基于基函數分解的連續變速顫振邊界預測方法

譚博+鄭華+裴承鳴

摘 要： 針對連續變速顫振試驗實測信號的特點及在線處理需求，提出一種基于基函數展開的時變參數建模方法。通過對結構響應信號建模和穩定性判據的趨勢分析，得到顫振邊界隨時間變化的預測曲線。依據顫振試驗機理，采用白噪聲激勵多模態耦合系統的方式生成了相應的仿真信號，進而在不同信噪比下驗證了方法的數值性能。最后通過氣彈模型低速風洞試驗進一步檢驗本文方法的工程實用性。

關鍵詞： 連續變速顫振試驗； 基函數； 時變參數建模； 顫振邊界預測

中圖分類號： TN911.7?34； TP391.9 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2014）13?0047?03

Method for progression variable speed flutter boundary prediction

based on basis function decomposition

TAN Bo， ZHENG Hua， PEI Cheng?ming

（Data Processing Center， Northwestern Polytechnical University， Xian 710072， China）

Abstract： According to the characteristics and online processing requirements of the actual measuring signal in flutter test with progression variable speed （FTPVS）， a time?varying parameter modeling algorithm based on basis function expansion is presented in this paper. The prediction curves of flutter boundary versus time variation were obtained on the basis of modeling of structural response signal and trend analysis of the stability criterion. According to the mechanism of flutter test， the correspon?ding simulation signal is generated with the mode that the white noise stimulates the multi?modal coupling system. The numerical performance of the method was verified at different SNRs. The practical applicability of the method was checked in aeroelastic model wind?tunnel test.

Keywords： flutter test with progression variable speed； basis function； time?varying parameter modeling； flutter boundary prediction

0 引 言

連續變速顫振試驗是近年來從飛機結構強度專業角度提出的一種全新顫振試驗概念，指由于研究對象的實際工作狀態或試驗方法的需要，馬赫數、速度、高度等參數連續變化的一類顫振試驗技術。與傳統的臺階式顫振試驗方法相比，具有試驗周期短、試驗開支小、技術約束少、更符合實際使用狀態等優勢，但同時也存在更大的試驗風險[4]。因此，在試驗中能否基于實測信號快速準確地完成顫振邊界預測是保證該類試驗安全有效的關鍵技術之一。

連續變速顫振試驗的結構響應信號是非平穩隨機過程，這一特點使得傳統的顫振試驗數據處理方法難以直接應用。因此，本文提出一種基于基函數展開的時變參數建模方法，通過實測信號建立測試對象的時變參數模型，從而提取信號中所蘊含的穩定性特征量，并根據該特征量的趨勢進行外推分析，以獲取每個時刻的顫振邊界預測值，為試驗過程的實時監控及試驗安全提供技術保障。

1 方法簡述

在平穩系統模型建立中，非時變隨機信號可以看作是線性系統的白噪聲激勵響應，如下式：

[y（n）=-k=1paky（n-k）+k=0qbku（n-k）] （1）

式中：[y（n）]為非時變隨機信號；[u（n）]為系統的白噪聲激勵。

相應的，由于在連續變速顫振試驗中，試驗對象的結構模態參數會隨時間發生變化，因此，對公式（1）中的系數進行改變，即可得到時變線性系統的參數模型，表示為：

[y（n）=-k=1pak（n）y（n-k）+k=0qbk（n）u（n-k）] （2）

公式（2）也被稱為非平穩隨機信號的時變自回歸滑動平均模型。若系數[bk（n）=0， k=1，2，3，…，]則模型變為非平穩隨機信號的時變自回歸模型（TVAR）。

類似于平穩系統模型的建立，時變隨機信號可以看作非平穩線性系統的白噪聲激勵響應，在實際應用中，通常采用時變自回歸模型，由公式⑵可以得到TVAR的參數模型為：

[y（n）=-k=1pak（n）y（n-k）+u（n）] （3）

式中：[y（n）]是時變隨機信號；[p]是模型階數；[ak（n）]是時變AR系數；[u（n）]是白噪聲激勵。

為求解時變AR系數，將[ak（n）]用函數空間基函數的加權和表示為：

[ak（n）=i=0mbkifi（n）] （4）

式中：[bki]為加權系數；[fi（n）]為選定函數空間的基函數；[m]為函數空間的維數。

相應的TVAR模型公式變為：

[y（n）=-k=1pi=0mbki[fi（n）y（n-k）]+u（n）] （5）

定義矢量[Y（N-k）]和[θ：]

[Y（N-k）=[f0（n）y（n-k），…，fm（n）y（n-k）]] （6）

[θ=[a10，…，a1m，…，ap0，…，qpm]] （7）

這時，TVAR模型的矩陣形式為：

[y（n）=-[Y（N-1），…，Y（n-p）]θT+u（n）] （8）

由此，將線性時變AR系數[ak（n）]的求解轉化成為求解線性時不變系統的加權系數向量[θ]的問題。解出[θ]后，結合選定函數空間的基函數[fi（n），]由公式（4）即可得到所建模型的時變AR系數。

本文選擇傅里葉基函數對時變AR系數進行求解，其構造公式為：

[fk（n）=coskπn2N，k為偶數sin（k+1）πn2N，k為奇數] （9）

由解得的時變AR系數[ak（n），]可以提取[n]時刻的穩定性判據，如Jury判據，Lyapunov判據以及阻尼比系數等。依據[n]時刻對應的速度值，以曲線擬合的方式對顫振邊界進行預測。

2 仿真試驗及結果

根據典型結構顫振機理及其響應信號特征，采用白噪聲激勵時變系統生成的仿真信號來測試本文方法的數值性能。

不排除一般性，典型的顫振現象往往在兩階結構模態耦合時出現，為此，模擬連續變速顫振響應信號可由以下系統生成：

[x（t）=i=1nAie-ξi（t）fi（t）2πtcos2πfi（t）1-ξ2i（t）t] （10）

式中：[n]為模態個數；[f]為頻率；[ξ]為阻尼比。在0時刻，各參數的初值分別為：[f1=]10 Hz，[f2=]20 Hz，[v=0，][ξ1=0.11，ξ2=0.1。]

為了模擬顫振發生過程，在歸一化速度線性增加的情況下，兩階模態的頻率逐漸靠攏直至完全重合，而阻尼比則逐漸衰減至零。經過64 s運行后仿真系統發生顫振，在采樣頻率為128 Hz情況下得到長度為8 192的隨機響應信號，此時對應的頻率為[f1=f2=]15 Hz，相應的阻尼比系數為[ξ1=ξ2=0，]歸一化顫振速度為[v=1。]

在上述條件下生成的無噪聲仿真信號的時間歷程如圖1所示，相應的聯合時頻分布如圖2所示。

圖1 仿真信號的時間歷程

圖2 仿真信號的聯合時頻圖

應用本文方法對無噪聲干擾的仿真信號進行顫振邊界外推計算，所得結果如圖3所示。圖中，縱軸為速度，[v=1]的直線標示了顫振邊界的真值，橫軸為時間。由圖3可以看出，在無噪聲的情況下，本文方法計算的外推值從時刻[n=40]開始快速上升在[n=50]時到達真實值[v=1，]在其后的時間內，外推值在真值附近小幅波動，也就是說可以快速得到準確穩定的顫振邊界預測值。

為了進一步測試本文方法在噪聲環境下的數值性能，定義信噪比：

[SNR=10×logPsignalPnoise] （11）

式中：[P]為信號的功率，在此定義下，計算并得到了信噪比分別為20 dB，14 dB，10 dB和8 dB的外推值曲線，如圖4所示。

圖3 無噪聲環境的顫振邊界預測結果

圖4 噪聲環境下顫振邊界預測結果

由圖4可以看出，信噪比為20 dB時，外推值曲線盡管隨時間變化的趨勢有少許不同，但還是在[n=50]左右達到了真實值。當信噪比下降到14 dB時，外推值趨勢與無噪聲情況類似，但最終外推值在到達[v=]1.2附近時才趨于穩定，顫振邊界預測值的精度也有所下降。若信噪比進一步降低，可以看到外推值的平穩趨勢開始消失，所得的外推結果已經不宜在試驗中作為參考。由此可見，本文方法對噪聲相對敏感。為此，在實際應用中應盡可能保證測試、采集、記錄等響應信號獲取過程各環節的質量。

3 試驗數據處理

為了驗證所研究方法的工程實用性，先后進行了多次物理試驗。作為舉例，這里僅給出一組試驗結果。

試驗數據取自某飛機氣彈模型低速風洞試驗，對應試驗狀態由傳統臺階等速試驗得到的顫振臨界速度為40.8 m/s。

實測信號的時間歷程及對應的試驗風速變化曲線如圖5所示。

圖5 連續變速顫振試驗實測數據

由圖5可見，選取的實測信號對應的風速以近似于線性增長的方式，經過29 s從25 m/s提升至38 m/s。采用本文方法對該段實測數據進行處理，所求的顫振邊界預測值曲線如圖6所示。

圖6 實測數據的顫振邊界預測結果

由圖6可以看出，本文方法的計算結果，于20 s左右達到了顫振臨界速度[v=]40.8 m/s附近，并趨于平穩。此時對應的速度為[v=]35 m/s，距離顫振速度尚有較大的安全空間。這表明，本文方法在連續變速顫振試驗中，可以對顫振邊界進行有效預測，并且保留了較大的安全裕量。

4 結 論

本文研究了基于基函數展開的時變參數建模方法及其在連續變速顫振試驗中的應用問題。通過數值仿真，驗證并分析了方法的精度及抗噪性能。結果表明，該方法在較高信噪比下，可以得到滿意的預測值，但其精度會隨信噪比的減小而下降。而氣彈模型風洞試驗的應用結果表明，該方法完全可以滿足工程實際的物理需求。

本文研究為豐富和擴展連續變速顫振試驗的在線監控方法提供了一種新的手段，在航空、航天、導彈、亞太空等領域的結構顫振試驗方面有著潛在的應用前景。

參考文獻

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