關于不定積分的一個應用

吳麗華

【摘 要】本文借助不定積分的定義與計算，從另外一個角度給出了一些三角及反三角恒等式的證明。

【關鍵詞】不定積分 三角恒等式 反三角恒等式

不定積分是《高等數學》、《微積分》等課程中微積分學的基本內容之一，讓學生理解和掌握不定積分的概念及其計算是教學的重點。教材中介紹了一系列的計算不定積分的方法，如湊微分、換元法、分部積分法等等。學生在實際計算時，往往會采用不同的方法來處理，這有可能會得到不同形式的結果，此時學生就會產生疑問，不知道到底哪種結果是對的？事實上，只要方法得當，計算無誤，不定積分的結果在表示形式上不同是存在的。其實，學生只要抓住不定積分的定義及同一函數的任兩個原函數相差一個常數，明白不同的方法導致的不同結果本質上是暗示了某些恒等式的存在，這就不難理解了。

本文將針對幾個具體的不定積分，采用不同的方法，從中得到一些常見的三角，尤其是反三角恒等式。

一、不定積分

定義1：若定義在區間上的函數及可導函數滿足下列關系：對任一都有

或

則稱為在區間上的一個原函數。

定理1：（1）如果一個函數有一個原函數，那么就有無限多個原函數；

（2）如果

且

則 （為某個常數），

即的任兩個原函數只差一個常數。

證明：（1）若，則對任意常數有

上式說明，若是的一個原函數，則對任意常數，都是的原函數。

（2）由， 可得

，

于是

（某個為常數），

即

（為某個常數）.

定義2：在區間上的，函數的全體原函數，稱為在區間上的不定積分，記作。

由定義2知，若，則。再由定理1易得如下結論。

定理2：若

且

則，某個為常數。

證明：由 及可知

，

于是由定理1的第二個結論即得所證。

二、三角恒等式

下面通過幾個具體的例子，結合不定積分的相關結論，證明一些三角恒等式。

例1：證明（1）；

（2）

證明： （1）

（2）

（3）

聯立（1）（2）（3）式，由定理2得

（4）

在（4）式中令得

將代入（4）式即得所證。

例2：證明

證明：

由定理2有

在上式中令得于是等式得證。

例3：證明當時，

（1）；

（2）；

（3）。

證明：當時，

由定理2知

上式中均令得

于是當時，（1）（2）（3）式得證。又當時，等式顯然成立。故結論得證。

注：類似可證

例4：證明（1）

（2）；

（3）；

（4）。

證明：

于是有

（5）

（6）

在（5）（6）式中分別令和，

得，，，

綜上等式成立。

注：類似可證

結束語：一般來說，對于常見的三角恒等式，學生都能記得住，但是對簡單的反三角恒等式卻記不住。文中通過簡單的不定積分的計算，推導出一些三角和反三角恒等式，幫助學生加深對三角，特別是反三角恒等式的理解和記憶。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系. 高等數學第六版[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]吳傳生.經濟數學-微積分.北京：高等教育出版社，2009.