基于改進(jìn)橢球模型的航線算法＊

李方能 李厚樸 吳延坤

（1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系 武漢 430033）（2.中石化地球物理公司中原分公司 濮陽(yáng) 257001）

1 引言

傳統(tǒng)的航路結(jié)構(gòu)是基于連接地基導(dǎo)航設(shè)備限定的各個(gè)固定航路點(diǎn)的航線縱橫交錯(cuò)而成的，通常按照導(dǎo)航臺(tái)—導(dǎo)航臺(tái)的原則進(jìn)行設(shè)計(jì)，每個(gè)航段的航線角和航程根據(jù)等角航線的模型進(jìn)行標(biāo)注，飛機(jī)只能在以導(dǎo)航臺(tái)為中心的輻射線或弧線上向臺(tái)或背臺(tái)飛行。20世紀(jì)70年代后期，隨著全球航空業(yè)的飛速發(fā)展，空中流量急劇增加，傳統(tǒng)的航路結(jié)構(gòu)難以滿足航班量增加的要求，延誤和空域擁擠問(wèn)題已成為航空界關(guān)注的焦點(diǎn)；同時(shí)，隨著全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)等遠(yuǎn)程導(dǎo)航設(shè)備的發(fā)展，導(dǎo)航精度越來(lái)越高，傳統(tǒng)的航路結(jié)構(gòu)就空域使用和機(jī)載設(shè)備能力的應(yīng)用而言顯得越來(lái)越缺乏經(jīng)濟(jì)性、靈活性和高效性［1］。為此，國(guó)際民航組織于1991年提出了區(qū)域?qū)Ш剑ˋrea Navigation，RNAV）的概念。區(qū)域?qū)Ш绞且环N導(dǎo)航方法，允許飛機(jī)在地基導(dǎo)航設(shè)備的基準(zhǔn)臺(tái)覆蓋范圍內(nèi)或自主導(dǎo)航設(shè)備能力限度內(nèi)，或兩者配合下按任何希望的路徑飛行［1～2］。區(qū)域?qū)Ш降膬?yōu)勢(shì)是可以建立路程更短的徑直航線以節(jié)約飛行成本，實(shí)現(xiàn)任意兩點(diǎn)間的直線飛行，建立平行或雙線航路以增加交通流量，提高空域資源利用率，縮短飛行間隔，進(jìn)一步提高空中交通管制的靈活性［2～3］。區(qū)域?qū)Ш绞悄壳皣?guó)際航空界的研究熱點(diǎn)，代表未來(lái)導(dǎo)航技術(shù)的發(fā)展方向。

現(xiàn)代客機(jī)普遍裝載有慣性導(dǎo)航系統(tǒng)（INS）和全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）等遠(yuǎn)程導(dǎo)航設(shè)備，可以實(shí)現(xiàn)國(guó)際民航組織倡導(dǎo)的區(qū)域?qū)Ш街瘘c(diǎn)飛行［4］。目前的機(jī)載區(qū)域?qū)Ш接?jì)算機(jī)在導(dǎo)航計(jì)算時(shí)采用的是大圓航線模型，該模型是建立在理想地球正球體基礎(chǔ)上的。然而地球并不是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的球體，而是近似于旋轉(zhuǎn)橢球體，以大圓航線為模型的計(jì)算結(jié)果和真實(shí)數(shù)據(jù)存在一定誤差，這對(duì)飛機(jī)的正常飛行和安全具有極大的影響。已有學(xué)者注意到了這一問(wèn)題并進(jìn)行了研究。周其煥等指出應(yīng)當(dāng)選擇考慮地球扁率影響的大橢圓航線模型進(jìn)行航跡計(jì)算［5］；方學(xué)東等研究了基于大橢圓航線模型的區(qū)域?qū)Ш胶铰芬?guī)劃問(wèn)題，推導(dǎo)出了初始航線角及航程的計(jì)算公式［6～7］。以往文獻(xiàn)在推導(dǎo)航線角計(jì)算式時(shí)沒(méi)有利用旋轉(zhuǎn)橢球體的對(duì)稱(chēng)性，給出的表達(dá)式復(fù)雜繁瑣；導(dǎo)出的航程計(jì)算公式在理論上不嚴(yán)密，若直接用于機(jī)載區(qū)域?qū)Ш接?jì)算機(jī)軟件，必將產(chǎn)生偏差；并且忽略了飛機(jī)飛行高度對(duì)航線角和航程計(jì)算的影響。由于當(dāng)今的民航客機(jī)飛行高度最大可達(dá)15km，而在軍事領(lǐng)域中日益受到關(guān)注的高空長(zhǎng)航時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度一般在20km以上［8］，因此為使機(jī)載區(qū)域?qū)Ш接?jì)算機(jī)計(jì)算出更為準(zhǔn)確的航跡，引導(dǎo)飛機(jī)沿航線精確飛行，建立考慮飛行高度的航線模型并給出正確的航線要素計(jì)算公式是十分必要的。鑒于此，本文對(duì)考慮飛行高度的航線算法問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，推導(dǎo)出了初始航線角的直接計(jì)算公式以及航程的嚴(yán)密計(jì)算式，從而為機(jī)載區(qū)域?qū)Ш接?jì)算機(jī)確定航線要素的提供了理論基礎(chǔ)。

2 地球模型及導(dǎo)航坐標(biāo)系

地球的自然表面高低起伏不平，是一個(gè)非常復(fù)雜而又不規(guī)則的曲面，無(wú)數(shù)學(xué)規(guī)律而言。為便于計(jì)算，需要選定一個(gè)與地球形狀極為相近的、可用簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)公式表示的、且能確定其與地球相關(guān)位置的表面作為基準(zhǔn)面。研究表明，地球的赤道半徑比短半徑約大21km，地球的真實(shí)形狀接近于南北稍扁的旋轉(zhuǎn)橢球。

表1 若干參考橢球的相關(guān)參數(shù)

參考橢球是與大地體吻合最好的旋轉(zhuǎn)橢球，它代表地球的數(shù)學(xué)模型，可由長(zhǎng)半徑a和扁率α來(lái)描述［9～10］。17世紀(jì)以來(lái)，許多國(guó)家的學(xué)者和機(jī)構(gòu)根據(jù)不同地區(qū)、不同年代的觀測(cè)資料推算出了若干地球參考橢球，具體如表1所示。

在航路規(guī)劃、制作導(dǎo)航數(shù)據(jù)庫(kù)及引導(dǎo)飛機(jī)飛行的過(guò)程中，存在兩種坐標(biāo)系，一種是以參考橢球的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，另一種是大地坐標(biāo)系。空間直角坐標(biāo)系中某點(diǎn)位置可用該點(diǎn)在坐標(biāo)系各個(gè)軸上的投影（X，Y，Z）來(lái)表示；大地坐標(biāo)系則采用大地緯度B、大地經(jīng)度L和大地高程H來(lái)描述空間位置。大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至空間直角坐標(biāo)的數(shù)學(xué)關(guān)系為［9～10］

3 考慮飛行高度的改進(jìn)橢球模型

圖1 子午面直角坐標(biāo)系

如圖1所示，P點(diǎn)表示飛機(jī)當(dāng)前所在的航路點(diǎn)，其大地坐標(biāo)（BP，LP，HP）可由機(jī)載遠(yuǎn)程導(dǎo)航設(shè)備實(shí)測(cè)得到，由式（1）可得其空間直角坐標(biāo)（XP，YP，ZP），圖1中VP＝。在保持地球參考橢球中心O和短半軸方向不變的情況下，作一新橢球，使新橢球通過(guò)P點(diǎn)，并保持P在新橢球和原橢球中的大地經(jīng)緯度不變，該新橢球即本文建立的考慮飛行高度的改進(jìn)橢球。設(shè)新橢球的長(zhǎng)半軸為an，第一偏心率為en，則由大地測(cè)量學(xué)可知［10］：

式中OK表示過(guò)P點(diǎn)的新、舊橢球的法線PK與短軸的交點(diǎn)K至橢球中心O的距離，Nn、N分別表示新、舊橢球中P點(diǎn)處的卯酉圈曲率半徑，則有：

由式（2）并顧及式（3）可得：

至此，新橢球的第一偏心率en和長(zhǎng)半軸an完全確定。

4 大橢圓航線要素計(jì)算

建立新橢球后，此時(shí)飛機(jī)航跡為新橢球上的大橢圓航線，即通過(guò)航路起點(diǎn)、終點(diǎn)和橢球中心所作的平面切割橢球得到的一個(gè)截面橢圓。飛機(jī)沿該航線航行時(shí)，必須隨時(shí)確定飛機(jī)的大地坐標(biāo)，并結(jié)合航路點(diǎn)大地坐標(biāo)計(jì)算出初始航線角和航程。

4.1 大橢圓航線的初始航線角

圖2 大橢圓航線示意圖

設(shè)航行起點(diǎn)的大地坐標(biāo)為P1（B1，L1，H1），可按上節(jié)方法建立考慮高度H1的新橢球，如圖2所示，新橢球的長(zhǎng)半軸an和第一偏心率en可按上節(jié)給出的公式計(jì)算，只是需將（BP，LP，HP）替換為（B1，L1，H1）。航行起點(diǎn)P1在新橢球上的大地坐標(biāo)變?yōu)椋˙1，L1，0），設(shè)航行終點(diǎn)P2在新橢球上的大地坐標(biāo)為（B2，L2，0），經(jīng)緯度坐標(biāo)可由導(dǎo)航數(shù)據(jù)庫(kù)提取。顧及橢球的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)P1（B1，0，0）和P2（B2，ΔL，0），ΔL＝L2－L1，并對(duì)可能出現(xiàn)ΔL＞180°或ΔL＜－180°的情況進(jìn)行規(guī)范化處理，即如果ΔL＞180°，則ΔL＝ΔL－360°，直至ΔL≤180°；如果ΔL＜－180°，則ΔL＝ΔL＋360°，直至ΔL≥－180°。P0QO是通過(guò)P1、P2兩點(diǎn)和橢球中心O的截面橢圓，易知該截面橢圓的橫軸必與新橢球的赤道圓的直徑相重合，因而截面橢圓的長(zhǎng)半軸等于該新橢球的長(zhǎng)半軸an。Q點(diǎn)為該截面橢圓與橢球面某一子午線正交處，為截面橢圓的極，該點(diǎn)為截面橢圓上緯度最高處，OQ的長(zhǎng)度即截面橢圓的短半徑ˉb。初始航線角A是指P1所在子午線北向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至橢圓P0QO在該點(diǎn)處的切線（指向P2）所經(jīng)過(guò)的角度，變化范圍為（0°，360°）。欲求初始航線角，首先需要確定子午圈所在平面NP1O與截面橢圓P0QO的夾角A1。令式（1）中H＝0，可得新橢球中大地坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為空間直角坐標(biāo)的公式為

上式展開(kāi)后得到：dX＋fY＋gZ＝0，式中d＝－Y2Z1，f＝X2Z1－X1Z2，g＝X1Y2。通過(guò)P1、N、O的空間平面方程為：Y＝0。平面NP1O與截面橢圓P0QO的夾角A1亦即兩平面法線矢量間的夾角，由向量點(diǎn)積可得：

表2 初始航線角A與A1的關(guān)系

4.2 大橢圓航線的航程

如圖2所示，大橢圓航線的航程S即截面橢圓中劣弧P1P2的長(zhǎng)度。為求航程，首先需要確定截面橢圓P0QO的短半徑ˉb和偏心率ˉe。

該截面橢圓的極點(diǎn)Q處的地心緯度Φ0即赤道平面與截面橢圓P1P2O所在平面的夾角。考慮到赤道面方程為Z＝0，由兩平面法線向量點(diǎn)積可得：

子午橢圓NOE的直角坐標(biāo)方程式為

式中bn為新橢球的短半軸。直角坐標(biāo)V、Z與極坐標(biāo)ρ、Φ之間的關(guān)系為

將式（11）代入式（10），可得：

將由式（9）確定的Φ0代入上式，即得截面橢圓P0QO的短半徑：

至此，可確定出該截面橢圓的偏心率：

該截面橢圓與赤道面的交線P0P′0的方程為

即：dX＋fY＝0，該直線與赤道圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可由式（16）確定：

易知這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

由向量點(diǎn)積可得：

整理后得到：

根據(jù)文獻(xiàn)［6］的說(shuō)明，該式中的變量φ即截面橢圓P0QO中的夾角變量。事實(shí)上，利用該公式來(lái)計(jì)算航程從理論上講是不嚴(yán)密的。因?yàn)樵诮孛鍼0QO中，夾角變量實(shí)際上是該橢圓的地心緯度變量，而式（22）中的自變量φ則是該橢圓的歸化緯度變量（此時(shí)截面橢圓的參數(shù)方程為：x＝ancosφ，y＝ˉbsinφ），地心緯度與歸化緯度之間的關(guān)系詳見(jiàn)文獻(xiàn)［9］和文獻(xiàn)［10］，因此利用式（22）計(jì)算航程顯然是不嚴(yán)密的。本節(jié)將給出嚴(yán)密的計(jì)算公式。

根據(jù)式（12）的有關(guān)推導(dǎo)，截面橢圓P0QO的極徑ˉρ可以表示為

式中φ為該橢圓的地心緯度變量。該橢圓的參數(shù)方程為

在截面橢圓P0QO中，從赤道至φ處的弧長(zhǎng)S（φ）可由對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分表達(dá)式得到：

式（25）為橢圓積分，無(wú)法直接積出。注意到ˉe很小，因此可將被積函數(shù)展開(kāi)為ˉe的冪級(jí)數(shù)形式，之后再進(jìn)行積分，以上過(guò)程可利用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica［11］完成。在Mathematica中輸入以下命令：

可以得到：

以上結(jié)果可進(jìn)一步整理為

式中系數(shù)為

將θ1、θ2代入式（26），可依次得到自P0至P1、P2處的弧長(zhǎng)S（θ1）、S（θ2）。至此，大橢圓航線的航程S為

考慮到在某些情況下θ1有可能大于θ2，S（θ2）與S（θ1）的差為負(fù)，因此這里取S（θ2）與S（θ1）差的絕對(duì)值作為航程。

特別，如果飛機(jī)的初始航線角A＝90°或A＝270°，即飛機(jī)沿等緯圈航行時(shí)，式（6）及式（26）將不再適用，此時(shí)航程S的計(jì)算公式應(yīng)為

5 算例分析

設(shè)飛機(jī)從北京P1（40°N，116°E）起飛，飛行高度約為10km，終點(diǎn)為底特律P2（43°N，83°W），選用表1中的WGS84橢球參數(shù)，利用本文給出的有關(guān)公式確定其初始航線角和航程。

1）初始航線角A的計(jì)算

WGS84橢球的第一偏心率為

由式（3）知參考橢球中起點(diǎn)P1處的卯酉圈曲率半徑為：N1＝6386976.172，新橢球中該點(diǎn)處的卯酉圈曲率半徑為：Nn＝6386976.172＋10000＝6396976.172，由式（4）和式（5）可得新橢球的第一偏心率和長(zhǎng)半徑：en＝0.081755244960998，an＝6388137.010。根據(jù)新橢球的對(duì)稱(chēng)性，可設(shè)P1（40°N，0°E）和P2（43°N，ΔL），ΔL＝－83°－116°＋360°＝161°E。根據(jù)式（6）可得新橢球中航行起點(diǎn)和終點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)分別為

由式（7）可得：d＝－6.22228×1012，f＝－3.93106×1013，g＝7.46532×1012。根據(jù)式（8）可得：A1＝13.8863°，由表2知，初始航線角A＝A1。

2）航程S的計(jì)算

由式（13）和式（14）可得截面橢圓P0QO的短半徑和第一偏心率為：ˉb＝6367475.599，ˉe＝0.080363052034348；根據(jù)式（20）和式（21），可得：θ1＝0.709457，θ2＝2.377986分別代入式（25）得到：S（θ1）＝4.52989×106S（θ2）＝1.51612×107，因此航程為

作者對(duì)不考慮飛機(jī)飛行高度的情況進(jìn)行了計(jì)算，得 到 此 時(shí) 初 始 航 線 角 為 13.8864°，航 程 為1.06147×107m，與考慮高度時(shí)的航程相差16600m，可見(jiàn)飛行高度對(duì)航程的影響比較明顯。將此時(shí)的θ1、θ2代入文獻(xiàn)［6］和文獻(xiàn)［7］給出的式（22），得到的航程為1.06352×107m，比考慮高程時(shí)的航程還要大，顯然是不合理的，究其原因是該式將歸化緯度和地心緯度的概念混淆了。

6 結(jié)語(yǔ)

目前，機(jī)載區(qū)域?qū)Ш接?jì)算機(jī)在計(jì)算航跡時(shí)采用的是大圓航線模型，為滿足遠(yuǎn)距離高精度導(dǎo)航的需要，本文建立了顧及飛機(jī)飛行高度的改進(jìn)橢球模型，系統(tǒng)地討論了大橢圓航線要素的計(jì)算問(wèn)題。研究表明：

1）利用改進(jìn)橢球模型的對(duì)稱(chēng)性，推導(dǎo)出了計(jì)算大橢圓航線初始航線角的直接公式，給出了象限判斷原則，與以往文獻(xiàn)中的公式相比，該式形式簡(jiǎn)潔明了，便于應(yīng)用。

2）前人給出的航程計(jì)算公式在理論上是不嚴(yán)密的，本文采用空間向量分析方法，借助 Mathematica代數(shù)系統(tǒng)，推導(dǎo)出了嚴(yán)密的計(jì)算公式，該式系數(shù)為關(guān)于大橢圓偏心率的符號(hào)形式，可解決不同參考橢球下航程的計(jì)算問(wèn)題。算例分析表明在進(jìn)行遠(yuǎn)距離航行時(shí)，飛行高度對(duì)航程的影響比較明顯，需要加以考慮。

3）采用本文給出的計(jì)算方法改進(jìn)飛機(jī)的區(qū)域?qū)Ш接?jì)算軟件后，可以得到更為準(zhǔn)確可靠的初始航線角和航程，從而可以減小飛機(jī)的顯示誤差，降低飛行員的心理負(fù)荷，進(jìn)一步提高飛機(jī)的安全性和經(jīng)濟(jì)性。

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