淺析一元函數極值的判定及求法

謝毅

【摘 要】一元函數極值的判定及求法是導數應用的一個重要體現，掌握一元函數極值的判定及求法是了解函數局部性質，描繪函數圖像的重要手段，也是二元函數極值問題的基礎。本文通過分析一元函數極值的求法，從三種情形闡述極值判定的第二充分條件的局限性。

【關鍵詞】極大值 極小值 駐點 不可導點

一、了解求函數極值的間接要素

1 極值的定義：設函數在點的某個鄰域內有定義，如果對于其去心鄰域內的任意一點，有（或），那么稱是函數的一個極大值（或極小值），并且把稱為函數的一個極大值點（或極小值點）。

2 求函數極值的間接要素：根據極值的定義，函數的極值是極值點所對應的函數值，所以求函數的極值實際上就是求函數的極值點。函數的極值點包含兩種點，一種是駐點，即把使得的點叫做函數的駐點；另一種是不可導點，即使得不存在的點。故求函數的極值無非就是從這兩種點中確定誰是極值點，從而求出極值。那么如何從可能極值點中找到函數的極值點呢？

二、利用極值判定的第一和第二充分條件求函數的極值

1 定理1（極值判定的第一充分條件）：設函數在點處連續，且在的某去心鄰域內可導。

（1）若當時， >0，而當時， <0，則函數在處取得極大值；

（2）若當時， <0，而當時， >0，則函數在處取得極小值；

（3）若當時，的符號保持不變，則函數在處沒有極值。

2 定理2（極值判定的第二充分條件）：設函數在點處存在二階導數，且，。

若，則函數在點處取得極小值；

若，則函數在點處取得極大值。

3 利用極值判定的第一和第二充分條件求函數的極值：

例1 求函數的極值。

解：（1）的定義域為；

（2）=；

（3）令，得駐點=-1. =3；

（4）在內， >0，在內， <0在內>0

所以函數在點=-1處取得極大值，函數在點=3處取得極小值。

上面是利用極值判定的第一充分條件來求函數的極值，我們再用極值判定的第二充分條件來求函數的極值。

例2 求函數=的極值

解 （1）的定義域為；

（2）=，

（3）令，得=-1， =1

（4），所以=-1， =1都是函數的極小值點，且是函數的極小值。

三、極值判定的第二充分條件的三種局限性

根據上面的例題我們可以得知極值判定的第一充分條件和第二充分條件都有其各自的優勢。第一充分條件適用范圍廣，受限制小，第二充分條件節省計算量。但是觀察第二充分條件我們會發現它有三種使用的局限性。

1 若極值點是不可導點時不適用極值判定的第二充分條件。

例3：求函數=的極值

解：（1）的定義域為；

（2）=

（3）顯然函數沒有駐點，但有這個不可導點，即不存在。此時更不可能存在，所以第二充分條件失效，只能使用第一充分條件。

（4）在內， >0，在內， <0，故是極大值點，是極大值。

2 若駐點是極值點且時不適用極值判定的第二充分條件

例4：求函數的極值

解 （1）的定義域為；

（2）=

==12

（3）令，得駐點=0， =1；。

顯然是極小值點且是極小值。而，此時第二充分條件失效。只能使用第一充分條件。

（4）在內>0，在內>0，導數符號相同，所以不是極值點。

3 若函數二階導數的計算量過大從而失去極值判定的第二充分條件節省計算量的作用時不建議使用極值判定的第二充分條件。

例5：求函數=的極值

解：（1）的定義域為；

（2）=，此時求解計算量過大，不建議使用極值判定的第二充分條件。

（3）令，得駐點=1，另函數存在不可導點=-1.這兩個點將定義域分成三個區間。

（4）在內， >0；在內<0；在內>0，所以是極大值點，是極大值。是極小值點，是極小值。

【參考文獻】

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