含時變剛度和齒側間隙的斜齒輪系統(tǒng)非線性振動分析

□ 程聯(lián)社

楊凌職業(yè)技術學院 陜西楊凌 712100

與直齒輪相比，斜齒輪傳動系統(tǒng)的振動情況更為復雜，從單自由度振動拓展為多自由度振動，包括齒輪的扭振、橫向彎曲振動、軸向振動、齒輪體的圓盤振動等［1］。對于一般斜齒輪系統(tǒng)來說，齒輪副圓周方向上的扭轉振動是占主導地位的，在研究斜齒輪副動態(tài)嚙合的線性特性時，忽略其它振動傳動的影響可以滿足工程上的需要［2］，因此可以把斜齒輪系統(tǒng)象直齒輪那樣簡化成齒輪副的扭振系統(tǒng)來分析。

扭振模型是斜齒輪傳動動力學模型的一種基本形式，但是，由于齒側間隙和時變剛度等的存在，斜齒輪系統(tǒng)的振動都是非線性的，關于非線性的研究也成為該領域研究的熱點問題。劉國華［3］等在研究分析了多種非線性因素的基礎上，提出了把油膜作為齒輪之間的質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的假設，建立了相應的動力學模型。李瑰賢［4］等以接觸線的長度變化代替齒輪瞬時嚙合剛度的變化，建立了含時變剛度的單自由度扭振非線性動力學模型，并采用四階變步長Runge-Kutta法求解，獲取了齒輪副的動載系數(shù)。王玉新［5］等用多尺度方法研究了考慮輪齒時變剛度和靜態(tài)傳遞誤差激勵的齒輪系統(tǒng)的動態(tài)特性，給出了求解方法及穩(wěn)態(tài)解的解析表達式。這些研究對時變剛度、油膜力等非線性因素具有考慮，但是對于時變剛度和齒側間隙，則缺乏一種簡潔而完備的表達。

筆者對此也作了研究，建立斜齒輪副的純扭振動模型，對時變剛度和齒側間隙這兩種非線性因素進行分析，給出其簡潔的表征方法并納入純扭振動模型中。對所建立的非線性動力學模型進行求解，分析非線性因素的影響。

1 斜齒輪副純扭振動模型的建立

圖1所示為一對斜齒輪副的扭振動力學模型，根據(jù)牛頓運動方程，可得：

式中：θi（i=a、p）分別為主、從動齒輪的中心點繞軸向的扭轉振動角度；Ii（i=a、p）分別為主、從動齒輪繞其軸線的轉動慣量；Ti（i=a、p）分別為作用在主、從動齒輪的外載荷力矩；Ri（i=a、p）分別為主、從動齒輪的節(jié)圓半徑；e（t）為靜態(tài)傳遞誤差；kn、cn分別為嚙合剛度和阻尼；β為螺旋角。

▲圖1 斜齒輪系統(tǒng)純扭振動力學模型

系統(tǒng)的動態(tài)傳遞誤差為：

設x（t）為系統(tǒng)動態(tài)傳遞誤差與靜態(tài)傳遞誤差之間的差值，則有：

若 f［x（t）］為齒側間隙的非線性描述函數(shù)［6］：

式中：c為齒側間隙。

聯(lián)立式（1）、（2），化簡可得一個單自由度的數(shù)學模型：

2 非線性因素分析及表征方法

針對時變剛度和齒側間隙這兩種典型的非線性因素進行分析，研究其在動力學模型中的表征方法，為斜齒輪非線性動力學模型的求解奠定基礎。

2．1 剛度的時變性及表征方法

在斜齒輪嚙合過程中，輪齒嚙合的接觸線是傾斜的，且同時嚙合的輪齒對數(shù)較多（一般≥3），為了簡化起見，假設載荷在接觸線長度方向上均勻分布，這樣就可以用齒輪副接觸線長度的變化代替瞬時嚙合剛度的變化，來求解一對斜齒輪副的時變嚙合剛度。

如圖2所示，平面ABCD為一對斜齒輪的嚙合平面，AD=εαPb（Pb為基圓齒距），AB=CD=B（B 為斜齒輪副的齒寬），BE、DF均為齒輪副的嚙合接觸線，βb為齒輪副的基圓螺旋角。其中：εα、εβ分別為斜齒輪副的端面和軸向重合度。

于是，一對相嚙合的輪齒接觸線長度的變化曲線如圖3所示，從A到BE以及從DF到C這兩段可以看成是線性的，從BE到DF，接觸線長度不變，且為lm。

▲圖2 斜齒輪嚙合平面

▲圖3 一對輪齒接觸線長度變化曲線

故接觸線長度函數(shù)的表達式為：

由于斜齒輪副的總重合度大于1，則有時會存在多對輪齒的接觸，這樣就會有多條接觸線共同來分擔載荷。圖4為在一對輪齒嚙合過程中的各條接觸線長度的變化曲線，而在實際嚙合過程中接觸線的總長度即為這幾條接觸線長度之和，如圖5所示。

根據(jù)前面的假設，設斜齒輪副動態(tài)嚙合剛度與接觸線之間的關系為：

式中：kl為剛度與接觸線之間轉化的一個系數(shù)；l（t）為接觸線長度。

▲圖4 多對輪齒嚙合接觸線變化曲線

▲圖5 接觸線總長度隨時間變化曲線

若km為斜齒輪副的平均嚙合剛度［7］，la為一個周期內(nèi)接觸線的平均長度，則kl=km/la。 于是，在 一 個 周 期 T ［T=60/（n1z1）］內(nèi)，斜齒輪剛度變化曲線如圖6所示。

▲圖6 一周期內(nèi)剛度變化曲線

把剛度隨時間變化的函數(shù)用傅里葉級數(shù)展開，并針對某斜齒輪傳動系統(tǒng)，通過編程計算得到該齒輪副的時變嚙合剛度曲線及各階傅里葉展開曲線，如圖7、圖8所示。

▲圖7 斜齒輪剛度曲線及一、三、五階傅里葉展開曲線

▲圖8 斜齒輪剛度曲線及五、七、九階傅里葉展開曲線

通過對比可知，前五階傅里葉級數(shù)展開的曲線與原時變剛度曲線基本吻合，其精度可以滿足一般計算要求，可以采用前五階傅里葉展開式來代替原時變剛度的分段函數(shù)，即：

式中：an、bn為傅里葉系數(shù)；ωb=2π/T。

在代入非線性動力學模型中時，需先計算確定系數(shù)an、bn和ωb。對于本文所研究的某斜齒輪傳動系統(tǒng)，系數(shù)見表1。

2．2 齒側間隙的表征分析

對于如式（5）所示的間隙函數(shù)，其曲線形式如圖9所示，在［-k，k］范圍內(nèi)用高次多項式進行擬合，擬合結果如圖10和圖11所示。

▲圖9 齒側間隙描述函數(shù)

▲圖10 齒側間隙函數(shù)及一、三、五階擬合曲線

▲圖11 齒側間隙函數(shù)及五、七、九階擬合曲線

表1 時變剛度表達式中的系數(shù)（×10）

對比圖10、圖11，可知多項式次數(shù)取得越高，擬合的精度也就越高，但是當次數(shù)高于7次以后，多項式次數(shù)的提高對擬合精度的提高已經(jīng)不明顯了。實際上，三次多項式已經(jīng)能夠反映齒側間隙描述函數(shù)的總體變化趨勢，所以為了之后分析的方便，可以用三次多項式來擬合齒側間隙描述函數(shù)，即：

對于筆者所研究的某斜齒輪傳動系統(tǒng)，齒側間隙為c=5×10-5m，則取k=2×10-4m， 可得：a1=0．344，a3=1．201×107。

3 模型求解及非線性因素的影響分析

3．1 模型簡化及求解

根據(jù)前面的分析，把式（10）、式（11）代入式（6）

對于筆者研究的某傳動系統(tǒng)中的一對斜齒輪副，式（12）中的基本參數(shù)值見表2。

表2 各參數(shù)數(shù)值表

設置初始條件為：

x（0）=3．938×10-5m，˙（0）=3．165m/s。

這樣，在不考慮齒輪誤差的情況下，采用數(shù)值解法可以求解式（12）的動力學模型。

3．2 齒寬對時變剛度的影響分析

根據(jù)斜齒輪軸向重合度計算公式［8］：

可知齒寬與軸向重合度εβ之間是正比例關系，而εβ是決定時變剛度變化幅值的重要變量。

圖12為該對齒輪副在時間范圍內(nèi)隨軸向重合度εβ的變化圖，從圖中可以看出，隨著軸向重合度εβ（或者齒寬B）的增大，斜齒輪的平均嚙合剛度也會隨之增大，但是齒寬的變化不影響嚙合剛度的時變周期。

時變嚙合剛度的變化幅值與軸向重合度εβ（或者齒寬B）關系密切，軸向重合度εβ越接近1，時變剛度的幅值越小，且在εβ=1（或整數(shù)值）時約為零。由此，在設計斜齒輪時，應合理選擇齒寬，盡量滿足軸向重合度εβ在1（或整數(shù)值）附近，以減小時變嚙合剛度帶來的沖擊。

3．3 齒側間隙對系統(tǒng)振動的影響分析

如圖13為不同齒側間隙系統(tǒng)的扭振加速度曲線圖，其中最簡系統(tǒng)曲線為不考慮齒側間隙的計算結果。可以看出，間隙的大小對系統(tǒng)振動加速度的影響還是很明顯的。為了更好地分析間隙的影響，筆者選擇加速度最大值、加速度幅值和加速度的均方根值作為評價指標［6］，評價齒側間隙的大小對系統(tǒng)振動的影響程度，如圖14所示。

▲圖 12 時變剛度隨εβ變化圖

在圖14中，隨著齒側間隙的增大，3個評價指標均隨之增大。當間隙從0增大到60μm時，這3項指標幾乎都是直線增加，其中振動加速度的幅值增加最快，相比最簡系統(tǒng)增大了93．13%，而振動加速度的均方根值相比最簡系統(tǒng)也增大了44．19%，這也說明噪聲也增大了約50%。當間隙大于60μm時，振動加速度的這3項指標隨著間隙的增大變化不太明顯，但是總體的趨勢還是增大的。

4 結論

（1）在考慮時變剛度和齒側間隙這兩種非線性因素的條件下，建立斜齒輪副扭轉振動的單自由度模型。

（2）給出了時變剛度和齒側間隙的表征方法，并代入動力學模型中進行數(shù)值求解。

（3）分析了齒寬對時變剛度的影響，結果表明齒寬影響時變剛度的幅值，若合理設計齒寬，使軸向重合度εβ越接近1，則時變剛度的幅值越小，且在εβ=1（或整數(shù)值）時約為零。

4）分析了齒側間隙的大小對系統(tǒng)的影響，對于本文研究的斜齒輪副，間隙較小（＜60μm）時，系統(tǒng)振動受間隙影響劇烈，間隙較大（＞60μm）時，系統(tǒng)對間隙的變化不太敏感。

▲圖13不同間隙系統(tǒng)的扭振加速度曲線

▲圖14齒側間隙對振動加速度各項指標的影響曲線

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