非常重要的貢獻就是提出了判斷不同電離機制的絕熱參數γ，即Keldysh參數.從他的表達式中能夠分析得到光致電離的主要特點［10］，例如光致電離率的指數相關性等特點，Keldysh理論開啟了強場物理研究的新篇章.目前，對于計算原子光致電離率的方法，除了Keldysh理論之外，還有兩個非常重要的理論，一個是Faisal理論［11］，他從S矩陣元出發，推導了原子強場多光子電離躍遷矩陣元的一般表達式，在推導過程中系統的末態忽略長程庫侖勢的影響.后來，Reiss［12］進一步發展了強場電離理論，使得這一理論能夠計算線性偏振和圓偏振激光場中任意階相互作用的躍遷幾率.Reiss理論與Keldysh理論一個重要的不同點就是原子和激光場之間相互作用的哈密頓表示形式不同，Keldysh 運用的是r?·F?形式，即長度規范，而Reiss運用的是p?·A?形式，即速度規范.Faisal獨立提出了強場電離的理論模型，他與Reiss都運用速度規范的相互作用哈密頓，但他采用直接時間S 矩陣形式，這三個理論后來就被稱為KFR 理論［13-17］.

眾所周知，電磁相互作用具有規范不變性，因此用不同規范的理論計算原子分子的電離率應該相同.Faisal也從理論上證明了表示原子從束縛態到自由態躍遷振幅的S矩陣元的級數，在規范變換下逐級都是不變的.然而，在用KFR 強場近似理論計算原子分子電離率的實際過程中，不同規范理論卻得出不同的結果.這兩種規范似乎構成了兩種不同的理論模型.尤其是最近，Bauer［18］分別在長度規范下和速度規范下計算了隧穿區域的1s態氫原子在強激光場中的電離率，從結果來看兩種規范的理論之間至少存在一個數量級的差異，對圓偏振的情況，這種差異更為明顯［19］.對于哪種規范的強場近似理論能夠更準確地描述強場電離過程引起了許多研究者廣泛的爭論.其中許多研究結果表明強場近似長度規范的理論優于速度規范的理論，與實驗數據以及Schr?dinger方程的數值解符合得更好.然而，也有一些人不認同此觀點，他們也提出了速度規范理論的優越之處.所以規范選擇的爭論十分激烈.為了研究兩種規范存在差異的本質原因，最近我們運用速度規范理論推導了強激光場中1s態氫原子電離率表達式，我們得到結果和Keldysh 在長度規范下的結果一樣簡潔，將會對兩種規范理論之間存在差異的原因研究提供一個重要的理論參考［20］，并且證明了兩種規范理論之間的差異不是由數學方法造成的，其中可能存在需要深入研究的問題.為了更好地理解強場電離機制，本文研究了激發態氫原子的強場電離情況.

我們以S躍遷矩陣理論［12］為出發點，一般而言，這是處理電子從束縛態躍遷到自由態的一種很好的方法.并且運用偶極近似原理，在這種情況下只考慮電磁場中的電場部分，電子只和強激光場作用，忽略原子核對電離電子的長程庫侖勢作用，電離電子的波函數用Volkov平面波來描述，這是一種非常適用的描述自由電子的方法.我們以2pz態氫原子為例進行計算，在隧穿電離的情況下 （Keldysh絕熱γ ＜＜1），運用速度規范理論推導了其在強激光場中的電離率公式，得到一個和Keldysh理論一樣簡潔的表達式，將會對原子強場電離機制的研究提供重要的理論參考.在推導過程中我們用到了兩個近似，分別是在積分過程中用到的鞍點積分方法［21］，并且假設電離電子的動量非常小，滿足p2＜＜2Eb.在推導過程中，使用的是原子單位（=m=?=1），電子的電荷數取-1.

2 理論計算

對于強激光場中的2pz態氫原子，由2pz態直接躍遷到Volkov連續態的光致電離率為

根據Reiss理論，躍遷矩陣元可以表示為［12］

其中ψf表示電子末態波函數，即Volkov連續態，φi表示無外場存在時的系統初態波函數，HA（t）是電子和激光場相互作用的Hamiltonian，在速度規范下可以表示為

對于線性偏振激光場，運用偶極近似原理，激光場的矢勢可以表示為（t）=cosωt，其中表示極化矢量方向，ω 是激光場的頻率，A 是矢勢的振幅，對應的電場可以表示為（t）=-?t（t）=sinωt，其中F=Aω 是電場強度，速度規范下Volkov波函數為

其中HA（，τ）是將 （3）中算符-i用其本征值替換.V 是歸一化常數.系統的初態波函數為

其中

將（4）式和 （5）式代入 （2）式，并利用ψf 是算符HA（t）的本征函數，經計算后可得

其中

Φ（ ξn ）是Dawson積分，定義為

其中

將（15）式代入 （9）中得到氫原子由2pz態躍遷到Volkov連續態的總電離率為（16）式為本文的一個主要結論：2pz態氫原子強場電離率的表達式，這個式子和Keldysh 推導的長度規范的基態氫原子的電離率表達式一樣簡潔，將對原子強場電離的研究提供一個理論參考.

3 計算結果與討論

這部分我們從數值上來分析和討論在速度規范下2pz態氫原子的電離率，并和其他研究者的結果進行比較.Bauer在速度規范下計算的圓偏振激光場中的2pz態氫原子電離率的表達式為［19］

其中Eb和n0的意義和前面是相同的，θ是動量和極化矢量方向之間的夾角，Jn是廣義Bessel函數.

由于我們研究的是低頻高強度激光場的情況，電離率的表達式是關于激光參數ω 和強度參數z1的函數，滿足條件ω＜＜1，z1＞＞1和附加條件F ＜＜1a.u..所以在實際的計算過程中，我們首先設定頻率ω 為固定值，強度參數z1作為變量，研究電離率隨強度參數z1如何變化，然后再反過來把強度參數z1作為固定值，而將頻率ω 作為變量，研究電離率隨頻率ω 如何變化，為了滿足低頻高強度的條件，在計算過程中我們取強度參數z1=100，或者取頻率ω=0.01a.u..在圖1中給出了三種情況計算的2pz態氫原子電離率的結果，它們分別隨著強度參數z1而變化，而頻率ω 固定為0.01a.u..文中 （9）式和 （16）式的結果分別用虛線和實線表示，2pz態氫原子在圓偏振激光場中的電離率即 （17）式用加點虛線表示，在圖2中，這三種氫原子的電離率表示形式和圖1中是相同的，不同的是在圖2中電離率是隨頻率ω 的變化情況，這時強度參數z1=100.在圖3中，當電場強度F ＜＜1a.u.時，三種情況的2pz態氫原子的電離率隨電場強度F 的變化情況，從這三幅圖中我們可以看出，我們本文中結果［（9）式和 （16）式］在數值上吻合地非常好.顯然，圓偏振激光場中的2pz態氫原子電離率要明顯小于線偏振的情況.此外，如果忽略小項γ2，本文中我們得到的結果的指數部分和Keldysh 以及Bauer等人的結果是相同的［9，18］，這些表達式的不同之處就在于指數前因子部分.

圖1 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨Reiss強度參數z1的變化，激光頻率ω 固定為0.01a.u.Fig.1 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the Reiss intensity parameter z1，with the laser frequency ωfixed at 0.01a.u.

圖2 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨激光頻率ω 的變化，Reiss強度參數z1固定為100Fig.2 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field as a function of the laser frequencyω，with the Reiss intensity parameter z1 fixed at 100.

圖3 圓偏振和線偏振激光場中2pz氫原子的電離率隨電場強度F 的變化，激光頻率ω固定為0.01a.u.Fig.3 Plot of 2pz hydrogen atom ionization rates for the linearly polarized laser field or circularly polarized laser field（forω=0.01a.u.）as a function of the electric field F

4 結 論

本文運用速度規范理論在隧穿電離的情況下推導了2pz態氫原子在強激光場中的電離率公式，我們的表達式要比Bauer在圓偏振激光場中運用同樣方法得到的結果要簡潔得多［19］，從目前的研究情況來看，這是運用速度規范理論計算的2pz態氫原子在強激光場中的電離率的最簡潔的表達式，通過數據分析可以看出，圓偏振激光場中2pz態氫原子的電離率通常要比線偏振激光場中的情況小幾個數量級.此外，對于隧穿電離的情況，本文中得到的電離率公式的指數部分和其他研究者得到的結果是相同的，這也說明了電離機制的本質是由公式中指數部分所決定的.

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