基于直覺模糊聚類算法的導彈打擊目標規劃*

賀小亮，滿莉

(1.第二炮兵工程大學 初級指揮學院，陜西 西安 710025； 2.國防大學 研究生學院，北京 100091)

0 引言

導彈主要用于打擊敵縱深戰略戰役目標，其以射程遠、精度高、毀傷大等優點成為我軍聯合火力打擊行動中的一支重要力量。合理的目標規劃是導彈火力運用的核心問題之一，對整個作戰進程影響重大。由于目標的多屬性特點，在規劃時各屬性存在一定的模糊特征。傳統的模糊聚類算法對目標規劃分類時，對單一的隸屬度函數依賴較重，不能充分利用各模糊屬性信息，有一定的局限性。

直覺模糊集[1-5]是對Zadeh模糊集的一種重要擴充和拓展，其隸屬度函數μA(x)、非隸屬度函數γA(x)及直覺指數πA(x)可以分別表述x對集A支持、反對及中立的程度，因而有效克服了Zadeh模糊集單一隸屬度函數的局限性，能夠更加細膩地描述客觀對象的模糊性本質[6]。

基于此，本文利用直覺模糊集的這類優點，將直覺模糊聚類算法用于導彈打擊目標規劃領域。首先設計了隸屬度函數和非隸屬度函數，將目標特征和規劃標準進行直覺模糊化，然后根據直覺模糊特征量的相似度函數和相異度函數構建相似矩陣，并計算其等價矩陣，最后利用直覺模糊等價矩陣進行聚類分析，實現了目標的規劃。

1 目標處理

鑒于導彈打擊目標的特點，本文主要針對戰略性目標開展研究。戰略目標的相對重要性是受多屬性影響的，因此這是一個多屬性目標規劃問題。經查閱資料[7]，選擇以下8種影響因素：人口、面積、工業產值、政治重要性、軍事重要性、文化重要性、戰略地位及威脅程度。目標的規劃標準可劃分為：重要、較重要、一般、不重要，4類標準等級，將每一個待評價的戰略目標視為待規劃的具體對象，要決定它相對于4個標準等級的相對歸屬即決定其相對重要性。

設待規劃目標包括n個對象A=A1,A2,…,An，每個對象包括8個屬性Ai=(xi1,xi2,…,xi8)，i=1,2，…,n。按照目標規劃的需求，設定目標規劃標準，同樣，規劃標準也具有8個屬性，設為B=B1,B2,B3,B4，Bi=(xi1,xi2,…,xi8)，i=1,2,3,4。

2 直覺模糊聚類算法

2.1 數學描述

定義1 直覺模糊集[1]：設X是一個給定論域，則X上的一個直覺模糊集A為

A=(x,μA(x),γA(x))|x∈X，

(1)

式中：μA(x):X→0,1和γA(x):X→0,1分別代表A的隸屬函數μA(x)和非隸屬函數γA(x)，且對于A上的所有x∈X,0≤μA(x)+γA(x)≤1成立。對于X中的每個直覺模糊子集，稱πA(x)=1-μA(x)-γA(x)為A中x的直覺指數，它是x對A的猶豫程度的一種測度。顯然，對于每一個x∈X,0≤πA(x)≤1。

定義2 將目標原始信息直覺模糊特征化的隸屬函數和非隸屬函數分別為

(2)

(3)

式中：Amin和Amax分別為A(x)在論域X上的最小值和最大值；a≥1，用來調節猶豫度，當a=1，猶豫度為0，當a→∞，猶豫度→1-μA(x)，a一般取1～1.3[8]。

定義3 直覺模糊關系[9]。設X和Y是普通、有限、非空集合或論域。定義在直積空間X×Y上的直覺模糊子集成為從X到Y之間的二元直覺模糊關系。記為

R={[(x,y),μR(x,y),γR(x,y)]|x∈X,y∈Y}，

(4)

式中：μR(x):X×Y→0,1和γR(x):X×Y→0,1滿足條件0≤μR(x,y)+γR(x,y)≤1，?(x,y)∈X×Y；

用IFR(X×Y)來表示X×Y上的直覺模糊子集的全體。若X和Y為有限集時，即X=x1,x2,…,xm，Y=y1,y2,…,yn，則從X到Y之間的二元直覺模糊關系R可以用矩陣表示，記為R=(μij,γij)m×n。

定義4 直覺模糊相似矩陣[10]。若直覺模糊關系矩陣R=(μij,γij)m×n滿足下列條件：

(1) 自反性。(μii,γii)=(1,0),i=1,2,…,n；

(2) 對稱性。(μij,γij)=(μji,γji),i,j=1,2,…,n，

則稱R為直覺模糊相似矩陣。

本文利用直覺模糊相似度[11]和相異度[12]，構造直覺模糊相似矩陣。設論域包括n個待規劃對象A={A1,A2,…,An}，每個對象包括m個屬性Ai=(xi1,xi2,…,xim)，對象的屬性數據均使用直覺模糊集表示，記其隸屬度為μAi(xk)，非隸屬度為γAi(xk)，直覺指數為πAi(xk)=1-μAi(xk)-γAi(xk)，其中i=1,2,…,n；k=1,2,…,m。Ai與Aj之間的相似度為

(5)

Ai與Aj之間的相異度為

(6)

設μij=S(Ai,Aj)，γij=D(Ai,Aj)，則R=(μij,γij)n×n為滿足定義3的關于n個對象A=A1,A2,…,An的直覺模糊相似矩陣[13]。

直覺模糊關系矩陣的合成運算，完全是直覺模糊關系合成的一種矩陣表達形式，合成矩陣的每個元素也是“∧-∨”運算的結果，目的是得到等價矩陣。

定義6 直覺模糊等價矩陣。若直覺模糊矩陣R=(μij,γij)n×n滿足下列條件：

(1) 自反性同定義3；

(2) 對稱性同定義3；

(3) 傳遞性。R2=R°R?R，即

則稱R為直覺模糊等價矩陣。

定義7 直覺模糊集的截集[13]：設A={(x,μA(x),γA(x))|x∈X}為有限論域X上的一個直覺模糊集，對0≤α,β≤1，且α+β≤1，稱集合A(α,β)={x|μA(x)≥α,γA(x)≥β,x∈X}為直覺模糊集A的(α,β)截集，(α,β)稱為置信水平或置信度。

設R=(μij,γij)n×n為直覺模糊等價矩陣，定義其(α,β)截矩陣為R(α,β)=(r(α,β)ij)n×n，其中

(7)

顯然，截矩陣R(α,β)是布爾矩陣，用模糊聚類的方法，可由截矩陣R(α,β)按照目標規劃標準實現對象A=A1,A2,…,An的規劃分類。

2.2 計算步驟

(1) 將目標的指標值和目標規劃標準建立增廣的目標指標值矩陣

所謂增廣的目標指標值矩陣，是將n個待規劃目標對象A和目標規劃標準B的指標值構造成矩陣。據此得到增廣的目標指標值矩陣X。

(8)

式中：i=1,2，…,n+4；j=1,2，…,8。

(2) 建立標準化矩陣[7]

將步驟1得到的增廣的目標指標值矩陣X，按照式(9)，計算得出標準化矩陣Y。

(9)

Y=(yij)(n+4)×8，i=1,2，…,n+4；j=1,2，…,8.

(3) 建立直覺模糊特征矩陣

根據定義2，將步驟2得到的標準化矩陣Y，按照式(2)，(3)分別求出目標信息的直覺模糊特征，隸屬度μAi(xj)和非隸屬度γAi(xj)，進而得出直覺模糊特征矩陣Y′。

Y′=(μAi(xj),γAi(xj))(n+4)×8，i=1,2，…,n+4;

j=1,2，…,8

(4) 建立直覺模糊相似矩陣

根據定義4，直覺模糊特征矩陣Y′按照式(5)，(6)，計算得到直覺模糊矩陣的相似度和相異度，構造直覺模糊相似矩陣R。

R=(μij,γij)(n+4)×(n+4)，i=1,2，…,n+4；

j=1,2，…,n+4.

(5) 建立直覺模糊等價矩陣

根據定義5和定理1，通過合成運算，由相似矩陣R求取直覺模糊等價矩陣Rn。

(6) 建立截矩陣R(α,β)，進行聚類分析[15]

根據定義7，對等價矩陣Rn，合理設定置信度(α,β)，得出截矩陣R(α,β)，之后進行聚類分析。根據每列對應元素是否為1，找出每列對應的目標和規劃標準等級，進而得出聚類結果。

3 仿真應用

根據目標處理結果，每個戰略目標包括8個指標：人口、面積、工農業產值、政治重要性、軍事重要性、文化重要性、戰略地位及威脅程度。在上述指標中，人口單位：萬人；面積單位：km2；工農業產值單位：萬；其余指標均為[0,1]上無量綱數。設定待規劃戰略目標個數為6，A=A1,A2,…,A6，目標規劃標準B=B7,B8,B9,B10，分別對應：重要、較重要、一般、不重要。參照文獻[7]的數據建立戰略目標指標值和規劃標準指標值，如表1。

按照直覺模糊聚類算法，將表1中的6個目標,依照4個標準等級，進行規劃分類。

(1) 構造增廣的目標指標值矩陣

(2) 計算標準化指標值矩陣

(3) 計算直覺模糊特征矩陣

按照步驟3和定義2，取a=1.2，計算直覺模糊特征矩陣，

(4) 計算相似矩陣

按照步驟4，為了簡化計算取p=1，計算相似矩陣，

(5) 計算相似矩陣R的等價矩陣

采用平方的方法，進行合成運算，發現R2≠R；再次進行合成運算，R4≠R2；進一步計算后，R16=R8，那么R8為直覺模糊等價矩陣，即

(6) 計算截矩陣和聚類分析

在設定置信度時，等價矩陣根據選取的置信度數值，按式(7)計算得出截矩陣，此時，設定的置信度水平，應保證截矩陣每列為1的目標元素對應該列中為1的規劃標準元素僅有1個，即規劃分類的目標僅對應1個規劃標準。因此，取置信度(α,β)=(0.77,0.21)，按照步驟6，計算等價矩陣R8的截矩陣為

針對截矩陣R(0.77,0.21)的結果，進行聚類分析。根據每列的元素是否為1進行區分，得出聚類結果，A1,A3,B8，A2,A5,B10，A4,B7，A6,B9?？梢?，6個戰略目標的規劃結果為：目標A4為重要目標，目標A1和A3為較重要目標，目標A6為一般目標，目標A2和A5為不重要目標。本算例所有計算是由Matlab編程實現。

4 結束語

本文通過對導彈打擊目標信息的原始數據標準化和直覺模糊化，運用直覺模糊聚類算法，實現了對導彈打擊目標的規劃分類。針對現有模糊聚類算法的局限性，利用直覺模糊集能夠更好地描述事物的模糊性本質的優勢，并運用隸屬函數和非隸屬函數，實現對目標信息原始數據的直覺模糊特征化；利用直覺模糊相似度和相異度構造了直覺模糊相似矩陣，進而計算得出等價矩陣；選取合適的置信度獲得截矩陣，從而實現目標的規劃分類，該方法概念清晰，計算簡單。通過實例的仿真應用，表明該方法能夠按照規劃需求，較快的對目標進行規劃分類，計算結果相對文獻[7]更加準確，驗證了算法的有效性和準確性。

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