乘數

何垚

摘 要：乘數原理和加速數原理是乘數——加速數模型的核心所在，我們主要是通過它們兩來分析經濟的周期性波動。利用狀態空間法對改進的宏觀經濟系統：動態乘數—加速數模型的穩定性進行了分析，得出了該模型漸近穩定的充分必要條件。

關鍵詞：乘數；加速數；狀態方程；穩定性

0 引言

“乘數原理”和“加速原理”各自闡述的重點不同。“乘數原理”旨在闡明收入的變化與帶來這種變化的投資支出之間的比率關系，而“加速原理”旨在闡明人們收入的微小變動是怎樣讓投資數額發生很大的變動，它倆要闡明的經濟變動是互相關聯、互相影響的。在實際的經濟系統中乘數——加速數原理相互共同作用是凱恩斯主義學派對乘數原理的繼承和發展，我們正是運用宏觀經濟學中的“乘數”和“加速數”之間的相互作用來對經濟的周期性經濟現象的變動作出解釋的。

1 乘數——加速數模型的基本思想

乘數——加速數模型在試圖把外部因素和內部因素結合在一起對經濟周期作出解釋的同時，特別強調投資變動的因素。假設新發明的出現使投資數量增加，他們會通過乘數作用使收入增加。當人們收入增加時，就會購買更多的商品，從而使整個社會的物品銷售量增加。再通過加速數的作用會促進投資以更快的速度增加，而投資的增加又使國民收入增加，從而銷售量進一步上升，如此循環，社會經濟便處于擴張階段。[1]但社會資源是有限的，當經濟達到周期頂峰時，收入便不再增長，銷售量也就不再增長，根據加速原理意味著投資量下降為零。又投資下降，收入下降，導致銷售量也進一步下降。又由于加速原理，銷售量的下降使投資進一步下降，而投資的下降又使國民收入進一步下降。如此往復，社會經濟周期便又處于衰退期。經濟周期的形成就是這樣通過乘數—加速數模型的原理實現的。

對薩繆爾森的乘數——加速數模型的基本方程進行整合，得模型的輸入——輸出表達如下：Yt=1+abYt-1-abYt-2+Ut （1）

式中，第t季度的國民收入用Y（t）表示，第t季度的國民消費用C（t）表示，第t季度的國民投資用I（t）表示，第t季度的國民政府支出用G（t）表示。a為加速數，b為邊際消費傾向。

2 乘數——加速數模型的控制論分析

將（1）式轉化成為狀態空間模型，寫成矩陣形式：

輸出方程為：

由于上面情形存在多種情況的穩定性討論。所以我們在下文對乘數加速數模型進行改進再討論其穩定性。

3 對乘數——加速數模型進行改進并分析其穩定性

現在討論下面的改進的乘數——加速數模型：

Yt=Ct+It+G 4Ct=a+bYt-1+dCt-1 5It=eCt-Ct-1+I 6

上式中a為自主消費且a>0，b表示邊際消費傾向，00，a，b，c，d均是常數。I0是自發投資與其他消費沒有關系，I0>0。我們接下來討論該改進模型系統的穩定性。

3.1 經濟系統的穩定性的判別方法

定理：設有二階線性定常離散系統x（k+1）=Ax（k）式中，xk∈R，A∈R。若I-A為非奇異，則系統的平穩解為x=I-A，系統關于x的穩定性取決于特征根的情況。特征多項式為 當二階線性定常系統的兩個特征根全部位于Z平面的單位圓中時，系統漸進穩定，此時，系統關于平衡態xe漸近穩定的充分必要條件為

f0<1，f-1>0，f1>0 7

依據這個定律我們將在下面對改進的模型的穩定性進行分析。

3.2 建立改進后模型的狀態空間方程：

將上述方程（5）（6）代入（4）得方程：

Yt=1+ebYt-1+d+ed-eCt-1+a1+e+G+I 8

定義狀態變量：

從而可以得到改進后模型的空間狀態方程：

則：E-A=1-d-b其中是E二階的單位矩陣，由上述定理可以知道當b+d≠1時，平衡狀態：

是改進后模型的系統關于平衡狀態的唯一解。

矩陣A的特征方程為：

從定理得，模型改進后的系統關于Xe漸近穩定的充要條件為：eb<1b+d<1 其中，e>0，0

畫出其圖形，從圖形中我們可以看到，當點（e，b）在陰影面積區域之外時，改進的系統不穩定，當在陰影區域內時，改進后的系統就關于Xe漸近穩定。

參考文獻：

[1]龔德恩.經濟控制論概論[M].北京：中國人民大學出版社，1988.