基于Pro/ENGINEER漸開線變位齒輪齒廓坐標方程的修正

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1 引言

目前，基于Pro/ENGINEER變位齒輪建模的問題前人已多有研究，可是仍有很多學者按照標準漸開線方程來建立變位齒輪模型，在變位時使用對標準漸開線按一定參數進行旋轉的操作方法來完成齒輪變位。這種方法所建立的模型與實際變位齒輪相差很大，本文的研究以期能修正這種錯誤。

要建立準確的變位齒輪建模，首先要從實際變位齒輪的成形入手，明確齒廓的形成過程，建立正確的齒廓漸開線方程，從而達到精準的建模目的。

2 齒輪的變位漸開線方程

根據機械原理，當用標準齒條刀具加工齒輪時，若刀具分度線與輪坯的分度線相切時，加工出來的齒輪為標準齒輪[1]，以分度圓為基準，若刀具分度線遠離或靠近齒輪輪坯中心距離xm時,所切制的齒輪稱為變位齒輪，其中m為齒輪模數，而x稱變位系數，遠離x為正值，靠近x為負值。

如圖1[1]所示，用標準齒條刀加工齒輪時，齒條插刀與輪坯的范成運動相當于齒輪與齒條的嚙合運動[1]，直線NP為漸開線齒輪傳動的嚙合線，P點是標準齒輪的嚙合點，當齒條沿徑向線OP遠離xm位移時，而嚙合線的位置總是不變[1]，所以嚙合點由原來的P點沿嚙合線移到K點，根據它們的幾何圖可得：

(1)

圖1 標準齒條刀加工齒輪圖

其中α為壓力角，從(1)式中可以看出，嚙合點K的位置隨x的值變化而變化，當x=0時，K點和P點重合。

在加工過程中，齒廓上的漸開線部分都是在齒輪嚙合點上被切制而成，根據這一點，可以將齒輪嚙合線看作是漸開線的發生線，回到漸開線的形成過程，來研究漸開線方程。如圖1和圖2所示，是將齒輪嚙合線看作是漸開線的發生線，P點和K點分別是標準齒輪和變位齒輪的嚙合點，同時也是漸開線形成的軌跡點，P點漸開線的坐標方程由機械原理可得：

(2)[1]

(3)

圖2 漸開線形成的軌跡點

根據(2)和(3)式可寫出 K點漸開線的漸開線方程：

(4)

再將u弧度制轉換為角度制時，K點漸開線的坐標方程為：

(5)

由于K點是齒輪變位后的漸開線方程，那么式(5)式就是變位齒輪齒廓的漸開線坐標方程。

3 參數化變位齒輪的設計

本設計應用Pro/E軟件建模為主[2]，主要介紹如何運用(5)式的變位漸開線方程建立準確的齒輪模型。

3.1 建立齒輪參數和關系式

3.1.1 參數

在軟件的主菜單“工具”欄里點擊“參數”并添加[3],如表1的參數所示：

表1 參數表

3.1.2 關系式

在軟件的主菜單“工具”欄里點擊“關系”，并添加如下關系：

d=z*m

db=d*cos(ang)

ha=(hax+x)*m

hf=(hax+cx-x)*m

da=d+2*ha

df=d-2*hf

ang1=(180*tan(ang))/pi-ang

ang2=90/z+ang1

ddx=x*m*sin(ang)

if hax<1

rr=0.46*m

endif

if hax>=1

rr=0.38*m

Endif

3.2 建立齒輪模型

3.2.1 創建漸開線

齒輪齒廓的漸開線方程是建立精確齒輪模型的基礎。在軟件的“曲線”創建里使用“從方程”建立齒廓曲線，缺省坐標為PRT_CSY_DEF，并建立笛卡爾坐標方程[4]：

r=db/2

u=t*90

x=r*sin(u)-cos(u)*(r*u*pi/180+ddx)

y=r*cos(u)+sin(u)*(r*u*pi/180+ddx)

z=0

其中上面的坐標方程就是(5)式的表達式，輸入到方程編輯器中，并保存，就會生成精確的漸開線。

3.2.2 創建齒廓曲線

漸開線創建后，在編輯里選擇特征操作，以坐標軸Z軸為中心，對漸開線進行旋轉操作，旋轉角度為ang2，將產生第二漸開線，接下來以RIGHT面為中心對第二條漸開線進行鏡像，將產生第三條漸開線，第二、三條漸開線就是所要建立的齒廓曲線。

3.2.3 生成齒輪實體

第一步，建立拉伸單齒實體，以FRONT面為草繪面，以坐標中心為中心，繪制如圖3所示的草圖，修剪如圖4后并拉伸，拉伸長度為齒寬b 。

第二步，建立齒根圓，以FRONT面為草繪面，以坐標中心為中心，繪制如圖5所示的圓并拉伸，拉伸長度為齒寬b 。

第三步，建立齒根倒圓，以FRONT面為草繪面，繪制如圖6所示的兩個小圓，小圓半徑為rr(參數)，修剪如圖7后并拉伸，拉伸長度為齒寬b，建成后如圖8所示 。

圖3草圖 圖4修剪

圖5齒根圓 圖6繪齒根倒圓

圖7倒圓修剪 圖8齒廓

圖9單齒陣列 圖10再生實體

第四步，建立全齒齒輪，將建立的單齒實體和齒根倒圓實體進行圓周陣列，圓周陣列的角度為360/Z，陣列數為齒數Z，最后得如圖9的齒輪實體。

以上就是建立齒輪模型的所有過程，為了驗證是否變位，在參數里將齒數Z=12，變位系數X=0.4，再生實體，得到如圖10的變位齒輪。

4 結語

本文采用正確的漸開線變位齒輪齒廓坐標方程，在Pro/ENGINEER中建立準確的齒輪模型，解決了以往齒輪模型與實際模型誤差很大的問題，實現了精確建模的理論及方法。

[1] 孫恒，陳作模.機械原理[M].北京：高等教育出版社，1996：289，297，286，276，256.

[2] 黃勇.三維CAD軟件在漸開線直齒圓柱齒輪中的參數化設計[J].機械傳動.2005,29(6)：33-35.

[3] 李燕.基于Pro/E的齒輪三維參數化特征造型設計[J].制造技術與機床,2003 (7)：30-32.

[4] 程相文，錢淑麗.基于Pro/E Wildfire的斜齒輪精確建模[J].機械設計與制造，2005(8)：60-61.