基于動力學模型的彈道式再入彈道估計方法*

江曉東，謝京穩，郭軍海

(北京跟蹤與通信技術研究所，北京 100094)

0 引言

飛行器再入大氣飛行的特點是速度快，并由于受到復雜的空氣動力影響而呈現出強的非線性特性[2]。Julier和Uhlmann[3-4]等利用UT(unscented transform)變換，提出unscented Kalman filter(UKF)，由于不需要對非線性系統進行線性化，可有效地應用到非線性系統的狀態估計中。文獻[5-6]在再入目標彈道估計的背景下，對3種非線性濾波——擴展卡爾曼濾波(extended Kalman filter，EKF)，UKF和粒子濾波(particles filter，PF)的濾波性能進行了對比分析，從計算量、濾波性能和濾波的穩健性上綜合考察，UKF是這3種濾波算法中最優的。

1 彈道式再入目標的動力學模型

彈道式再入飛行器在再入過程中只受到空氣阻力和重力的作用，在地心慣性坐標系[7]下，其總加速度的表達式為[7]：

a=aD+aG+w,

(1)

式中:a為目標的總加速度；aD為空氣阻力引起的加速度；aG為地心引力引起的加速度；w為系統狀態噪聲，假定服從高斯分布，其方差為模型設計參數。

在地心地固坐標系[7]下，加速度表達式在式(1)的基礎上修正為

(2)

式中:ar為目標相對總加速度;ωe為地球自轉角速度向量；p為目標的位置向量；v為再入體相對大氣的速度向量；2ωe×v為科里奧利力引起的加速度；ωe×(ωe×p)為慣性離心力引起的加速度。

空氣阻力的方向與目標相對于空氣的速度矢量v相反，與空氣密度ρ和目標速度v的平方成正比，空氣阻力引起的加速度為

(3)

式中：uv=v/|v|為vr的單位向量；ρ(h)為空氣密度，h為高程，本文中采用文獻[8]提出的大氣密度模型。

α(t)為阻力參數，其倒數β(t)=1/α(t)也稱彈道系數。對彈道式再入飛行器來說，α(t)是一個非常重要的參數，它通常是未知變量，因此經常也將其作為待估狀態參量，增加到運動狀態向量中，使得狀態向量從6維變為7維X=(x,y,z,vx,vy,vz,α)T。α(t)的建模方式有多種，適用于不同的環境。文獻[7]對其模型進行了系統的總結。本文選用指數模型，即對阻力參數的比率γln(α/α0)進行建模：

α(t)=α0exp(γ(t)),

(4)

(5)

式中:ωγ(t)為高斯白噪聲；α0為預先知道的典型阻力參數。這樣，待估狀態向量變為X=(x,y,z,vx,vy,vz,γ)T。這種建模方式需要先驗信息α0，但保證了阻力參數恒正，這對于保證濾波的穩定性至關重要[3]。

基于式(1)和(3)，將加速度的矢量形式寫成分量形式，整理可得

(6)

最后，基于方程(5)和(6)可得彈道式再入飛行器的動力學模型為

(7)

將此模型記為BRV-Exp模型，式(7)為變系數非線性常微分方程組，難以給出解析解，但可借助歐拉積分法或龍格庫塔法給出數值解，以便進行狀態參量的預測。

2 多臺雷達的測量模型

單臺雷達的測量模型[9]為

(8)

記為

Y1(k)=h1(X(k))+v1(k),

(9)

基于N臺雷達的總測量模型為[10]

Y(k)=h(X(k))+v(k),

(10)

式中：Y(k)=(Y1(k),Y2(k),…,YN(k))T；

h(·)=(h1(·),h2(·),…,hN(·))T；

v(k)=(v1(k),v2(k),…,v3(k))T.

設v(k)服從正態分布N(0,R(k))，R(k)=diag(R1(k),R2(k),…,RN(k))，這樣基于狀態轉換模型(7)和測量模型(10)，就可利用UKF進行再入目標的彈道估計了。

3 不敏卡爾曼濾波(UKF)

UKF是由Julier等人首先提出的。UT變換是UKF的基礎，它通過構造一個確定的點集(Sigma點)，使得它與當前狀態具有相同的統計特征，即均值和方差相同。具體來說，UT變換利用當前狀態(均值和方差)構造點集{Xi(k)}，然后讓每個點Xi(k)通過非線性方程，得到非線性變換后的點集{Yi(k)}，預測均值和方差可以在{Yi(k)}點集上求得。

設待估狀態向量維數為L，則Sigma點的個數為一般為2L+1，為了增加Sigma點的個數，以提高估計精度，通常需要對狀態向量進行擴維，擴維后的狀態向量由目標狀態向量，狀態噪聲和測量噪聲組成，即Xa=(XT,vT,nT)。擴維UKF(augmented UKF，AUKF)算法流程如下[11]：

初始化：

(11)

(12)

(13)

(14)

計算Sigma點及其權值：

(15)

(16)

(17)

(18)

預測：

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

更新：

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

4 仿真結果與分析

圖1 再入目標的軌跡及測量雷達布局圖Fig.1 Trajectory of re-entry target and measuring-radar layout

圖2 位置分量殘差的均值對比圖Fig.2 Comparison chart of position residuals error mean

圖3 速度分量殘差的均值對比圖Fig.3 Comparison chart of velocity residuals error mean

圖4 位置分量的均方根誤差對比圖Fig.4 Comparison chart of position root-mean-square error

圖5 速度分量的均方根誤差對比圖Fig.5 Comparison chart of velocity root-mean-square error

表1 均方根誤差的均值Table 1 Mean of velocity root-mean-square error

方法名稱Δx/mΔy/mΔz/mΔvx/(m·s-1)Δvy/(m·s-1)Δvz/(m·s-1)基線方向余弦法0.870 20.967 11.965 80.055 40.094 40.156 4動力學模型法 0.133 70.135 20.253 60.029 60.036 70.070 1

5 結束語

參考文獻：

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CAI Hong，ZHANG Jin-huai．Adaptive Filtering Approaeh for Missile Flight Test Trajectory Deterrulnation Under Multiple Station Measuring[J]．Aerospace Control，1997(2)：17-22．

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[12] 胡紹林，許愛華，郭小紅．脈沖雷達跟蹤測量數據處理技術[M]．北京：國防工業出版社，2007：120-135．

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