一種利用范數性質的無約束盲均衡準則

王大磊， 楊 賓， 吳 瑛， 王秀秀

(1. 信息工程大學 信息系統工程學院，河南 鄭州 450002；2. 西安電子科技大學 綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室，陜西 西安 710071)

在數字通信中，作為克服碼間干擾(Inter-Symbol Interference，ISI)的重要手段，均衡技術受到廣泛研究[1]．由于盲均衡方法無需訓練序列，可以節省帶寬資源，且適合多點通信和非協作接收等場合，因此，涌現出了大量的盲均衡方法．典型的有Bussgang類型，如恒模(CMA)算法[2]、多模算法[3-4]和混合算法[5]等．此類算法基于某種非最小均方誤差(MSE)的代價函數，采用隨機梯度法求極值，計算量小，實現簡單．然而，由于這類代價函數大都為非凸的，往往會局部收斂，導致不能充分消除ISI．

Shtrom和Fan依據向量范數的性質，提出了一類迫零盲均衡算法Shtrom-Fan算法(SFA)[6]，此類代價函數在信道與均衡器聯合響應域不存在假峰，能夠保證全局收斂．然而，SFA算法需要固定均衡器的某一個系數或對其歸一化約束，致使均衡器輸出與發送信號的增益比不為1，需要自動增益控制，且這種約束方法對均衡器收斂性能的影響并沒有嚴格的數學證明．之后，Abrar等[7]同樣利用向量范數性質，結合星座圖特點，提出了一種自適應的盲均衡算法βCMA．然而，該算法的參數是依據Bussgang的特性得到的，只反映了信號的部分統計特征，致使算法收斂后的穩態誤差較大．基于以上考慮，筆者依據向量范數性質，結合文獻[8]中將約束方程轉換為無約束方程的方法，給出了一種新的無約束盲均衡準則，證明了在無噪聲情況下，在代價函數的局部最優解處可實現理想均衡，且能夠實現發送信號幅值的恢復．可采用批數據處理和在線自適應迭代兩種方法更新均衡器系數，無需自動增益控制，實現簡單，同時穩態誤差更小．

1 系統模型

2 新的無約束盲均衡準則

2.1 SFA算法及βCMA算法

其中，γ為發送符號的最大幅值．然后，通過拉格朗日乘子法將約束條件引入到目標函數，得出一種自適應的迭代算法βCMA，即

wn+1=wn+μφ(yn)*xn，

(1)

其中，φ(yn)為誤差函數，可依據Bussgang特性求得．當|yn|<γ時，φ(yn)=yn；當 |yn|=γ時，φ(yn)=0；當 |yn|>γ時，φ(yn)=-βyn，β由發送信號的平均能量以及星座圖決定．盡管該算法能夠恢復發送信號的幅值，但由于其參數是依據Bussgang特性得到的，只反映了信號的部分統計特征，致使算法收斂后的穩態誤差較大．

2.2 新的無約束盲均衡準則

其中，p，q和ζ為實數，且0

(2)

其中，f: [0，∞]→R1，為一個分段連續實函數；g(x)=x2+f(x)，是在0≤x<1區間內單調遞增，在x>1 區間單調遞減的函數，并在x=1 處取得最大值．代價函數建立后，需要考察它的收斂性和極值點的分布問題．下面給出關于該代價函數收斂性的兩個定理．

定理1 當且僅當{si}序列中只有1個非零元素，且幅度為1，即s=δ(i-k) exp(jθ)時，J(s)取得最大值．

證明 由向量范數性質可得

定理2J(s)不存在假峰，即任何局部極大值解均對應理想均衡條件．

證明J(s)的平穩點滿足

(3)

式(3)的解為具有M個相同幅度元素的向量，且幅度aM滿足

2aM+f′(MaM)=0 ．

(4)

式(5)中，當α≠0時，不等式嚴格成立．因此，sM在M≥2時，不是局部極大值點．

因此，sM在M≥2時，也不是局部極小值點．從而這些點都是鞍點．綜上，J(s)平穩點中只有解向量集s1是局部極值點，同時也是全局最優解．證畢．

定理1保證了代價函數能夠取得最大值，定理2保證了代價函數的收斂性，采用隨機梯度法時能夠尋找到最大值．

為得到算法的具體形式，考慮一個二次函數，g(x)=-a(x-1)2+a，a>0，該函數滿足 0≤x<1 區間內單調遞增，x>1 區間單調遞減的性質．此時，代價函數為

(7)

由于該代價函數是定義在s域的，而s不能直接得到，要想將代價函數應用于盲均衡，必須將代價函數轉換為均衡器輸出{yn}的函數．在無噪聲情況下，有

(8)

(9)

其中，γ=max{|an|}．將式(8)和式(9)代入式(7)中，得到

(10)

該代價函數同大多數盲均衡算法[6，8，10]一樣，是在理想的無噪聲情況下得到的．然而實際中信道噪聲是存在的，對該代價函數的優化不能保證實現完全均衡．下面對有噪聲情況下算法的性能進行討論．由于s=wHH，則wH=sH-1，此時，式(8)修正為

(11)

(12)

3 算法實現

算法的兩種具體實現方式: 基于一段數據的批處理方法和在線自適應迭代方法．

3.1 批數據處理方法

采用隨機梯度下降法更新均衡器權值:

(14)

(15)

將式(16)和式(17)代入方程式(15)，得到

(18)

歸結起來，批數據處理算法步驟如下:

步驟1 收集一段長度為N的信道輸出數據，計算均衡器輸入向量的協方差矩陣的期望E[Xn]，并初始化均衡器．

步驟2 計算均衡器輸出序列{yn}．

步驟3 根據式(14)和式(18)計算新的均衡器權值，重復迭代直至收斂．

將式(14)和式(18)組成的批數據處理方法命名為批數據處理的無約束盲均衡算法(Batch Processing Unconstrained Equalization Algorithm，BP-UEA)．

3.2 在線自適應處理方法

(19)

(20)

其中，誤差函數Φ(yn)為

(21)

(22)

(23)

將式(14)、式(20)和式(23)組成的自適應迭代方法稱為簡化的自適應無約束盲均衡算法(Simplified Adaptive Processing Unconstrained Equalization Algorithm，SAP-UEA)．

4 仿真與分析

為了驗證文中算法的性能，可選取同樣基于向量范數性質的βCMA和SFA算法進行性能對比．在仿真中，如未特殊說明，條件統一設置如下: 均衡器輸入信號的疊加噪聲為高斯白噪聲，信噪比為 30 dB；均衡器階數為15階，初始化時中心抽頭為1，其他系數為0；AP-UEA和SAP-UEA算法中的參數p和a分別設為10和1，實驗次數為100次．

4.1 算法有效性的驗證

對文中算法的3種實現方法BP-UEA、AP-UEA和SAP-UEA的有效性進行了仿真驗證．信道采用文獻[12]中圖2所示的語音通信信道，信號采用16QAM調制的獨立同分布信號源．圖1(a)為BP-UEA算法的剩余ISI隨迭代次數的變化曲線，在步長相同時，N越大，收斂速度越快，穩態誤差越小．圖1(b)為AP-UEA算法和SAP-UEA算法剩余ISI隨迭代次數的變化曲線．可以看出，兩種自適應算法的性能幾乎無差別．相比自適應方法，批數據處理算法BP-UEA需要的樣點個數少，適合短時、數據量少的場合．

圖1 BP-UEA，AP-UEA和SAP-UEA算法的剩余ISI曲線

為驗證不同的初始化條件對均衡器性能的影響，對3種處理算法BP-UEA、AP-UEA及SAP-UEA進行如下仿真: 仿真條件同上，均衡器系數初始化為1的位置依次改變，得到剩余ISI隨不同初始化位置改變的曲線如圖1(c)所示．可以看出，盡管均衡器系數初始化為1的位置不同，使得穩態ISI不一致，但均衡器均能收斂．

為驗證算法在中等信噪比下的性能，以SAP-UEA算法為例進行如下仿真: 仿真條件同上，信噪比分別設為 15 dB，20 dB，25 dB，經過 6 000 次迭代，糾正相偏后的均衡輸出結果如圖2所示．

圖2 SAP-UEA均衡輸出星座圖

從圖2可以看出，隨著信噪比的降低，算法性能逐漸下降．然而，在中等至較高信噪比條件下，能夠得到較理想的均衡輸出結果．

4.2 與βCMA算法的性能比較

對自適應算法SAP-UEA與βCMA算法進行比較與分析．信號為8APSK調制的獨立同分布信號源，信道仍采用文獻[12]中的復信道．圖3為剩余ISI隨迭代次數的變化曲線．可以看出，SAP-UEA算法相比βCMA算法具有更低的穩態誤差，其原因可以從兩者的誤差函數Φ(yn)及φ(yn)看出．圖4為兩者的誤差函數曲線，其中，γ=2．當 |yn|?γ時，|Φ(yn)|? |φ(yn)|．因此，SAP-UEA算法具有更快的收斂速度；當 |yn|=γ，|Φ(yn)|=0 時，φ(yn)的符號會隨機變化，導致βCMA算法的穩態誤差較大．

4.3 與SFA算法的性能比較

對SAP-UEA算法與SFA算法的性能進行對比．發射信號為獨立同分布的16QAM調制信號，信道采用在文獻[13-14]所用的復信道，其脈沖響應如圖5所示．圖6為剩余ISI隨迭代次數變化的曲線．可以看出，SAP-UEA算法相比SFA算法的穩態誤差更小．這是由于SFA算法采用了均衡器中心抽頭系數固定為1的約束所造成的，這種約束在避免代價函數收斂至0的同時，也限制了均衡器系數的調整．而SAP-UEA算法的代價函數對均衡器沒有約束，在均衡器系數的更新過程中，都可以使其向最優方向調整．

圖3 SAP-UEA與βCMA算法的剩余ISI曲線圖4 誤差函數曲線

圖5 信道的脈沖響應圖6 SAP-UEA與SFA算法的剩余ISI曲線

5 結 束 語

基于向量范數的性質，給出了一種新的無約束盲均衡代價函數．并對代價函數的收斂性，極值點的分布進行了分析和討論；證明了在無噪聲情況下，在代價函數的每個局部最優解處可實現理想均衡，保證了采用隨機梯度法迭代時能夠使代價函數收斂；并給出了適應不同場合的批數據處理和在線自適應處理兩種方法．通過分析和仿真實驗說明，該方法在收斂速度和穩態誤差等方面優于文獻[6-7]中的方法．

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