線天線矩量法分析中積分方程的選取*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

線天線矩量法分析中積分方程的選取*

劉建廠

(海司信息化部 北京 100841)

介紹了矩量法的基本思想,分析并詳細(xì)推導(dǎo)了雙位積分方程、波克林頓積分方程、海倫積分方程和反應(yīng)積分方程具體形式。分別對(duì)四種積分方程應(yīng)用矩量法的過(guò)程進(jìn)行了分析,其中,波克林頓積分方程在應(yīng)用矩量法時(shí),使用了一種新的分段和匹配方法。重點(diǎn)對(duì)在應(yīng)用矩量法過(guò)程中的一些重要參數(shù)進(jìn)行了研究。

雙位積分方程; 波克林頓積分方程; 海倫積分方程; 反應(yīng)積分方程; 矩量法

Class Number TN820

1 引言

線天線是指輻射體由截面半徑遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)的導(dǎo)線構(gòu)成的天線,導(dǎo)線可以是電阻性類(lèi)似導(dǎo)體結(jié)構(gòu),但一般是金屬導(dǎo)線[1～2]。線天線作為天線的一大類(lèi),在艦艇上應(yīng)用廣泛,準(zhǔn)確分析線天線的特性,對(duì)改善艦艇無(wú)線通信具有實(shí)際意義。任何天線的電特性取決于它的幾何結(jié)構(gòu)、周?chē)劫|(zhì)以及天線的激勵(lì)[3],而線天線的電特性主要取決于天線上的電流分布,但嚴(yán)格求解天線的電流分布是困難的,經(jīng)常采用數(shù)值方法,矩量法就是重要的一種數(shù)值方法。

矩量法是基于泛函理論,利用線性函數(shù)空間和線性算子概念,采用基函數(shù)和權(quán)函數(shù)將積分方程離散化為矩陣方程,通過(guò)矩陣求逆或解線性方程組,得到矩陣方程的解。應(yīng)用于線天線領(lǐng)域的矩量法是處理頻域積分方程的一種方法,常用的積分方程有多種,如雙位積分方程、波克林頓(Pocklington)積分方程、海倫(Hallen)積分方程、反應(yīng)積分方程[3～6]等,這些積分方程一般應(yīng)用于細(xì)的線天線,即假設(shè)電流只沿天線軸線流動(dòng),忽略天線周向電流和端面徑向電流。

偶極子天線是線天線的常用形式,以偶極子天線為例,分析了線天線的電特性,對(duì)基于各種積分方程的矩量法進(jìn)行了比較,研究了在應(yīng)用矩量法過(guò)程中的幾個(gè)重要問(wèn)題。

2 天線電磁理論

對(duì)于任意線天線,假設(shè)外加的場(chǎng)為Ei,在Ei的作用下,天線表面產(chǎn)生的感應(yīng)面電流密度J在空間的散射場(chǎng)為Es,且滿足導(dǎo)體表面的電場(chǎng)邊界條件

(1)

散射場(chǎng)Es可以表示為

(2)

其中,磁矢量位A和電標(biāo)量位φ為

A=μ∫SJG(r,r′)ds

(3)

(4)

(5)

3 確定電流分布的積分方程

線天線的電流分布確定后,天線的各種電特性也就隨之確定了,嚴(yán)格求解線天線的電流分布一般有兩種方法,一種是場(chǎng)的方法,即帶入天線的導(dǎo)體邊界條件,直接求解麥克斯韋(Maxwell)方程,這種方法計(jì)算復(fù)雜且僅適用于少數(shù)振子型天線;另一種是路的方法,即廣義電路理論,首先建立起電流的積分方程,然后求出電流分布,過(guò)程中引入了廣義電壓、電流和阻抗概念。

為簡(jiǎn)化過(guò)程,以偶極子天線為例對(duì)幾種積分方程的建立過(guò)程進(jìn)行了推導(dǎo)。

圖1 偶極子天線示意圖

一般情況下,面電流密度J有一個(gè)局部平行于天線軸線的軸向分量和一個(gè)環(huán)繞天線的周向分量,天線很細(xì)時(shí),周向分量很小。如圖1所示沿z軸放置于原點(diǎn)的中饋偶極子天線,振子半徑為a,一臂長(zhǎng)為l,天線總長(zhǎng)度L=2l,如果滿足a≤λ,a≤L,即可看作細(xì)線天線,于是有以下假設(shè):

1) 電流沿天線軸向流動(dòng);

2) 忽略天線上的周向電流和端面徑向電流;

3) 天線上電流僅是長(zhǎng)度變量的函數(shù)。

這樣一來(lái),天線表面電流僅有軸向分量Jz,且可以用軸線上的電流I(z′)=2πaJz代替天線的表面電流,I(z′)可以看作位于軸線上,也可以看作位于天線表面上。

基于上述假設(shè),散射場(chǎng)Es在天線表面僅有軸向分量:

(6)

(7)

(8)

(9)

3.1 雙位積分方程

將式(7)、(8)帶入式(6),并結(jié)合式(1)可得偶極子天線的雙位積分方程

(10)

3.2 波克林頓積分方程

將洛倫茲規(guī)范條件

(11)

帶入式(6)可得

(12)

將式(7)帶入式(12)可得波克林頓積分方程

(13)

對(duì)格林函數(shù)求導(dǎo)可得

(14)

3.3 海倫積分方程

(15)

(16)

結(jié)合式(7),得到海倫積分方程

(17)

3.4 反應(yīng)積分方程

場(chǎng)源(Ji、Mi)照射到邊界為S的導(dǎo)體散射體產(chǎn)生的場(chǎng)為(Es、Hs),根據(jù)等效原理,空間的場(chǎng)E、H等效于是由S面上的面源(Js、Ms)產(chǎn)生的,令Jc、Mc和Ec、Hc為檢驗(yàn)源和場(chǎng),由互易定理得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=∫Vc(Jc·Es-Mc·Hs)dv

(18)

進(jìn)一步可得

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vc(Jc·Ei-Mc·Hi)dv

(19)

上式右面再應(yīng)用互易定理,得到反應(yīng)積分方程為

∫S(Js·Ec-Ms·Hc)ds=-∫Vi(Ji·Ec-Mi·Hc)dv

(20)

∫SJs·Ecds=∫ViMi·Hcdv

(21)

如果采用δ間隙電壓源饋電,則Mi=0,這樣式(20)化簡(jiǎn)為

∫SJs·Ecds=-∫ViJi·Ecdv

(22)

4 矩量法

矩量法是將積分方程離散化為矩陣方程或線性方程組的一種數(shù)值方法,矩量法的求解過(guò)程一般分為四個(gè)步驟:

1) 選擇合適的積分方程;

2) 選擇合適的基函數(shù),將未知量展開(kāi)為由基函數(shù)構(gòu)成的級(jí)數(shù);

3) 選擇合適的權(quán)函數(shù),利用內(nèi)積形成矩陣方程;

4) 求解矩陣方程,得到未知量。

(23)

進(jìn)一步寫(xiě)作形如ZI=U的矩陣方程,如果矩陣Z非奇異,則可以得出未知系數(shù)矩陣

I=Z-1U

(24)

其中,Z的元素Zmn=〈wm,h(fn)〉,各式中,h是線性算子,g為源或激勵(lì),f為場(chǎng)或響應(yīng),αn為待求系數(shù),fn為基函數(shù),wm為權(quán)函數(shù)。

矩量法應(yīng)用線天線時(shí),通常使用一維分段模型,后面的雙位積分方程、波克林頓積分方程和海倫積分方程在應(yīng)用過(guò)程中,選用的都是脈沖基函數(shù),即

(25)

4.1 矩量法用于雙位積分方程[3,8]

-ψ(m-,n+)+ψ(m-,n-)]

(26)

式中,

(27)

4.2 矩量法用于波克林頓積分方程[4,9]

采用了一種新的分段方式,即與雙位積分方程的分段方式一樣,權(quán)函數(shù)選用的也一樣,這樣得到廣義阻抗矩陣元素

(28)

廣義電壓向量元素

(29)

如果采用1V磁流環(huán)饋電,則

(30)

4.3 矩量法用于海倫積分方程

采用文獻(xiàn)[7]的方法,將偶極子分為N段,N為偶數(shù),每段長(zhǎng)Δl=L/N,天線兩端各留半段,N-1個(gè)分段中點(diǎn)為zn=-L/2+nΔl,N個(gè)匹配點(diǎn)

(31)

離散后的N階線性方程組為

(32)

4.4 矩量法用于反應(yīng)積分方程[5～6]

應(yīng)用伽遼金(Galerking)法,權(quán)函數(shù)與基函數(shù)相同。將偶極子天線分為N+1個(gè)子段,N為奇數(shù),每個(gè)子段的長(zhǎng)度Δl=L/(N+1),除天線端點(diǎn)外的N個(gè)子段節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為zn=-L/2+nΔl。基函數(shù)選用分段正弦函數(shù)

(33)

廣義電壓向量元素

(35)

m=(N+1)/2時(shí)。

5 數(shù)值計(jì)算分析

數(shù)值計(jì)算使用如圖1所示的半波偶極子天線。波克林頓積分方程使用磁流環(huán)饋電。

5.1 電流分布

1) 雙位積分方程

在應(yīng)用雙位積分方程時(shí),N值不能取任意大,N取值過(guò)大會(huì)使電流分布出現(xiàn)波動(dòng)。a取值較大時(shí),取N

2) 波克林頓積分方程與海倫積分方程

波克林頓積分方程與海倫積分方程都屬于第一類(lèi)弗雷德霍姆(Fredholm)積分方程[2],進(jìn)行點(diǎn)匹配時(shí),只要求在一些離散點(diǎn)上滿足天線表面電場(chǎng)邊界條件,在匹配點(diǎn)以外的地方,邊界條件并不滿足,當(dāng)分段數(shù)N增加時(shí),相當(dāng)于在天線表面有更多的點(diǎn)滿足了邊界條件,所以足夠大的N值能夠得到更精確的解[4]。

波克林頓積分方程比較特殊,在積分項(xiàng)中存在R-5項(xiàng),在應(yīng)用時(shí)要尤其注意。實(shí)際上,波克林頓積分方程受分段數(shù)N和半徑a影響較大,隨著N和a的變化,電流分布波動(dòng)較大。

海倫積分方程的積分核比較簡(jiǎn)單,故海倫積分方程的解比較穩(wěn)定,隨N的變化不大,但N也不能取得過(guò)大,a取值較大時(shí),應(yīng)滿足N

a=0.005λ的半波偶極子天線用兩種方程所得電流分布與N的關(guān)系如圖2所示。

3) 反應(yīng)積分方程

反應(yīng)積分方程是一類(lèi)特殊的積分方程,表示的是檢驗(yàn)源與“真源”之間的電磁反應(yīng),因?yàn)椴捎玫氖欠侄握一瘮?shù),故解的收斂性很好,受分段數(shù)N的影響不明顯,但N也不能取任意大,半徑越小受N的影響也越小。

不同半徑的半波偶極子天線用合適的N值得到的電流分布如圖3所示。

5.2 輸入阻抗

偶極子天線的輸入阻抗Zin=1/I(0),a=0.001λ的半波偶極子天線用四種積分方程得到輸入阻抗在合適的N的范圍內(nèi),隨著N的增大,都呈現(xiàn)出收斂性,四種積分方程所得輸入阻抗隨N的變化如圖4所示。

不同半徑的半波偶極子天線取合適的N值用四種積分方程得到的輸入阻抗典型值如表1所示。

表1 半波偶極子天線的輸入阻抗(單位Ω)

6 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于半徑不是很大的線天線,在用矩量法分析時(shí),在合適的N的范圍內(nèi),四種積分方程都能得到較為準(zhǔn)確的電流分布和輸入阻抗,相對(duì)而言,由于采用了不同的基函數(shù),反應(yīng)積分方程的解更為準(zhǔn)確,收斂性也要好一些。下一步的工作重點(diǎn)是進(jìn)一步優(yōu)化算法,研究復(fù)雜天線在應(yīng)用矩量法時(shí)的阻抗矩陣填充技術(shù)。

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Different Integral Equations in Method-of-Moments Analysis of Wire Antenna

LIU Jianchang

(Information Department of Naval Headquarters, Beijing 100841)

In this paper, the basic ideas of the method-of-moments(MoM) are briefly presented. Two-potential integral equation, Pocklington integral equation, Hallen integral equation and reaction integral equqtion. Two are analyzed and deduced. Four different integral equations are used to analyze the wire antenna of MoM are particularly studied. A new segmentation and matching method is used in MoM based on Pocklington integral equation. The research focuses on some important parameters in the application of MoM.

two-potential equation, pocklington integral equation, Hallen integral equation, reaction equation, MoM

2014年6月1日,

2014年7月25日

劉建廠,男,碩士,工程師,研究方向:電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算、天線與電波傳播理論、天線仿真與設(shè)計(jì)。

TN820

10.3969/j.issn1672-9730.2014.12.017