基于協方差分析的一種改進比例制導律研究*

馮德龍,楊鎖昌，劉映希

(1.軍械工程學院 導彈工程系，河北 石家莊 050003；2.西安電子科技大學 雷達信號處理實驗室，陜西 西安 710071)

0 引言

導彈制導系統是一個具有隨機輸入的非線性時變系統，在此系統中含有非線性因素和一些隨機效應，這些非線性因素和隨機效應影響導彈制導精度。對具有隨機輸入的非線性時變系統進行統計分析，傳統的方法是采用Monte Carlo方法。但由于此方法存在計算量大、耗時過長的缺點，使得在一些對快速性能要求較高的環境無法使用該方法。協方差分析描述函數技術(covariance analysis describing equation technique，CADET)是在20世紀70年代由美國人A.Celb和R.S.Warren共同提出的對戰術飛行器制導系統性能進行統計分析的一種新方法。它解決了Monte Carlo方法快速性能較差的缺點[1]。協方差分析是一種用于分析具有隨機輸入的時變線性系統的計算機工具。應用這種方法，通過對非線性矩陣微分方程式進行直接積分，就可以產生作為一個時間函數的系統狀態向量協方差矩陣。應用這種技術，可以預估導彈制導系統的統計特性[2-4]。

1 CADET技術

1.1 協方差分析描述函數技術的基本原理

假設具有隨機輸入的連續非線性系統狀態方程為[5]

(1)

式中：f(x,t)為n維系統狀態變量x(t)的非線性向量函數。非線性時變系統方程如圖1所示。

圖1 非線性時變系統方程示意圖Fig.1 Schematic diagram of nonlinear time-varying system

非線性系統的傳播方程：

GT(t).

(2)

定義輔助矩陣N，使得

NP(t)=Ef(x,t)rT,

(3)

(4)

由于P(t)是正定的，故有

N=Ef(x,t)rTP-1.

(5)

根據上述統計線性化原理，令非線性函數向量f(x,t)可近似描述為x(t)的一個線性函數：

(6)

(7)

非線性時變系統均值方程和協方差傳播方程為

(8)

初始條件同上，利用方程(8)和初始條件式可直接解算系統變量的誤差統計特性。

1.2 高斯假設

目前，大多數協方差描述函數技術的研究都是采用假定系統狀態變量為高斯分布的辦法[6-7]。

(1) 高斯假設的重要結論

1)設系統的狀態變量都是正態的，則矢量非線性函數f(x,t)中的每一個標量非線性函數都可以單獨進行準線性化。

(9)

(10)

(2) 高斯假設的合理性

高斯分布的隨機過程通過非線性系統，其輸出量就變成非高斯分布的了[8]。即使這樣，高斯假設在工程上仍有它的實用價值，原因在于導彈制導系統的線性部分通常都具有較好的低通濾波作用。由中心極限定理可知，非高斯分布的隨機過程通過低通濾波后，將趨向于高斯隨機過程。由于系統線性部分的濾波作用，使得高斯假設基本成立。

(3) 根據上述理論假設[9]

1)x(t)服從聯合正態分布。

2) 非線性的隨機干擾以線性方式加入到系統當中，且服從正態分布。

2 一種改進比例制導律精度分析

2.1 制導回路模型

圖2 制導回路模型Fig.2 Guidance loop model

導彈自尋的末制導回路模型包括自動駕駛儀模型、導引頭模型、導彈目標相對運動模型、制導律和目標機動模型[10-11]，其相互關系如圖2所示。

2.2 制導律

本文對一種改進的比例導引律進行分析，其形式如下：

(11)

2.3 協方差分析

后面幾個字起了作用，花五奇這些年作為德公公貼身護衛，早已習慣眉高眼低看人，老太醫往往品級不低，且能與后宮說上話，輕易不能得罪，于是他暫時放下兵器，不耐煩地問道：“老太醫？什么老太醫？”

圖3 制導回路Fig.3 Guidance loop

(12)

式中：

(13)

因為上述一階微分方程式是狀態的函數，它們可以寫成狀態空間表達如下：

(14)

定義：

則系統狀態方程可以表述為

(15)

式中：x(t)為系統的狀態；F(t)為系統動態特性矩陣；u(t)為具有譜密度矩陣Q(t)的白噪聲矢量，即

Q(t)=Eu(t)uT(t)，

(16)

(17)

其中協方差矩陣X(t)與x(t)的關系為

X(t)=Ex(t)xT(t).

(18)

如果隨機干擾具有零均值，則協方差矩陣的對角元素表示狀態變量的方差。協方差矩陣的非對角元素表示狀態變量之間的相關程度。

3 仿真分析

3.1 程序仿真

整個仿真程序都是采用Matlab編寫，仿真的流程圖如圖4所示。

圖4 CADET仿真流程圖Fig.4 Flow chart of CADET simulation

根據圖4所示的線性化末制導模型，導彈飛控系統為一階慣性環節且時間常數T為1 s，飛行時間tf為0～10 s，有效導航比為3，比例系數F為0.5，彈目相對速度為4 000 m/s，目標的加速度為5 m/s2。在制導系統中唯一的誤差源是目標機動特性為3g的階躍機動且開始時刻在整個飛行時間內均勻分布。仿真結果如圖5～8所示。

圖5 比例導引律的協方差分析Fig.5 Covariance analysis of proportional guidance law

圖6 改進比例導引律的協方差分析Fig.6 Covariance analysis of improved proportional guidance law

圖7 比例導引律的導彈加速度變化Fig.7 Missile acceleration change of proportional guidance law

圖8 改進比例導引律的導彈加速度變化Fig.8 Missile acceleration change of improved proportional guidance law

3.2 結果分析

如圖8所示是整個飛行時間為10 s時，導彈與目標的相對距離的總的標準差。由圖5和圖6可以看出這種改進的比例導引律比之前的導引精度提高了大約3倍，所以這種改進是有效的、可行的。與伴隨技術不同，協方差分析方法在一次仿真中并不能提供所有不同飛行時間的脫靶量，但協方差分析方法可以得到在一次飛行時間內所有時刻的相對距離y的信息，在飛行結束時，相對距離即為脫靶量，即σmiss=σy(tf)，而且也可以得到圖7和圖8所示的導彈加速度變化。

4 結束語

協方差分析描述函數技術是非線性時變系統統計分析的一種近似解析方法，它可以通過一次解析計算得到系統所有狀態變量的統計性能。該方法較傳統的蒙特卡羅試驗法要節省很多計算時間。本文對于一種改進的比例導引律，應用協方差分析法驗證了其可行性。協方差分析方法雖然也適用于分析隨機干擾的影響，但是只能獲得飛行末端時刻的脫靶量，對各干擾的影響需進行獨立仿真。

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